Polare Menge

Ist ${\displaystyle E}$ ein normierter Raum oder allgemeiner ein lokalkonvexer Raum mit Dualraum ${\displaystyle E'}$ und ist ${\displaystyle A\subset E}$ eine Teilmenge, so nennt man

${\displaystyle A^{\circ }:=\{y\in E':\sup\{|y(x)|:x\in A\}\leq 1\}\subset E'}$

die Polare von ${\displaystyle A}$[1].

Ist ${\displaystyle B\subset E'}$, so setzt man

${\displaystyle ^{\circ }B:=\{x\in E:\sup\{|y(x)|:y\in B\}\leq 1\}\subset E}$

und nennt dies die Polare von ${\displaystyle B}$. Häufig findet man auch hierfür die Schreibweise ${\displaystyle B^{\circ }}$ und nimmt die damit einhergehende Mehrdeutigkeit in Kauf, denn nach obiger Definition wäre ${\displaystyle B^{\circ }}$ eine Teilmenge des Bidualraums ${\displaystyle E^{''}}$.

• Die Polare der Einheitskugel eines normierten Raums ist die Einheitskugel des Dualraums.
• Ist ${\displaystyle F\subset E}$ ein Untervektorraum, so ist ${\displaystyle F^{\circ }}$ der Annullator von ${\displaystyle F}$.

Für Mengen ${\displaystyle A,B,A_{i}\subseteq E}$ gilt:

• Aus ${\displaystyle A\subseteq B}$ folgt ${\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ }}$
• Für alle ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ gilt ${\displaystyle (\lambda A)^{\circ }={\frac {1}{\lambda }}A^{\circ }}$
• ${\displaystyle (\bigcup _{i\in I}A_{i})^{\circ }=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{\circ }}$ für eine Familie ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ von Teilmengen
• ${\displaystyle A^{\circ }}$ ist absolutkonvex und schwach-*-abgeschlossen.

Die wichtigsten Sätze über polare Mengen sind:

• Bipolarensatz[2] : Ist ${\displaystyle A\subset E}$, so ist ${\displaystyle ^{\circ }(A^{\circ })}$ die absolutkonvexe, schwach-*-abgeschlossene Hülle von ${\displaystyle A}$.

Ist also ${\displaystyle A}$ absolutkonvex und schwach-*-abgeschlossen, so gilt ${\displaystyle ^{\circ }(A^{\circ })=A}$. Dies kann als einfache Folge aus dem Trennungssatz angesehen werden.

• Satz von Banach-Alaoglu[3]: Die Polare einer Nullumgebung ist schwach-*-kompakt.

Mittels polarer Mengen lassen sich einige lokalkonvexe Topologien recht einfach beschreiben[4]:

• Die Menge aller Polaren aller endlichen Mengen des Dualraums bildet eine Nullumgebungsbasis der schwachen Topologie auf ${\displaystyle E}$.
• Die Menge aller Polaren aller endlichen Mengen des Vektorraums bildet eine Nullumgebungsbasis der schwach-*-Topologie auf ${\displaystyle E'}$
• Die Menge aller Polaren aller absolutkonvexen, schwach-*-kompakten Teilmengen des Dualraums bildet eine Nullumgebungsbasis der Mackey-Topologie auf ${\displaystyle E}$.
• Die Menge aller Polaren aller schwach-*-beschränkten Teilmengen des Dualraums bildet eine Nullumgebungsbasis der so genannten starken Topologie auf ${\displaystyle E}$.

1. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, §6, §22
2. H. Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag (2006), ISBN 3-8351-0026-2, Satz 67.2
3. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.5
4. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, § 23