Drachenviereck

Für jedes Drachenviereck gilt (siehe Abbildung):

• Die Diagonalen ${\displaystyle e}$ und ${\displaystyle f}$ stehen senkrecht aufeinander, d. h., das Drachenviereck ist ein orthodiagonales Viereck.
• Die Diagonale ${\displaystyle AC=e}$, die die Symmetrieachse ist, halbiert die andere Diagonale ${\displaystyle BD=f}$ und die Innenwinkel in den Eckpunkten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle C}$. Sie teilt das Viereck ${\displaystyle ABCD}$ in zwei kongruente spiegelsymmetrische Dreiecke.
• Die Diagonale ${\displaystyle BD=f}$ teilt das Drachenviereck in zwei gleichschenklige Dreiecke.
• Die einander gegenüber liegenden Winkel in den Eckpunkten ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle D}$ sind gleich groß.

Für jedes konvexe Drachenviereck gilt:

• Es hat einen Inkreis und ist daher ein Tangentenviereck.
• Es ist ein Sehnenviereck, wenn die beiden gleichen Winkel in den Eckpunkten ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle D}$ rechte Winkel sind. Das ergibt sich aus der Umkehrung des Satzes des Thales. Es besitzt dann einen Umkreis.

Ein Tangentenviereck ist genau dann ein Drachenviereck, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:[2]

• Zwei benachbarte Seiten sind gleich lang.
• Die Diagonalen sind orthogonal.
• Die Verbindungsstrecken der Tangentialpunkte sind gleich lang.
• Zwei gegenüber liegende Tangentenabschnitte sind gleich lang.
• Der Inkreismittelpunkt liegt auf einer Diagonalen.

Ein schräges Drachenviereck ist ein ebenes Viereck, in dem eine der Diagonalen durch die andere halbiert wird.[3] Ein solches Viereck wird manchmal auch schief genannt.[4] Bei einem schrägen Drachenviereck stehen die Diagonalen also nicht zwangsläufig orthogonal zueinander. Das Drachenviereck ist in diesem Sinne ein gerader Drachen. Für das schräge Drachenviereck gilt eine über das Kreuzprodukt verallgemeinerte Formel für den Flächeninhalt.

Ein Viereck ist genau dann ein schiefes Drachenviereck, wenn es sich von einem inneren Punkt aus mit geraden Verbindungen zu den vier Ecken in vier flächengleiche Dreiecke zerlegen lässt.[5]

Einige besondere Parkettierungen enthalten Drachenvierecke. Bekannt ist vor allem die Penrose-Parkettierung.

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  Eine Penrose-Parkettierung
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  Drachenvierecke mit je zwei rechten Winkeln und je einem von der Symmetrieachse geschnittenen 60°-Winkel

Einige Polyeder haben Drachenvierecke als Seitenflächen. Die Oberfläche von Deltoidalikositetraeder und Deltoidalhexakontaeder, zweier catalanischer Körper, besteht aus kongruenten Drachenvierecken.

Die Rhomboeder, das Rhombendodekaeder und das Rhombentriakontaeder haben sogar Rauten als Seitenflächen. Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch, d. h. sie können durch Drehung um bestimmte Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden.

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  Rhomboeder
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  Rhombendodekaeder
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  Rhombentriakontaeder
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  Deltoidalikositetraeder
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  Deltoidalhexakontaeder

1. Lehrpläne - Vorbereitungslehrgänge für Arbeitslehrerinnen
2. Martin Josefsson: When is a Tangential Quadrilateral a Kite?, Forum Geometricorum
3. Drachenvierecke, Mathematik, TU Freiberg
4. Jürgen Köller: Hierarchie der Vierecke, Mathematische Basteleien
5. Hans Walser: Viereck-Viertelung