Poissonzahl

Die Grenzen der Poissonzahl können aus der Volumendehnung ${\displaystyle \varepsilon _{V}}$ bestimmt werden. Für isotropes, linear-elastisches Verhalten und hinreichend kleine Verformungen ist die Volumendehnung bestimmt durch:[14][15]

${\displaystyle \varepsilon _{V}={\frac {\Delta V}{V}}=\varepsilon _{x}\cdot (1-2\nu )}$.

Daraus ergibt sich der Wertebereich ${\displaystyle 0\leq \nu \leq 0{,}5}$. An der unteren Grenze liegen z. B. gewisse Schaumstoffe, die kaum eine Querkontraktion aufweisen. Im einachsigen Zugversuch würde ein Material mit ${\displaystyle \nu =0}$ sein Volumen maximal ändern, ein Material mit ${\displaystyle \nu =1/2}$ überhaupt nicht.

An der oberen Grenze befinden sich Gummiwerkstoffe und Elastomere, sowie Werkstoffe, die sich plastisch verhalten und mit ${\displaystyle \nu =0{,}5}$ praktisch inkompressibel sind (Volumenkonstanz). Bei solchen Materialien ergeben sich in den Cauchy’schen Konstitutivgleichungen Polstellen. Für die Berechnung von nahezu oder voll inkompressiblen Materialien (z. B. Gummimaterialien, entropieelastischen Materialien, hyperelastischen Materialien) sollten Green’sche Materialmodelle verwendet werden.[16]

Poissonzahlen ${\displaystyle \nu >0{,}5}$ können bei anisotropem Verhalten auftreten, wobei dann die Poissonzahlen bei vertauschten Belastungs- und Kontraktionsrichtungen entsprechend kleiner sind. Bei linear-elastisch orthotropem Verhalten treten sechs unterschiedliche Poissonzahlen auf. Je zwei davon sind einander im Verhältnis der Elastizitätsmoduln in den entsprechenden Richtungen zugeordnet. Bei Verwendung der oben verwendeten Index-Konvention gilt die Beziehung[10]

${\displaystyle {\frac {\nu _{xy}}{\nu _{yx}}}={\frac {E_{x}}{E_{y}}}}$; ${\displaystyle {\frac {\nu _{yz}}{\nu _{zy}}}={\frac {E_{y}}{E_{z}}}}$; ${\displaystyle {\frac {\nu _{zx}}{\nu _{xz}}}={\frac {E_{z}}{E_{x}}}}$.

Dies kann bei diversen porösen Materialien, bei Faserverbundwerkstoffen oder Holz beobachtet werden.

Die physikalischen Querkontraktionsgrenzen ergeben die Bedingungen

${\displaystyle 0\leq \nu _{xy}+\nu _{xz}\leq 1{,}0}$; ${\displaystyle 0\leq \nu _{yz}+\nu _{yx}\leq 1{,}0}$; ${\displaystyle 0\leq \nu _{zx}+\nu _{zy}\leq 1{,}0}$,

aus denen für die einzelnen Poissonzahlen je der Wertebereich ${\displaystyle 0\leq \nu _{ij}\leq 1{,}0}$ hervorgeht. Für das arithmetische Mittel aller Poissonzahlen gilt ${\displaystyle 0\leq {\overline {\nu }}\leq 0{,}5}$.

Die Poissonzahl ${\displaystyle \nu _{xy}}$ eines einachsig in x-Richtung faserverstärkten Kunststoffs, z. B. eines UD-Tapes oder einer Einzelschicht nach der Klassischen Laminattheorie, setzt sich zusammen aus den Poissonzahlen ${\displaystyle \nu _{F}}$ des Fasermaterials und ${\displaystyle \nu _{M}}$ der Kunststoffmatrix, die mit den zugehörigen Flächenanteilen ${\displaystyle {A_{F}}/{A}=\varphi }$ der Fasern bzw. ${\displaystyle {A_{M}}/{A}=({A}-{A_{F}})/{A}=1-\varphi }$ gewichtet sind, gemäß[17]

${\displaystyle \nu _{xy}=\varphi \cdot \nu _{F}+(1-\varphi )\cdot \nu _{M}}$.

