Harmonische Funktion

Sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} }$ heißt harmonisch in ${\displaystyle U}$, falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und für alle ${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle \Delta f(x)=0}$

gilt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$ den Laplace-Operator.

Die wichtigste Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft, welche äquivalent ist zur Definition:

Eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} }$ ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{r^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}f(y)\mathrm {d} \sigma (y)}$

für alle Kugeln ${\displaystyle \ B(x,r)}$ mit ${\displaystyle {\overline {B}}(x,r)\subset U}$. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \omega _{n-1}}$ den Flächeninhalt der ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionalen Einheitssphäre (siehe Inhalt und Volumen der Einheitssphäre).

Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.

• Maximumprinzip: Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes ${\displaystyle U}$ nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss ${\displaystyle {\overline {U}}}$, so werden Maximum und Minimum auf dem Rand ${\displaystyle \partial U}$ angenommen.
• Glattheit: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird.
• Abschätzung der Ableitungen: Sei ${\displaystyle f}$ harmonisch in ${\displaystyle U}$. Dann gilt für die Ableitungen
  ${\displaystyle \left|D^{\alpha }f(x)\right|\leq {\frac {\left(2^{n+1}n|\alpha |\right)^{|\alpha |}}{v_{n}}}\left\|f\right\|_{L^{1}(B(x,r))},}$
  wobei ${\displaystyle v_{n}}$ das Volumen der ${\displaystyle n}$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
• Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann.
• Satz von Liouville: Eine beschränkte harmonische Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ist konstant.
• Harnack-Ungleichung: Für jede zusammenhängende, offene und relativ kompakte Teilmenge ${\displaystyle V\subset \subset U}$ gibt es eine Konstante ${\displaystyle C\geq 0}$, die nur von dem Gebiet ${\displaystyle V}$ abhängt, so dass für jede in ${\displaystyle U}$ harmonische und nichtnegative Funktion ${\displaystyle f}$
  ${\displaystyle \sup _{V}f\leq C\inf _{V}f}$
  gilt.
• Im Sonderfall ${\displaystyle n=2}$ für ein einfach zusammenhängendes Gebiet ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}\cong \mathbb {C} }$ können die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden.
• Jede harmonische Funktion ist auch eine biharmonische Funktion.

Die Grundlösung

${\displaystyle S(x):=\left\{{\begin{array}{ll}-{\frac {1}{2\pi }}\ln |x|\ ,&n=2\ ,\\{\frac {1}{(n-2)\omega _{n}}}{\frac {1}{\|x\|^{n-2}}}\ ,&n\geq 3\ ,\\\end{array}}\right.}$

ist eine auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$ harmonische Funktion, worin ${\displaystyle \omega _{n}}$ das Maß der Einheitssphäre im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung.

Polyharmonische Funktionen sind bis zur 2m-ten Ordnung der Ableitung stetige Lösungen der Differentialgleichung:

${\displaystyle {\Delta }^{m}f=0}$

Für ${\displaystyle m=2}$ (Biharmonische Funktion) taucht die Differentialgleichung in der Theorie der elastischen Platten auf (Gustav Kirchhoff).

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).