Picardgruppe

Ist ${\displaystyle M}$ ein Modul über einem Ring ${\displaystyle R}$, so wird ${\displaystyle M}$ projektiv vom Rang 1 genannt, wenn er projektiv ist und lokal vom Rang 1 ist, wenn also für alle Primideale von ${\displaystyle R}$ gilt:

${\displaystyle M_{p}\cong R_{p}}$

Sind ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ projektiv vom Rang 1, dann auch

${\displaystyle M\otimes N}$

und der duale Modul

${\displaystyle M^{\vee }:=Hom_{R}(M,R)}$

Es gilt:

${\displaystyle M\otimes M^{\vee }\cong R}$

und

${\displaystyle M\otimes R\cong M}$

Die Isomorphieklassen von projektiven Moduln vom Rang 1 über einem Ring ${\displaystyle R}$ bilden daher eine Gruppe. Diese wird als Picardgruppe bezeichnet.

Ein Ringhomomorphismus

${\displaystyle f\colon A\to B}$

induziert einen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \mathrm {Pic} (f)\colon \mathrm {Pic} (A)\to \mathrm {Pic} (B)}$

${\displaystyle \mathrm {Pic} (f)\colon P\mapsto P\otimes _{A}B}$

denn durch ${\displaystyle f}$ wird ${\displaystyle B}$ zu einer ${\displaystyle A}$-Algebra. Ist ${\displaystyle P}$ ein projektiver Modul vom Rang 1 über ${\displaystyle A}$, so ist

${\displaystyle P\otimes _{A}B}$

ein projektiver Modul vom Rang ${\displaystyle 1}$ über ${\displaystyle B}$.

${\displaystyle \mathrm {Pic} }$ ist ein kovarianter Funktor.

Im Folgenden sei ${\displaystyle S}$ eine multiplikative Menge ohne Nullteiler. (Eine Menge ${\displaystyle S}$ ist multiplikativ, wenn ${\displaystyle 1\in S}$ und ${\displaystyle r,s\in S\Rightarrow rs\in S}$.) Ein ${\displaystyle S}$-Ideal ist ein ${\displaystyle A}$-Untermodul ${\displaystyle I}$ von ${\displaystyle S^{-1}}$, für das es ein Element ${\displaystyle s\in S}$ gibt, sodass

${\displaystyle sA\subset M\subset s^{-1}I}$

Bezeichne

${\displaystyle \mathrm {Inv} (A,S)}$

die Menge der invertierbaren S-Ideale von ${\displaystyle A}$ und

${\displaystyle \mathrm {H} (A,S):=\{I\in \mathrm {Inv} (A,S)|\exists x\in S^{-1}AI=Ax\}}$

die Menge der invertierbaren Hauptideale.

${\displaystyle \mathrm {Inv} (A,S)/\mathrm {H} (A,S)}$

wird als die ${\displaystyle S}$-Idealklassengruppe bezeichnet.

Es existiert eine exakte Folge:

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {H} (A,S)\longrightarrow \mathrm {Inv} (A,S)\longrightarrow \mathrm {Pic} (A)\longrightarrow \mathrm {Pic} (S^{-1}A)}$

Um also die Picardgruppe als Idealklassengruppe darzustellen, muss eine multiplikative Menge ohne Nullteiler gefunden werden, sodass

${\displaystyle \mathrm {Pic} (S^{-1}A)=0}$

ist.

Wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

• ${\displaystyle A}$ ist ein Integritätsring und ${\displaystyle S=A\backslash \{0\}}$
• ${\displaystyle A}$ ist ein reduzierter Ring, der nur endlich viele minimale Primideale ${\displaystyle \{p_{1},\dots ,p_{n}\}}$ hat und

${\displaystyle S=A\backslash \bigcup _{i=1}^{n}p_{i}}$

• ${\displaystyle A}$ ist noethersch und

${\displaystyle S=A\backslash \bigcup _{p\in Ass(A)}p}$

Dann ist die Picardgruppe von ${\displaystyle A}$ gleich der ${\displaystyle S}$-Idealklassengruppe von ${\displaystyle A}$.

Die Definition für Ringe lässt sich auf geringte Räume, insbesondere auf Schemata übertragen.

Eine invertierbare Garbe eines geringten Raumes ist eine lokal freie Modulgarbe vom Rang 1.

Sind ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ invertierbare Garben auf einem geringten Raum, dann ist auch ${\displaystyle {\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}}$ eine invertierbare Garbe. Außerdem gibt es eine invertierbare Garbe

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\vee }={\mathcal {H}}{\mathit {om}}({\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})}$

sodass

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\vee }\otimes {\mathcal {L}}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$

Ferner gilt:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}\cong {\mathcal {L}}}$

Die Picardgruppe eines geringten Raumes, insbesondere eines Schemas, ist die Gruppe der Isomorphismenklasse von invertierbaren Garben mit dem Tensorprodukt als Verknüpfung.

Die Picardgruppe ist isomorph zur ersten Kohomologiegruppe:

${\displaystyle \mathrm {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$

Ist

${\displaystyle X=\mathbf {P_{k}^{n}} }$

der projektive Raum über einem Körper, so ist

${\displaystyle \mathrm {Pic} (X)\cong \mathbb {Z} }$