Portfoliotheorie

Anhand von zwei Wertpapieren lässt sich ein optimaler Risiko-Rendite-Zusammenhang verdeutlichen. In dieser Situation wird, abhängig von der Risikopräferenz des Anlegers, die optimale Strategie ermittelt.

Wir betrachten ein risikoloses (Rendite: ${\displaystyle r}$) und ein riskantes Wertpapier (Rendite ${\displaystyle \mu _{2}}$). Zusätzlich wollen wir die Möglichkeit von Leerverkäufen (LV) annehmen. In den behandelten Fällen wird ein riskantes Wertpapier, das mit Kurs- und Ausfallrisiko (auch: Währungsrisiko) behaftet ist, betrachtet. Die risikolose Anlage kann durch ein staatliches Wertpapier simuliert werden. Die Laufzeit muss dabei mit der Planungsperiode übereinstimmen. Auf diese Weise lassen sich für das risikolose Instrument Zinsänderungs- und Ausfallrisiken ausschließen.

Es lassen sich vier Fälle unterscheiden:

Die Rendite des riskanten Wertpapiers ist größer als der risikolose Zins und es gibt keine Leerverkäufe. Die einzige Wahl, die der Anleger hat, ist der Anteil ${\displaystyle x\in [0,1]}$ seiner Mittel, den er in das riskante Papier investiert. Dann fließt der Anteil ${\displaystyle 1-x}$ in die risikolose Anleihe.

Die Effizienzlinie ist eine Gerade aus Ertrags-Risiko-Kombinationen, denn für die Gesamtrendite ${\displaystyle \mu _{x}}$ gilt

${\displaystyle \mu _{x}=(1-x)r+x\mu _{2}=r+{\frac {\mu _{2}-r}{\sigma _{2}}}\cdot \sigma _{x}}$ wobei ${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{2}\cdot x}$ mit ${\displaystyle x\in [0,1]}$.

Dies bedeutet daher:

• Der Rendite-Risiko-Zusammenhang ist linear.
• Der Vorfaktor des Portfoliorisikos entspricht einer normierten Risikoprämie. Dies ist die Überrendite des riskanten Wertpapiers dividiert durch dessen Risiko.

In diesem Fall 1 mit ${\displaystyle \mu _{2}>r~}$ ohne Leerverkauf sind alle Portfolios auf der durch die Gleichung gegebenen Strecke, d. h. alle Paare ${\displaystyle (\mu _{x},\sigma _{x})}$, ${\displaystyle x\in [0,1]}$, effizient.

Gesucht ist ${\displaystyle (\mu _{x},\sigma _{x})}$ in Abhängigkeit vom Mischungsverhältnis ${\displaystyle (1-x,x)}$ mit ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$. Allgemein gilt

${\displaystyle \mu _{x}=r(1-x)+\mu _{2}x=r+(\mu _{2}-r)x}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {(1-x)^{2}\sigma _{1}^{2}+x^{2}\sigma _{2}^{2}+2\sigma _{1}\sigma _{2}(1-x)x\rho _{1,2}}}}$, wobei ${\displaystyle \rho _{12}}$ der Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der betrachteten Papiere ist.

Der hier betrachtete Spezialfall ergibt sich daraus, dass das erste Papier, die Anleihe, risikolos ist, was mathematisch durch ${\displaystyle \sigma _{1}=0}$ ausgedrückt wird, und daraus folgt ${\displaystyle \sigma _{x}=x\sigma _{2}}$.

Die Rendite des riskanten Wertpapiers ist größer als der risikolose Zins und Leerverkäufe sind zulässig. Mathematisch bedeutet die Zulässigkeit von Leerverkäufen, dass der Anteil ${\displaystyle x}$ der in das riskante Papier investierten Mittel nicht mehr durch das Intervall [0,1] eingeschränkt ist. Bei der Zulässigkeit von Leerverkäufen lassen sich die beiden Fälle, in denen das risikolose Wertpapier oder das riskante Wertpapier verkauft wird, unterscheiden.

