Polychor

Wie im 3-Dimensionalen werden die regelmäßigen (= regulären) unter den Polychora als platonisch bezeichnet. Ein ${\displaystyle n}$-Polytop ist dann regelmäßig, wenn es von regelmäßigen ${\displaystyle (n\!\!-\!\!1)}$-Polytopen in regelmäßiger Weise begrenzt wird. Tatsächlich gibt es zu jedem der fünf 3-dimensionalen platonischen Polyeder ein 4-dimensionales platonisches Polychor:

• zum Tetraeder das Pentachoron (5-Zeller) mit Schläfli-Symbol {3,3,3}, ein Simplex mit 5 Zellen (Tetraedern),
• zum Würfel den Tesserakt (8-Zeller) mit Schläfli-Symbol {4,3,3}, den Hyperkubus (Maßpolytop) mit 8 Zellen (Würfeln),
• zum Oktaeder (Kreuzpolyeder) das vierdimensionale Kreuzpolytop (Orthoplex), den 16-Zeller, mit 16 Zellen (Tetraedern) (Schläfli-Symbol {3,3,4}),
• zum Dodekaeder den 120-Zeller (Hekatonikosachor) mit 120 Zellen (Dodekaedern) (Schläfli-Symbol {5,3,3}) und
• zum Ikosaeder den 600-Zeller (Hexakosichor) mit 600 Zellen (Tetraedern) (Schläfli-Symbol {3,3,5}).

Ferner gibt es als sechstes

• den 24-Zeller (Ikositetrachor) mit 24 Zellen (Oktaedern) (Schläfli-Symbol {3,4,3}),

sodass es im vierdimensionalen Raum sechs platonische Polychora (4-Polytope) gibt.

Dabei sind 8-Zeller und 16-Zeller zueinander dual, sowie 120-Zeller zum 600-Zeller (und umgekehrt). Das duale Polytop zum 5-Zeller ist der 5-Zeller und zum 24-Zeller der 24-Zeller – sie sind zu sich selbst dual, kurz: selbst-dual.

Ist die Dimensionszahl ${\displaystyle n}$ größer als 4, dann gibt es im ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raum als regelmäßige ${\displaystyle n}$-Polytope nur das ${\displaystyle n}$-Simplex, das ${\displaystyle n}$-Maßpolytop und das ${\displaystyle n}$-Kreuzpolytop.

• Polychorie
• Polychorische Korrelation

• Eric W. Weisstein: Polychoron. In: MathWorld (englisch).
• Uniform Polychora and Other Four Dimensional Shapes. Bei: polytope.net.