Polygammafunktion

In der Mathematik sind die Polygammafunktionen $\psi _{n}(z)$ eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion $\ln \Gamma (z)$ definiert sind. Dabei bezeichnet $\Gamma (z)$ die Gammafunktion und $\ln$ den natürlichen Logarithmus.

Die ersten Polygammafunktionen im Reellen
m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4

Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.

**Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene**

$\ln \Gamma (z)$	$\psi ^{(0)}(z)$	$\psi ^{(1)}(z)$	$\psi ^{(2)}(z)$	$\psi ^{(3)}(z)$	$\psi ^{(4)}(z)$

Notation

Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi $\psi$ gekennzeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; sie wird als Digammafunktion $\psi (z)$ bezeichnet. Die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, hat das Symbol $\psi _{1}$ (oder seltener $\psi ^{(1)}$ ) und ist die zweite Ableitung von $\ln \Gamma (z)$ . Allgemein wird die $n$ -te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung $n$ mit $\psi _{n}$ oder $\psi ^{(n)}$ bezeichnet und als die $(n+1)$ -te Ableitung von $\ln \Gamma (x)$ definiert.

Definition und weitere Darstellungen

Es ist

\psi _{m}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{m+1}}{\mathrm {d} z^{m+1}}}\ln \Gamma (z)={\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\,\psi (z)

mit der Digammafunktion $\psi (z)$ . Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von $\Gamma (\cdot )$ bezeichnet.

Eine Integraldarstellung ist

\psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}\mathrm {e} ^{-zt}}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t

für $\operatorname {Re} z>0$ und $m>0.$

Eigenschaften

Differenzengleichungen

Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen

\psi _{m}(z+1)=\psi _{m}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-m-1}.

Reflexionsformel

Eine weitere wichtige Beziehung lautet

(-1)^{m}\psi _{m}(1-z)-\psi _{m}(z)=\pi {\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\cot {(\pi z)}.

Multiplikationsformel

Die Multiplikationsformel ist für $m>0$ gegeben durch

\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{m}\left({\frac {z+k}{n}}\right)=n^{m+1}\psi _{m}(z).

Zum Fall $m=0,$ also der Digammafunktion, siehe dort.

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet

\psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}

wobei $m>0$ und $z\not =-1,-2,-3,\ldots$ eine beliebige komplexe Zahl außer den negativen ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion $\zeta (x,y)$ schreiben als

\psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).

Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nicht-ganze Ordnungen $m$ ist weiter unten angegeben.

Eine weitere Reihendarstellung ist

\psi _{m}(z)=-\gamma \delta _{m,0}\;-\;{\frac {(-1)^{m}m!}{z^{m+1}}}\;+\;\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{m,0}\;-\;{\frac {(-1)^{m}m!}{(z+k)^{m+1}}}\right),

wobei $\delta _{n,0}$ das Kronecker-Delta bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstraßschen Produktsatz folgt.

Die Taylor-Reihe um $z=1$ ist gegeben durch

\psi _{m}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},

die für $|z|<1$ konvergiert. $\zeta$ bezeichnete dabei die riemannsche Zetafunktion.

Spezielle Werte

Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie $\pi$ , Quadratwurzel, Clausen-Funktion $\mathrm {Cl} (x)$ , riemannsche ζ-Funktion, catalansche Konstante $G$ sowie dirichletsche β-Funktion; z. B.

\psi _{m}({\tfrac {1}{2}})=(-1)^{m+1}m!\,(2^{m+1}-1)\zeta (m+1),\qquad m\in \mathbb {N}

Allgemein gilt ferner:

\psi _{m}(1)=(-1)^{m+1}m!\,\zeta (m+1),\qquad m\in \mathbb {N}

.

Die m-te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:

{\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} x^{m}}}\tan x={\frac {\psi _{m}({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {x}{\pi }})-(-1)^{m}\,\psi _{m}({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {x}{\pi }})}{\pi ^{m+1}}}

.