Der Leverage-Effekt besteht darin, dass bei Leerverkauf des risikolosen Instruments der Erwartungswert des Portfolios steigt, aber auch das Risiko in Form größerer Streuung. Leerverkauf der risikolosen Anleihe bedeutet ${\displaystyle x>1}$, das heißt man investiert mehr Mittel in das riskante Papier. Für die Gesamtrendite ${\displaystyle \mu _{x}}$ ergibt sich ${\displaystyle \mu _{x}=r(1-x)+\mu _{2}x=\mu _{2}+(\mu _{2}-r)\cdot (x-1)}$ mit ${\displaystyle x>1}$.

Der Leerverkauf des riskanten Papiers bedeutet ${\displaystyle x<0}$. Die Gesamtrendite ${\displaystyle \mu _{x}=r+(\mu _{2}-r)\cdot x}$ ist damit kleiner als die geforderte Mindestrendite ${\displaystyle r}$.

Der formale Ablauf besteht im Ausleihen einer Aktie, deren anschließenden Verkauf und Investition der so erhaltenen Mittel in das risikolose Papier. Die Ausleihe bedeutet, dass der Partei, die die Aktie zur Ausleihe bereitstellt, alle aus dem Besitz der Aktie resultierenden Zahlungen (Dividenden) erstattet werden, und dass die Aktie am Ende der Laufzeit am Markt zurückgekauft und dieser Partei zurückgegeben wird.

Der Leerverkäufer trägt dasselbe Risiko wie ein Aktienhalter und erwirtschaftet im hier vorliegenden Fall ${\displaystyle \mu _{2}>r}$ eine geringere Rendite, als man auch risikolos erhalten könnte. Deshalb sind durch Leerverkauf der riskanten Anlage erzeugte Portfolios in diesem Fall nicht effizient.

Die Rendite des riskanten Wertpapiers ist kleiner als der risikolose Zins und es gibt keine Leerverkäufe. Für die Gesamtrendite gilt ${\displaystyle \mu _{x}=r-(r-\mu _{2})\cdot x,\,x\in [0,1]}$.

In diesem Fall ist ein Portfolio, das nur in das risikolose Instrument investiert, effizient, denn durch das Eingehen eines erhöhten Risikos, das heißt durch eine Wahl ${\displaystyle x>0}$, vermindert man die Rendite.

Leerverkäufe sind zulässig: Durch einen Leerverkauf des riskanten Instruments, das heißt durch eine Wahl ${\displaystyle x<0}$, lässt sich die Portfoliorendite ${\displaystyle \mu _{x}=r+(r-\mu _{2})\cdot (-x)}$ beliebig steigern, natürlich nur bei gleichzeitiger, durch den Leerverkauf bedingten Erhöhung des Gesamtrisikos.

Es lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

• Die Rendite des zweiten Wertpapiers ist größer als die des ersten und die Varianz des zweiten Wertpapiers ist größer als die des ersten.

Die Aufhebung der Leerverkaufsbeschränkung führt nicht zu Änderungen im Minimum-Varianz-Portfolio, wenn die Korrelation ${\displaystyle \rho }$ bestimmte Werte annimmt, die sich aus dem Verhältnis der Standardabweichungen beider Titel ergibt. Dies bedeutet, dass beide Wertpapiere im Ausgangsportfolio mit positiven Anteilen vertreten sind.

Ein optimales Portfolio nach diesem Kriterium liegt bei ${\displaystyle (x_{1},x_{2})=(0,1)}$

Budgetgerade

Iso-Ertragslinie ${\displaystyle \mu _{1}}$

Iso-Ertragslinie ${\displaystyle \mu _{2}}$

Ein optimales Portfolio nach diesem Kriterium liegt nicht an den Extrempunkten.

Budgetgerade ohne Leerverkaufsmöglichkeit

Iso-Ertragslinie ${\displaystyle \mu _{1}}$

Iso-Ertragslinie ${\displaystyle \mu _{2}}$

• Die Rendite des zweiten Wertpapiers ist größer als die des ersten und die Varianz des zweiten Wertpapiers ist kleiner oder gleich der ersten.

