Photosedimentation

${\displaystyle F_{G}}$

${\displaystyle F_{A}}$

${\displaystyle F_{R}}$

${\displaystyle F_{G}-F_{A}=F_{R}}$

Diese Kräfte lassen sich auch wie folgt beschreiben:[4]

${\displaystyle F_{G}=\rho _{P}\cdot V_{P}\cdot g}$				mit ${\displaystyle \rho _{P}:=}$ Dichte des Partikels, ${\displaystyle V_{P}:=}$ Volumen des Partikels, ${\displaystyle g:=}$ Erdbeschleunigung
${\displaystyle F_{A}=\rho _{D}\cdot V_{P}\cdot g}$				mit ${\displaystyle \rho _{D}:=}$ Dichte des Dispersionsmittels, ${\displaystyle V_{P}:=}$ Volumen des Partikels, ${\displaystyle g:=}$ Erdbeschleunigung
${\displaystyle F_{R}=u\cdot f}$				mit ${\displaystyle u:=}$ Absinkgeschwindigkeit bzw. Sedimentationsgeschwindigkeit, ${\displaystyle f:=}$ Reibungskoeffizient

Damit ist also:
${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&(\rho _{P}\cdot V_{P}\cdot g)-(\rho _{D}\cdot V_{P}\cdot g)&=u\cdot f\\\Leftrightarrow &(\rho _{P}-\rho _{D})\cdot V_{P}\cdot g&=u\cdot f\end{alignedat}}}$

Da oben beschrieben wurde, dass dem Partikel eine Kugel zugeordnet werden soll, wird das Volumen des Partikels ${\displaystyle V_{P}}$ wie das Volumen einer Kugel berechnet:

${\displaystyle V_{P}={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}}$

mit ${\displaystyle r:=}$ Radius

Außerdem wurde gesagt, dass das Gesetz von Stokes angewendet werden darf. Der Reibungskoeffizient ${\displaystyle f}$ lässt sich daher wie folgt schreiben:[1]

${\displaystyle f=6\cdot \Pi \cdot \eta \cdot r}$

mit ${\displaystyle \eta$ :=} Viskosität des Dispersionsmittels

Werden diese beiden Gleichungen eingesetzt, ergibt sich:
${\displaystyle (\rho _{P}-\rho _{D})\cdot {\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}\cdot g=u\cdot 6\cdot \Pi \cdot \eta \cdot r}$
Nach ${\displaystyle u}$ umgestellt, ist:
${\displaystyle u={\frac {(\rho _{P}-\rho _{D})\cdot g}{18\eta }}(2r)^{2}={\frac {(\rho _{P}-\rho _{D})\cdot g}{18\eta }}d^{2}}$
Wird dies nach dem Durchmesser ${\displaystyle d}$ umgestellt, erhält man den Stokes-Durchmesser:
${\displaystyle d_{\text{Stokes}}={\sqrt {{\frac {18\eta }{(\rho _{P}-\rho _{D})\cdot g}}\cdot u}}}$

Wie im Kapitel zur Funktionsweise beschrieben wurde und im dort eingefügten Bild zu sehen ist, ist die Messebene festgelegt, sodass die Strecke vom Startpunkt bis zur Messebene als Sedimentationsstrecke ${\displaystyle h}$ bezeichnet werden kann. Da die Messung in Abhängigkeit von der Zeit erfolgt, kann bestimmt werden, in welcher Zeit ${\displaystyle t}$ die Sedimentationsstrecke ${\displaystyle h}$ zurückgelegt wurde. Die Sedimentationsgeschwindigkeit ist also:[1]
${\displaystyle u={\frac {h}{t}}}$
Für den Stokes-Durchmesser ${\displaystyle d_{\text{Stokes}}}$ ergibt sich damit:
${\displaystyle d_{\text{Stokes}}={\sqrt {{\frac {18\eta }{(\rho _{P}-\rho _{D})\cdot g}}\cdot {\frac {h}{t}}}}}$
Damit ist die Formel für die Berechnung der Stokes-Durchmesser im Gravitationsfeld hergeleitet worden.

Die Sedimentation von Partikeln, die kleiner als 5 μm sind, wird durch eine Zentrifuge beschleunigt. In dieser wirkt die Zentrifugalbeschleunigung ${\displaystyle \omega ^{2}\cdot r_{M}}$, weshalb hier für den Stokes-Durchmesser ${\displaystyle d_{\text{Stokes}}}$ gilt:[1]

${\displaystyle d_{\text{Stokes}}={\sqrt {{\frac {18\eta }{(\rho _{P}-\rho _{D})\cdot \omega ^{2}\cdot r_{M}}}\cdot u}}}$				mit ${\displaystyle \omega$ :=} otationsgeschwindigkeit und ${\displaystyle r_{M}:=}$ Radius der Messebene

In einer Zentrifuge ergibt sich die Sedimentationsgeschwindigkeit ${\displaystyle u}$ des Partikels durch die Zeit ${\displaystyle t}$, die das Partikel benötigt, um vom Startpunktradius ${\displaystyle r_{0}}$ zum Messradius ${\displaystyle r_{M}}$ zu gelangen. Es ist also:[1]
${\displaystyle u={\frac {\ln \left({\frac {r_{M}}{r_{0}}}\right)\cdot r_{M}}{t}}}$
Damit ergibt sich für den Stokes-Durchmesser ${\displaystyle d_{\text{Stokes}}}$ eines Partikels in der Zentrifuge:
${\displaystyle d_{\text{Stokes}}={\sqrt {\frac {18\eta \cdot \ln \left({\frac {r_{M}}{r_{0}}}\right)}{(\rho _{P}-\rho _{D})\cdot \omega ^{2}\cdot t}}}}$