Darüber hinaus haben sich spezielle Werte von Polygammafunktionen als universelle Konstanten immer wieder bei einer geschlossenen Grenzwert-Beschreibung von Reihen oder auch Integralen als nützlich erwiesen, zum Beispiel gilt

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{4}}}={\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8\pi ^{2}\right).

Verallgemeinerte Polygammafunktion

Espinosa und Moll haben 2003 eine verallgemeinerte Polygammafunktion $\psi _{s}(z)$ eingeführt, die nun sogar für alle komplexen Werte $s$ definiert ist.[1] Diese hat für $s\neq 0,1,2,\dotsc$ die allgemeine Taylor-Entwicklung

\psi _{s}(1+z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (-s-n)}}\left(\zeta '(s+n+1)+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k-s-n-1}}\right)\zeta (s+n+1)\right){\frac {z^{n}}{n!}},

gültig im Bereich $|z|<1$ .[2] Diese Verallgemeinerung nutzt jedoch nicht fraktionale Infinitesimalrechnung. Ein solcher Ansatz wurde von Grossman gewählt.[3]

Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für $s\in \mathbb {C}$ und $z\in \mathbb {C} \setminus -\mathbb {N} _{0}$ die Funktionalgleichung

\psi _{s}(z+1)=\psi _{s}(z)+{\frac {\ln z-\psi (-s)-\gamma }{\Gamma (-s)}}\,z^{-(s+1)},

wobei $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Wegen

{\frac {\psi (-m)}{\Gamma (-n)}}=(-1)^{n-1}n!

für ganzzahlige $m,n\geq 0$ ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung für natürliche $n$ eingeschlossen.

Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen $\zeta$ -Funktion erhält man dann die Beziehung

\psi _{s}(z)={\frac {1}{\Gamma (-s)}}\left({\frac {\partial }{\partial s}}+\psi (-s)+\gamma \right)\zeta (s+1,z)=\mathrm {e} ^{-\gamma \,s}{\frac {\partial }{\partial s}}\left(\mathrm {e} ^{\gamma \,s}\,{\frac {\zeta (s+1,z)}{\Gamma (-s)}}\right),

welche die Funktionalgleichung erfüllt.[4]

Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel

\psi _{s}\left({\frac {z}{2}}\right)+\psi _{s}\left({\frac {z+1}{2}}\right)=2^{s+1}\psi _{s}(z)+{\frac {2^{s+1}\ln 2}{\Gamma (-s)}}\zeta (s+1,z)

herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet

\psi _{s}(z)=n^{-s-1}\sum \limits _{k=0}^{n-1}\psi _{s}\left({\frac {z+k}{n}}\right)-{\frac {\ln n}{\Gamma (-s)}}\zeta (s+1,z),

die ein Äquivalent zur Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall für $s\in \mathbb {N}$ enthält.

q-Polygammafunktion

Die $q$ -Polygammafunktion ist definiert durch[5]

\psi _{n}^{q}(z)={\frac {\partial ^{n}\psi _{q}(z)}{\partial z^{n}}}

.

Literatur

Milton Abramowitz und Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0. Siehe §6.4
Eric W. Weisstein: Polygamma Function auf MathWorld, in functions.wolfram.com, in references.worlfram.com.

Einzelnachweise

O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv).
O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv), S. 6–7.
N. Grossman: Polygamma functions of arbitrary order. SIAM J. Math. Anal. 7, 1976, 366–372.
Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
Eric W. Weisstein: q-Polygamma Function. In: MathWorld (englisch).

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[1] O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv).

[2] O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv), S. 6–7.

[3] N. Grossman: Polygamma functions of arbitrary order. SIAM J. Math. Anal. 7, 1976, 366–372.

[espinosa-4] Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.

[5] Eric W. Weisstein: q-Polygamma Function. In: MathWorld (englisch).