Bei unkorrelierten Wertpapieren ${\displaystyle \rho =0}$ tritt immer ein Diversifikationseffekt auf. Das optimale Mischungsverhältnis ${\displaystyle (x_{1}^{*},x_{2}^{*}=1-x_{1}^{*})}$ lautet nach der Formel für die inverse Varianzgewichtung:

${\displaystyle x_{1}^{*}={\frac {\sigma _{2}^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}$

${\displaystyle x_{2}^{*}={\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}$.

Zwei riskante Wertpapiere in Form von Aktien (ohne LV)

Risikodiversifikation in Abhängigkeit vom Korrelationskoeffizienten ${\displaystyle \rho }$:

Die Wahl des Portfolios ergibt das Minimum-Varianz-Portfolio (kurz: MVP):

${\displaystyle x_{1}^{*}={\frac {\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \rho }{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\cdot \sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \rho }}}$

${\displaystyle x_{2}^{*}={\frac {\sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \rho }{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\cdot \sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \rho }}}$

Ist die Kovarianz ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \rho }$ bekannt, so sieht die Formel im ersten Fall wie folgt aus:

${\displaystyle x_{1}^{*}={\frac {\sigma _{2}^{2}-\sigma _{12}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{12}}}}$[1]

2 Fälle

• Global varianzminimales Portfolio mit negativen Anteilen:

Dies lässt sich in einem ${\displaystyle x_{1}}$-${\displaystyle x_{2}}$-Diagramm, welches die Aufteilung auf Wertpapier 1 und 2 (und damit implizit auf Wertpapier 3) sowie in einem ${\displaystyle \mu }$-${\displaystyle \sigma }$-Diagramm, welches die Effizienzlinie zeigt, darstellen.

${\displaystyle x_{1}}$-${\displaystyle x_{2}}$-Diagramm: ${\displaystyle x_{3}}$ ergibt sich aus dem Rest zwischen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$. Die Ordinate ist dann der Ort aller Mischungen aus Wertpapier 1 und 3 und die Abszisse die Mischung aus den Wertpapieren 2 und 3.

• Global varianzminimales Portfolio mit positiven Anteilen:

Dies lässt sich in einem ${\displaystyle x_{1}}$-${\displaystyle x_{2}}$-Diagramm, welches die Aufteilung auf Wertpapier 1 und 2 (und damit implizit auf Wertpapier 3) sowie in einem ${\displaystyle \mu }$-${\displaystyle \sigma }$-Diagramm, welches die Effizienzlinie zeigt darstellen.

Aus ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=1}$ ergeben sich zwei abhängige Variablen.

${\displaystyle \mu _{x}=\mu _{1}x_{1}+\mu _{2}x_{2}+(1-x_{1}-x_{2})\mu _{3}}$

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}}$= ${\displaystyle x_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+x_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+(1-x_{1}-x_{2})^{2}\sigma _{3}^{2}}$${\displaystyle +2\sigma _{1}\sigma _{2}x_{1}x_{2}\rho _{1,2}~}$

${\displaystyle +2\sigma _{1}\sigma _{3}x_{1}x_{3}\rho _{1,3}~}$ ${\displaystyle +2\sigma _{2}\sigma _{3}x_{2}x_{3}\rho _{2,3}~}$

Dies lässt sich nur noch rechnerisch bestimmen mit

${\displaystyle \min _{x_{1},\ldots ,x_{n}}\Sigma \left[\rho _{ij}\cdot \sigma _{i}\cdot \sigma _{j}x_{i}x_{j}\right]}$

Es müssen dabei die Restriktionen:

• Mindestrendite
• Budgetbedingung
• eventuell auch Leerverkaufsbeschränkung berücksichtigt werden.

Bei Dachfonds stellt sich bspw. die Frage, ob eine Mischung von effizienten Portfolios wieder ein effizientes Portfolio ergibt. Dies muss nicht zutreffen, da

• im Falle, dass Leerverkäufe nicht zulässig sind, die Effizienzlinie geknickt ist. Bildet man nun ein Portfolio aus zwei Wertpapieren auf einem unterschiedlichen Teil der Linie, liegt dieses Portfolio nicht mehr auf der Effizienzlinie.
• im Fall, dass Leerverkäufe zulässig sind, ein Leerverkauf eines effizienten Portfolios ineffiziente Portfolios erzeugen kann.