Periodogramm

Das Periodogramm ist ein Schätzer für die spektrale Leistungsdichte eines Signals. Gesucht ist also eine Funktion $P\left(\omega \right)$ , welche die Verteilung der Leistung (oder Energie) des Signals auf die Kreisfrequenz $\omega$ angibt. Der Ausdruck wurde von Arthur Schuster 1898 geprägt.[1] Die Methode wird eingesetzt in der Signalverarbeitung, Elektrotechnik, Physik und Ökonometrie. Ein wichtiges Beispiel sind Spektrum-Analysatoren.

Im mathematischen Sinn ist das Periodogramm ein nicht konsistenter Schätzer, siehe auch Spektraldichteschätzung.

Ein Leistungsdichtespektrum (Amplitudenquadrat) zweier Sinus-Basisfunktionen als Funktion der Frequenz.

Kontext und Konventionen

In der Regel sind nur Abtastwerte des Signals $f\left(t\right)$ zu diskreten Zeitpunkten $t_{n}=nT$ mit konstanter Abtastdauer $T$ gegeben, und man beschränkt sich zur Abschätzung auf $N$ Abtastwerte, z. B. $f\left(t_{n}\right)$ mit $0\leq n<N$ , d. h. auf ein Zeitintervall der Dauer $NT$ .

Ein wesentlicher Schritt des Verfahrens ist eine diskrete Fourier-Transformation. Die Einschränkung der Fourier-Transformation auf ein Zeitintervall der Dauer $NT$ lässt sich erreichen durch Multiplikation des Signals mit einer Fensterfunktion $w\left(t\right)$ . Im einfachsten Fall ist $w\left(t\right)$ eine Rechteckfunktion der Breite $NT$ .

Um Artefakte im Spektrum (aufgrund der Unstetigkeiten des Rechteckfensters) zu verringern, werden jedoch in der Regel Fenster mit langsameren Änderungen und eigenen Bezeichnungen verwendet, z. B. das Parzen-Fenster oder das „Welch-Fenster“. Man spricht dann von einem modifizierten Periodogramm.[2]

Für die diskrete Fouriertransformierte des Signals $f\left(t\right)w\left(t\right)$ wird die Schreibweise $F^{\left(w\right)}\left(\omega _{m}\right)=\sum \limits _{n}f\left(t_{n}\right)w\left(t_{n}\right)e^{i\omega _{m}t_{n}}$ verwendet. Hierbei sind nur Kreisfrequenzen $\omega _{m}=2\pi m/(NT)$ mit $0\leq m<N$ zulässig.

Definition

Das Periodogramm ist definiert gemäß

P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)={\frac {\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}{\sum _{n=0}^{N-1}w\left(t_{n}\right)^{2}}}.

In Übereinstimmung mit dem Abtasttheorem ist das Periodogramm $2\pi /T$ -periodisch. Man beschränkt sich daher auf ein Intervall (Brillouin-Zone) $0\leq \omega \leq 2\pi /T$ oder $-\pi /T\leq \omega \leq \pi /T$ .

Den Normierungsfaktor betreffend gibt es verschiedene Konventionen. Eine wichtige Kenngröße hierbei ist das mittlere Amplitudenquadrat $\left\langle A^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{n}\left|f\left(t_{n}\right)\right|^{2}$ (die mittlere Leistung) des Signals. Die Normierung ist so gewählt, dass der Mittelwert von $P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)$ bestmöglich mit $\left\langle A^{2}\right\rangle$ übereinstimmt.

Falls die Amplitude des Signals digitalisiert ist und Maximalwert $A$ hat, ist das Periodogramm auch relativ zum Maximum normierbar (Fullscale). Das Maximum wird für monochromatische Signale $f=Ae^{-i\omega t}$ erreicht, das Full-Scale Periodogramm ist

P_{FS}^{\left(w\right)}\left(\omega \right)={\frac {\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}{\left(\sum _{n=0}^{N-1}w\left(t_{n}\right)\right)^{2}}}.

