Plastische Zahl

Die beiden konjugiert komplexen Lösungen von

${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$

sind

${\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0{,}6626\pm 0{,}5623i}$

und lassen sich ebenfalls durch die Plastische Zahl ${\displaystyle \rho }$ ausdrücken:

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\rho \pm {\frac {i}{2}}{\sqrt {3\rho ^{2}-4}}}$

Da das Produkt der drei Lösungen der kubischen Gleichung gleich 1 ist, ist der Betragswert der komplexen Lösungen gleich  ${\displaystyle \rho ^{-1/2}\approx 0{,}86883696183}$  (Folge A191909 in OEIS).

Die Plastische Zahl ist der Grenzwert der Quotienten aufeinander folgender Glieder der Padovan-Folge[1]:

${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}}$

Für folgende Gleichung aus vollständigen elliptischen Integralen erster Art lässt sich die Lösung vereinfacht mit der Plastischen Zahl darstellen:

${\displaystyle K({\sqrt {1-x^{2}}})/K(x)={\sqrt {23}}}$

${\displaystyle x=\lambda ^{*}(23)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})\left[{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}\right]^{4}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})[\rho ^{2}-(9\rho ^{2}-2\rho -6)/{\sqrt {23}}]^{4}=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {1}{8}}\rho ^{-12}\right)\right]}$

Dieser Wert ist der elliptische Lambda-Funktionswert von 23.

Aus diesem Resultat folgt:

${\displaystyle \lambda ^{*}\left({\frac {1}{23}}\right)=\cos \left[{\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {1}{8}}\rho ^{-12}\right)\right]}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(92)=\tan \left[{\frac {1}{4}}\arcsin \left({\frac {1}{8}}\rho ^{-12}\right)\right]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}\left({\frac {4}{23}}\right)=\tan \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arcsin \left({\frac {1}{8}}\rho ^{-12}\right)\right]^{2}}$

Die Plastische Zahl selbst kann auch mit dem Bringschen Radikal dargestellt werden, einem bekannten Lösungsverfahren für Gleichungen fünften Grades mit quintischem, linearem und absolutem Glied:

${\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1=0}$

${\displaystyle (\rho ^{2}-\rho +1)(\rho ^{3}-\rho -1)=0}$

${\displaystyle \rho ^{5}-\rho ^{4}-1=0}$

${\displaystyle (1/\rho )^{5}+(1/\rho )-1=0}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{BR(1)}}}$

Denn grundsätzlich gilt für das Bringsche Radikal:

${\displaystyle BR(x^{5}+x)=x}$