Polyzylinder

In der mehrdimensionalen Funktionentheorie ist der Polyzylinder[1] oder Polykreis[2] das kartesische Produkt von Kreisscheiben.

Bezeichnet man genauer mit ${\displaystyle \Delta (z,r)=\{w\in \mathbb {C} \mid |z-w|<r\}}$ eine offene Kreisscheibe in der komplexen Ebene, dann ist der Polyzylinder um den Punkt ${\displaystyle z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ mit dem Multiradius ${\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{n})}$ gegeben als

${\displaystyle \Delta (z_{1},\ldots ,z_{n};r_{1},\ldots ,r_{n}):=\Delta (z_{1},r_{1})\times \dots \times \Delta (z_{n},r_{n})}$

oder äquivalent als

${\displaystyle \{w=(w_{1},\dots ,w_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\mid |z_{k}-w_{k}|<r_{k},\,k=1,\dots ,n\}.}$

Der abgeschlossene Polyzylinder wird dadurch definiert, dass man das ${\displaystyle <}$-Zeichen durch ${\displaystyle \leq }$ ersetzt:

${\displaystyle {\overline {\Delta }}(z_{1},\ldots ,z_{n};r_{1},\ldots ,r_{n}):=\{w=(w_{1},\dots ,w_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\mid |z_{k}-w_{k}|\leq r_{k},\,k=1,\dots ,n\}.}$

Der Polyzylinder ist ebenso wie die euklidische Kugel ${\displaystyle \{w\in \mathbb {C} ^{n}\mid \sum _{j=1}^{n}|w_{j}-z_{j}|^{2}<r^{2}\}}$ eine Verallgemeinerung der eindimensionalen Kreisscheibe. Für ${\displaystyle n>1}$ sind diese beiden Mengen aber nicht biholomorph äquivalent. Diese Aussage wurde 1907 von Poincaré bewiesen, indem er zeigte, dass die Automorphismengruppen der beiden Mengen als Lie-Gruppen unterschiedliche Dimension haben.