Pivotstatistik

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$

Ein Pivot ist eine Zufallsvariable ${\displaystyle T(X,\vartheta )}$ als Funktion von der Stichprobenvariable ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle \vartheta }$, deren Verteilung unabhängig von ${\displaystyle \vartheta }$ ist.[2]

Streng formell wird eine Pivotstatistik wie folgt definiert: Gegeben seien ein Entscheidungsraum ${\displaystyle (\Gamma ,{\mathcal {\mathcal {A}}}_{\Gamma })}$ und eine zu schätzende Funktion

${\displaystyle g\colon \Theta \to \Gamma }$.

Meist ist ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {R} }$. Dann heißt eine messbare Abbildung

${\displaystyle T\colon {\mathcal {X}}\times \Gamma \to \Gamma }$

eine Pivotstatistik für ${\displaystyle g}$, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:[3]

• Für alle ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}_{\Gamma }}$ und alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$ ist die Menge ${\displaystyle \{x\in {\mathcal {X}}\mid T(x,g(\vartheta ))\in B\}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ enthalten.
• Es existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle Q}$ auf ${\displaystyle (\Gamma ,{\mathcal {A}}_{\Gamma })}$, so dass für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$ stets ${\displaystyle P_{\vartheta }\circ T(\cdot ,g(\vartheta ))^{-1}=Q}$ gilt.

Gegeben sei ein festes ${\displaystyle \sigma _{0}>0}$ und sei ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma _{0}^{2})}$ die Normalverteilung mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Varianz ${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$. Sei ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{n}(\mu ,\sigma _{0}^{2})}$ das n-fache Produktmaß.

Betrachtet wird als statistisches Modell das Produktmodell ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),({\mathcal {N}}^{n}(\mu ,\sigma _{0}^{2}))_{\mu \in \mathbb {R} })}$ bei fester Varianz und unbekanntem Erwartungswert.

Dann ist eine Pivot-Statistik gegeben durch

${\displaystyle T(X,\mu )={\frac {{\sqrt {n}}({\overline {X}}-\mu )}{\sigma _{0}}}}$.

Hierbei ist

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

das Stichprobenmittel. Dass es sich um ein Pivot handelt, folgt direkt aus den Rechenregeln für normalverteilte Zufallsvariablen (siehe Invarianz der Normalverteilung gegenüber Faltung), denn es ist ${\displaystyle {\overline {X}}-\mu \sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{0}^{2}/n)}$. Durch Normierung mit der Standardabweichung ${\displaystyle \sigma _{0}/{\sqrt {n}}}$ erhält man, dass ${\displaystyle T}$ immer standardnormalverteilt ist, also ${\displaystyle T(\cdot ,\mu )\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ für alle ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$.

Existiert eine Pivotstatistik ${\displaystyle T}$ und ist eine Menge ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}_{\Gamma }}$ gegeben, so wird durch

${\displaystyle C_{B}(x)=\{\gamma \in \Gamma \mid T(x,\gamma )\in B\}}$

ein Bereichsschätzer definiert.[3] Aufgrund der Definition des Bereichsschätzers ist dann

${\displaystyle \{x\in {\mathcal {X}}\mid g(\vartheta )\in C_{B}(x)\}=\{x\in {\mathcal {X}}\mid T(x,g(\vartheta ))\in B\}}$

und somit

${\displaystyle P_{\vartheta }(\{x\in {\mathcal {X}}\mid g(\vartheta )\in C_{B}(x)\})=P_{\vartheta }(\{x\in {\mathcal {X}}\mid T(x,g(\vartheta ))\in B\})=Q(B)}$

für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$ aufgrund der Pivoteigenschaft von ${\displaystyle T}$. Der Bereichsschätzer ${\displaystyle C_{B}}$ liefert also einen Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau ${\displaystyle Q(B)}$. Die Wahl der Menge ${\displaystyle B}$ bestimmt somit Konfidenzniveau und Geometrie des Konfidenzbereiches.

Unter denselben Rahmenbedingungen wie im obigen Beispiel soll ein Konfidenzbereich für den Mittelwert zum Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ bestimmt werden. Da ${\displaystyle Q={\mathcal {N}}(0,1)}$ ist, muss zuerst eine Menge ${\displaystyle B}$ gewählt werden, so dass

${\displaystyle Q(B)={\mathcal {N}}(0,1)(B)=1-\alpha }$.

Die Wahl von ${\displaystyle B}$ hängt im Wesentlichen von der Anwendung ab. Gängig sind einseitige Konfidenzintervalle

${\displaystyle B_{1}=[a_{1},+\infty )}$ oder ${\displaystyle B_{2}=(-\infty ,a_{2}]}$

oder zweiseitige Konfidenzintervalle

${\displaystyle B_{3}=[-a_{3},a_{3}]}$.

Dabei müssen ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$ nun so gewählt werden, dass ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)(B_{i})=1-\alpha }$ für ${\displaystyle i=1,2,3}$ ist. Dafür wählt man die passenden ${\displaystyle p}$-Quantile ${\displaystyle u_{p}}$ der Standardnormalverteilung aus und erhält ${\displaystyle a_{1}=u_{\alpha }}$ sowie ${\displaystyle a_{2}=u_{1-\alpha }}$ und ${\displaystyle a_{3}=u_{1-\alpha /2}}$.

Damit ergibt sich für den Bereichsschätzer mit der Menge ${\displaystyle B_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{B_{1}}(X)&=\{\mu \in \mathbb {R} \mid T(X,\mu )\in [u_{\alpha },+\infty )\}\\&=\left\{\mu \in \mathbb {R} \;\mid \;{\frac {{\sqrt {n}}({\overline {X}}-\mu )}{\sigma _{0}}}\geq u_{\alpha }\right\}\\&=\left\{\mu \in \mathbb {R} \mid \mu \geq {\overline {X}}-{\frac {\sigma _{0}u_{1-\alpha }}{\sqrt {n}}}\right\}\end{aligned}}}$,

da aufgrund der Symmetrie der Standardnormalverteilung ${\displaystyle u_{1-\alpha }=-u_{\alpha }}$ gilt.

Als einseitiges Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ für den Erwartungswert erhält man somit

${\displaystyle C_{B_{1}}(X)=\left[{\overline {X}}-{\frac {\sigma _{0}u_{1-\alpha }}{\sqrt {n}}},+\infty \right)}$.

Durch analoges Vorgehen mit den Mengen ${\displaystyle B_{2}}$ und ${\displaystyle B_{3}}$ erhält man als zweites einseitiges Konfidenzintervall

${\displaystyle C_{B_{2}}(X)=\left(-\infty ,{\overline {X}}+{\frac {\sigma _{0}u_{1-\alpha }}{\sqrt {n}}}\right]}$

und als beidseitiges Konfidenzintervall

${\displaystyle C_{B_{3}}(X)=\left[{\overline {X}}-{\frac {\sigma _{0}}{\sqrt {n}}}u_{1-\alpha /2};{\overline {X}}+{\frac {\sigma _{0}}{\sqrt {n}}}u_{1-\alpha /2}\right]}$.

Eng mit den Pivotstatistiken sind die approximativen Pivotstatistiken verwandt. Sie dienen der Konstruktion von approximativen Konfidenzbereichen und beruhen auf Grenzwertbetrachtungen.

1. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 234, doi:10.1515/9783110215274.
2. Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 142, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
3. Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 231, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.