Portmanteau-Test

Die ursprüngliche Version des Tests stammt von Box/Pierce[1].

Die Hypothesen für diesen Test lauten:

${\displaystyle H_{0}\colon \rho _{1}({\hat {Z_{t}}})=\dots =\rho _{K}({\hat {Z_{t}}})=0\,}$ und

${\displaystyle H_{1}\colon \rho _{l}({\hat {Z_{t}}})\neq 0\,}$ gilt für mindestens ein l.

Dabei ist ${\displaystyle \rho _{l}({\hat {Z_{t}}})}$ die (empirische) Autokorrelation der Reihe ${\displaystyle ({\hat {Z_{t}}})}$ zum Lag (der zeitlichen Verschiebung) ${\displaystyle l}$ und ${\displaystyle K}$ die Anzahl der zu testenden Autokorrelationen.

Die Teststatistik ist hier

${\displaystyle Q_{BP}=T\sum _{l=1}^{K}\rho _{l}^{2}({\hat {Z_{t}}})\,,}$

wobei ${\displaystyle T}$ der Umfang des Datensatzes ist.

Diese Prüfgröße ist unter der Nullhypothese χ²-verteilt mit ${\displaystyle \nu =K-p-q}$ Freiheitsgraden; ${\displaystyle H_{0}}$ kann also verworfen werden, falls

${\displaystyle Q_{BP}>\chi _{\nu ;1-\alpha }^{2}\,.}$

Die Auswahl eines geeigneten Wertes für ${\displaystyle K}$ ist problematisch. Ist ${\displaystyle K}$ zu niedrig, greift die Asymptotik der ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Approximation nicht. Auch ein zu großes ${\displaystyle K}$ hat nicht gewünschte Effekte. Für die Bestimmung von ${\displaystyle K}$ kann folgende Faustregel verwendet werden:

${\displaystyle K\approx {2}{\sqrt {T}}\,.}$

Da der Box-Pierce-Test nur bei langen Zeitreihen mit mehr als 100 Zeitreihenwerten zufriedenstellend arbeitet, wird von Ljung/Box[2] eine abgewandelte Teststatistik herangezogen. Dabei wird T durch T(T+2)/(T-K) ersetzt. Als Teststatistik ergibt sich:

${\displaystyle Q_{LB}=T(T+2)\sum _{l=1}^{K}{\frac {1}{T-l}}\rho _{l}^{2}({\hat {Z_{t}}}).}$

1. G. E. P. Box, David A. Pierce: Distribution of Residual Autocorrelations in Autoregressive-Integrated Moving Average Time Series Models. In: Journal of the American Statistical Association. Band 65, Nr. 332, Dezember 1970, ISSN 0162-1459, S. 1509–1526, doi:10.1080/01621459.1970.10481180 (tandfonline.com [abgerufen am 2. November 2021]).
2. G. M. LJUNG, G. E. P. BOX: On a measure of lack of fit in time series models. In: Biometrika. Band 65, Nr. 2, 1. August 1978, ISSN 0006-3444, S. 297–303, doi:10.1093/biomet/65.2.297.