Poisson-Approximation

Der Wert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable an der Stelle ${\displaystyle k}$ ist der Grenzwert ${\displaystyle n\to \infty }$ einer Binomialverteilung mit ${\displaystyle p={\tfrac {\lambda }{n}}}$ an der Stelle ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(S_{n}=k)&=\lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\left({\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}\right)\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}\\&={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot \lim _{n\to \infty }\underbrace {\left({\frac {n}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-2}{n}}\cdots {\frac {n-k+1}{n}}\right)} _{\to 1}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to e^{-\lambda }}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&={\frac {\lambda ^{k}\mathrm {e} ^{-\lambda }}{k!}}.\end{aligned}}}$

Bei großen Stichproben und kleinem ${\displaystyle p}$ lässt sich folglich die Binomialverteilung gut durch die Poisson-Verteilung approximieren.

Die Darstellung als Grenzwert der Binomialverteilung erlaubt eine alternative Berechnung von Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung. Seien ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}\,n}$ unabhängige bernoulliverteilte Zufallsvariablen mit ${\displaystyle \,p=\lambda /n}$ und sei ${\displaystyle S_{n}:=X_{1}+\dotsb +X_{n}}$. Für ${\displaystyle n\to \infty }$ gilt ${\displaystyle S_{n}\sim P_{\lambda }}$ und

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (S_{n})&=\operatorname {E} (X_{1})+\dotsb +\operatorname {E} (X_{n})=\underbrace {{\frac {\lambda }{n}}+\dotsb +{\frac {\lambda }{n}}} _{n\,\mathrm {mal} }=\lambda \to \lambda \\\operatorname {Var} (S_{n})&=\operatorname {Var} (X_{1})+\dotsb +\operatorname {Var} (X_{n})\\&=\underbrace {{\frac {\lambda }{n}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)+\dotsb +{\frac {\lambda }{n}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)} _{n\,\mathrm {mal} }=\lambda \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)\to \lambda .\end{aligned}}}$

Für die Fehlerabschätzung gilt

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}\left|B_{n,p}(\{k\})-P_{n\cdot p}(\{k\})\right|\leq 2np^{2}}$.

Die Approximation einer Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen (bzw. einer binomialverteilten Zufallsvariable) ist also insbesondere für kleine ${\displaystyle p}$ gut. Als Faustregel gilt, dass die Approximation gut ist, wenn ${\displaystyle n\geq 50}$ und ${\displaystyle p\leq 0{,}05}$ gilt. Ist ${\displaystyle p\approx 0{,}5}$, so ist die Normal-Approximation besser geeignet.

Allgemeiner lässt sich Folgendes zeigen: Sind ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$ stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit ${\displaystyle P(X_{i}=1)=p_{i}=1-P(X_{i}=0)}$ (Jede Zufallsvariable ist also Bernoulli-verteilt). Dann ist

${\displaystyle S:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

verallgemeinert binomialverteilt und es ist

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}p_{i}}$.

Dann gilt

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|P(S=k)-\exp(-\lambda ){\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right|\leq 2\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}}$.

Im Englischen ist dieses Resultat als „Ungleichung von Le Cam“ (Le Cam's Inequality) bekannt.[1]

Gilt ${\displaystyle p_{i}=p_{j}}$ für alle ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$, so ist ${\displaystyle S}$ binomialverteilt und das obige Ergebnis folgt sofort.

Sei ${\displaystyle X_{i}=1}$ die Zufallsvariable „Der ${\displaystyle i}$-te Nachkomme erreicht das geschlechtsreife Alter“. Es gilt ${\displaystyle P(X_{i}=1)=p_{i}}$ und ${\displaystyle P(X_{i}=0)=1-p_{i}}$ für alle ${\displaystyle i}$. Dann ist die Anzahl der überlebenden Nachkommen ${\displaystyle S:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ aufgrund der stochastischen Unabhängigkeit ${\displaystyle B_{n,p}}$-verteilt. Zur Modellierung definiert man den Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ mit der Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega$ :=\{0,\dotsc ,n\}} , der Anzahl der überlebenden geschlechtsreifen Nachkommen. Die σ-Algebra ist dann kanonisch die Potenzmenge der Ergebnismenge: ${\displaystyle \Sigma$ :={\mathcal {P}}(\Omega )} und als Wahrscheinlichkeitsverteilung die Binomialverteilung: ${\displaystyle P(\{k\}):=B_{n,p}(\{k\})}$. Gesucht ist ${\displaystyle P(S\geq 2)=1-P(S=1)-P(S=0)=1-B_{1000;\,0{,}001}(\{0\})-B_{1000;\,0{,}001}(\{1\})\approx 0{,}2642}$. Es erreichen also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 26 % mindestens zwei Individuen das geschlechtsreife Alter.

Da ${\displaystyle n}$ ausreichend groß und ${\displaystyle p}$ ausreichend klein ist, lässt sich die Binomialverteilung genügend genau mittels der Poisson-Verteilung annähern. Diesmal ist der Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ definiert mittels des Ergebnisraums ${\displaystyle \Omega$ :=\mathbb {N} } , der ${\displaystyle \sigma }$-Algebra ${\displaystyle \Sigma$ :={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} und der Poisson-Verteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P(\{k\}):=P_{\lambda }(\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }}$ mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda =n\cdot p=1}$. Man beachte hier, dass die beiden modellierten Wahrscheinlichkeitsräume unterschiedlich sind, da die Poisson-Verteilung auf einem endlichen Ergebnisraum keine Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Individuen das geschlechtsreife Alter erreichen, ist also ${\displaystyle P(S\geq 2)\approx 1-P_{\lambda }(\{1\})-P_{\lambda }(\{0\})=1-{\frac {\lambda ^{1}}{1!}}e^{-1}-{\frac {\lambda ^{0}}{0!}}e^{-1}\approx 0{,}2642}$.

Bis auf vier Nachkommastellen stimmt also die exakte Lösung mit der Poisson-Approximation überein.