Periodische Folge

Eine Folge ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ heißt periodisch, wenn es natürliche Zahlen ${\displaystyle d}$ und ${\displaystyle N}$ gibt, so dass

${\displaystyle a_{n}=a_{n+d}}$

für alle ${\displaystyle n>N}$ gilt. Im Fall ${\displaystyle N=0}$ heißt die Folge reinperiodisch oder streng periodisch.[1][2] Die minimale Zahl ${\displaystyle d}$ mit obiger Eigenschaft wird Periodenlänge genannt.[2]

Sei ${\displaystyle a_{0}=1}$ und ${\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}{\bmod {1}}00}$ für ${\displaystyle n\geq 0}$, wobei ${\displaystyle {}{\bmod {}}}$ der Modulo-Operator ist.

Anschaulich ist ${\displaystyle a_{n}}$ die aus den letzten beiden Ziffern der Dezimaldarstellung von ${\displaystyle 2^{n}}$ gebildete Zahl. Diese Folge beginnt mit den Werten

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 4 …

Danach wiederholen sich diese Werte.

Betrachtet man ganz allgemein eine rekursiv definierte Folge, also eine Folge, die durch ${\displaystyle a_{n+1}=f(a_{n})}$ für eine feste Funktion ${\displaystyle f}$ definiert ist, und nimmt ${\displaystyle f}$ nur endlich viele Werte an, dann ist die Folge ${\displaystyle a_{i}}$ immer periodisch.

Es sei ${\displaystyle b>1}$ eine feste natürliche Zahl. Sind ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ natürliche Zahlen, so wird die Folge der Nachkommastellen der ${\displaystyle b}$-adischen Darstellung von ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ nach dem obigen Prinzip schließlich periodisch, weil sie iterativ durch die Reste bei der Division bestimmt wird, und diese Reste können nur die endlich vielen Werte ${\displaystyle 0,1,\ldots ,b-1}$ annehmen.

Also ist eine reelle Zahl genau dann rational, wenn sie eine periodische ${\displaystyle b}$-adische Darstellung hat. Bei ${\displaystyle b=10}$ ist das die Dezimalbruchdarstellung.

1. Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8, S. 305.
2. Periodische Folge. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.