Die Poissonzahl quer zu den Fasern ist mit der oben angegebenen Beziehung durch ${\displaystyle \nu _{yx}=\nu _{xy}\cdot E_{y}/E_{x}}$ bestimmt.

Materialien mit negativer Poissonzahl sind selten. Ihnen eigentümlich ist die Zunahme der Querschnittsabmessungen unter einachsiger Längsbeanspruchung. Sie verhalten sich in der Regel anisotrop. Beispiele für solche auxetischen Materialien sind gewisse Polymerschäume, Kristalle oder Carbonfasern. Bei Berücksichtigung dieser auxetischen Materialien, jedoch nur bei Annahme der Isotropie, erweitert sich der Wertebereich der Poissonzahl auf ${\displaystyle -1<\nu \leq 0{,}5}$.

Als direkte Methoden gelten jene, bei denen die räumlichen Verformungen unter definierter Belastung gemessen werden. Diese auf Dehnungsmessung basierenden Verfahren sind dadurch gekennzeichnet, dass an einachsig gezogenen Prüfkörpern gleichzeitig die Längenänderungen in Belastungsrichtung und quer dazu gemessen und über die Definitionsgleichung der Poissonzahl miteinander in Beziehung gesetzt werden.[22] Die simultane Messung beider Verformungen nach dem gleichen Prüfprinzip hat den Vorteil, dass sie unter denselben Prüfbedingungen erfolgt. Nachteilig ist der Fehler, der sich aus der Definition der Poissonzahl als Quotient zweier Messgrößen mit ihren Streuungen ergeben kann, insbesondere im Bereich kleiner Dehnungen.

Die Messung der Längenänderungen kann berührend erfolgen, z. B. mittels induktiven Weggebern oder Dehnungsmessstreifen, oder dann berührungsfrei mittels optischer Verfahren. Unter diesen stehen die Video- und die Laserextensometrie im Vordergrund. Zur Anwendung gelangten u. a. auch schon holografische Dehnungsmessungen. Berührungslose Messverfahren werden mit Vorteil bei Werkstoffen angewendet, bei denen wegen ihrer geringen Härte durch die Berührung mit den Messgebern die Messresultate verfälscht werden könnten.

Bei den indirekten Methoden werden zwei physikalische Größen gemessen, die untereinander über die Poissonzahl in Beziehung stehen, und entsprechend ausgewertet. Zu diesen Größen zählen in erster Linie Moduln und Schallgeschwindigkeiten. Die Problematik dieses Vorgehens besteht darin, die Kompatibilität der Messresultate aus zwei verschiedenen Prüfanordnungen und ihren spezifischen Parametern zu gewährleisten. Dies gilt insbesondere auch für die Bestimmung der Poissonzahl anhand der Messung des Elastizitätsmoduls ${\displaystyle E}$ und des Schubmoduls ${\displaystyle G}$.

Die Bestimmung der Poissonzahl aus Schallgeschwindigkeitsmessungen basiert auf gleichzeitig aufgebrachten Longitudinal- und Transversalwellen, insbesondere auch von solchen im Ultraschallbereich. Da deren Geschwindigkeiten ${\displaystyle c_{L}}$ bzw. ${\displaystyle c_{T}}$ beide von der Poissonzahl abhängigen, kann diese anhand der Messresultate berechnet werden über:[23]

${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c_{L}^{2}-2c_{T}^{2}}{c_{L}^{2}-c_{T}^{2}}}}$.

Bei der Volumendilatometrie wird die Poissonzahl anhand der Volumenänderung ${\displaystyle \Delta V/V}$ des Probekörpers unter hydrostatischem Druck ${\displaystyle p}$ bestimmt, aufgebracht in einem geeigneten Druckgefäß. Mit dem Elastizitätsmodul ${\displaystyle E}$ als zweiter Messgröße ergibt sich

${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2}}\cdot \left(1-3\cdot {\frac {V}{\Delta V}}\cdot {\frac {p}{E}}\right)}$.

Die Volumendilatometrie wird auch etwa den direkten Methoden zugeordnet.[9]