Beispiele

Weißes Rauschen

Es sei $f\left(t\right)$ ein weißes Rauschen mit Varianz $\left\langle A^{2}\right\rangle$ , $\left\langle f\left(t_{m}\right)f^{*}\left(t_{n}\right)\right\rangle =\delta _{m,n}\left\langle A^{2}\right\rangle$ . Das Ensemble-Mittel des Betragsquadrats der Fourier-Transformierten ist dann

\left\langle \left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}\right\rangle =\left\langle A^{2}\right\rangle \sum \limits _{m,n}e^{i\omega \left(t_{m}-t_{n}\right)}\delta _{m,n}w\left(t_{m}\right)w\left(t_{n}\right)=\left\langle A^{2}\right\rangle \sum _{n}w\left(t_{n}\right)^{2}.

Das Periodogramm hat den Mittelwert $\left\langle A^{2}\right\rangle$ , und zwar unabhängig von der Fensterlänge. Alle Frequenzen geben denselben Energiebeitrag.

Konstantes Signal

Für den Frequenz-Mittelwert von $\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}$ lassen sich allgemeine Aussagen machen. Ausgangspunkt ist

\sum _{\omega }\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}=\sum _{\omega }\sum \limits _{t,t'}e^{i\omega \left(t-t'\right)}f\left(t\right)w\left(t\right)f^{*}\left(t'\right)w\left(t'\right)=N\sum _{t}\left|f\left(t\right)\right|^{2}w^{2}\left(t\right).

Für konstantes Signal $f\left(t\right)=A$ wird

\sum _{\omega }\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}=N\left\langle A^{2}\right\rangle \sum _{t}w^{2}\left(t\right).

Der Mittelwert des Periodogramms ist (unabhängig von $N$ ) ebenfalls $\left\langle A^{2}\right\rangle$ . Das Periodogramm liefert bei konstantem Signal einen Peak bei Frequenz $0$ . Mit wachsendem $N$ wird dieser Peak höher und schmäler.

Rechteck-Fenster

Im Fall eines Rechteck-Fensters $w=1$ gilt die Parseval-Gleichung $\sum _{\omega }\left|F\left(\omega \right)\right|^{2}=N^{2}\left\langle A^{2}\right\rangle$ . Durch Division durch $N^{2}$ folgt der Mittelwert des Periodogramms $\sum _{\omega }P\left(\omega \right)/N=\left\langle A^{2}\right\rangle$ . Dieser Wert ist von $N$ unabhängig, sofern dies für das mittlere Amplitudenquadrat $\left\langle A^{2}\right\rangle$ gilt.

Einschränkungen und Verbesserungen

Die Zahl der Werte im Periodogramm wächst mit der Fensterlänge $N$ , die Werte werden dabei jedoch nicht genauer. Im Fall eines weißen Rauschens mit Amplitude $A$ bleibt die Varianz der Periodogramm-Werte bei wachsender Fensterlänge von der Größenordnung $A^{4}$ .[3] Abhilfe schafft eine Mittelung benachbarter Werte oder eine Mittelung über mehrere Periodogramme.[2]

Kontinuierliches Signal

Für ein auf dem Zeit-Kontinuum definiertes Signal $f(t)$ ist die Fourier-Transformierte des Produktes von Signal und Fensterfunktion

F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)w\left(t\right)e^{i\omega t}dt.

Das Periodogramm ist

P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)={\frac {\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}{T\int _{-\infty }^{\infty }w^{2}\left(t\right)dt}}.

Wie beim abgetasteten Signal bleibt die Standardabweichung der Periodogramm-Werte bei wachsender Zeitreihenlänge $T$ im ungünstigsten Fall von derselben Größenordnung wie die Werte selber.

Einzelnachweise

Arthur Schuster: On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena, Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity, 3, S. 13–41, 1898
William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Michael Metcalf: Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43108-5
Monson H. Hayes: Statistical Digital Signal Processing and Modeling, John Wiley & sons, inc, 1996, ISBN 978-0-471-59431-4

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[Schuster-1] Arthur Schuster: On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena, Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity, 3, S. 13–41, 1898

[NumRepC-2] William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Michael Metcalf: Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43108-5

[Hayes-3] Monson H. Hayes: Statistical Digital Signal Processing and Modeling, John Wiley & sons, inc, 1996, ISBN 978-0-471-59431-4