Polytrope Zustandsänderung

In der Thermodynamik wird eine Zustandsänderung eines Systems, in der für Druck $p$ und spezifisches Volumen $v$ die Gleichung $pv^{n}=\mathrm {const}$ gilt, als polytrop bezeichnet. Der Exponent $n$ wird Polytropenexponent genannt. Bei technischen Vorgängen kann der Polytropenexponent als konstant angesehen werden.[1] Eine Polytrope nimmt im p-v-Diagramm die Form einer Potenzfunktion mit negativer Steigung an.

Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung sind:

Spezialfälle der polytropen Zustandsänderung

$n=0$ : isobar
$n=1$ : isotherm
$n=\infty$ : isochor
$n=\kappa ={\frac {c_{\mathrm {p} }}{c_{\mathrm {v} }}}$ : isentrop oder auch adiabat-reversibel

Die einem Gas während dieser Zustandsänderung zugeführte Wärme ist gegeben durch:[2]

Q_{12}=m\ c_{\mathrm {v} }{\frac {n-\kappa }{n-1}}\ (T_{2}-T_{1})

Dabei bezeichnet $m$ die Masse, $T_{1}$ und $T_{2}$ Anfangs- und Endtemperatur des Prozesses. Die Polytropie zeichnet sich durch eine feste Wärmekapazität aus, welche sich aus $c_{\mathrm {p} }$ , $c_{\mathrm {v} }$ und $n$ ergibt.

Man spricht auch von polytroper Zustandsgleichung:

p=K\cdot \rho ^{\gamma }

mit dem Druck p, der Dichte $\rho$ , der Polytropenkonstante K und dem Polytropenindex m in $\gamma =1+{\frac {1}{m}}$ . Sie findet zum Beispiel Anwendung in der Astrophysik (Lane-Emden-Gleichung).

Ideale Gase

Für ideale Gase, bei isentropen Zustandsänderungen, gelten außerdem folgende Beziehungen:

{\frac {T_{2}}{T_{1}}}=\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {n-1}{n}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n-1}

bzw.

{\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {n}{n-1}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n}

mit

T

: absolute Temperatur

p

: Druck

V

: Volumen.

Bei der isentropen Zustandsänderung eines idealen Gases gilt $n=c_{\mathrm {p} }/c_{\mathrm {v} }$ . Mit der isobaren Wärmekapazität $c_{\mathrm {p} }$ und der isochoren Wärmekapazität $c_{\mathrm {v} }$ . Bei zweiatomigen Gasen kann $n=1{,}403$ (beispielsweise Luft als Gasgemisch) und bei einatomigen Gasen (Edelgasen) $n=1{,}66$ angesetzt werden.

Literatur

Dieter Winklmair - Energie- und Wärmetechnik (Skript, PDF) (1,08 MB)

Einzelnachweise

Fran Bosniakovic, "Technische Thermodynamik", 7. Auflage, Steinkopf-Verlag Darmstadt; Kapitel 4.5 "Polytrope Zustandsänderung"
Peter Stephan u. a.: Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen, Bd. 1: Einstoffsysteme. 18. Aufl. Springer, Berlin 2013, S. 115, ISBN 3-642-30097-9.

Siehe auch

Wiktionary: polytrop – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Thermische Zustandsgleichung idealer Gase

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[bosniakovic-1] Fran Bosniakovic, "Technische Thermodynamik", 7. Auflage, Steinkopf-Verlag Darmstadt; Kapitel 4.5 "Polytrope Zustandsänderung"

[2] Peter Stephan u. a.: Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen, Bd. 1: Einstoffsysteme. 18. Aufl. Springer, Berlin 2013, S. 115, ISBN 3-642-30097-9.