Pentagonhexakontaeder

Das Pentagonhexakontaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum abgeschrägten Dodekaeder und hat 92 Ecken sowie 150 Kanten.

3D-Ansicht eines Pentagonhexakontaeders (Animation)

Netz des Pentagonhexakontaeders

Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonhexakontaeder.

Spiegelvariante 1
Spiegelvariante 2

Entstehung

Konstruktion des Tangentenfünfecks am abgeschrägten Dodekaeder

Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 153°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Nachfolgend bezeichne der Term $t$ den Kosinus des kleineren Zentriwinkels $\zeta$ im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck; $\Phi$ sei die Goldene Zahl.

$t$ ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung $8t^{3}+8t^{2}-\Phi ^{2}=0$ .

t=\cos \,\zeta ={\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9+{\sqrt {81\Phi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9-{\sqrt {81\Phi -15}})}}-4\right)\approx 0{,}47157563

Sei $d$ die Kantenlänge des abgeschrägten Dodekaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch

a={\frac {d\,(1+2t)}{2\,(1-2t^{2}){\sqrt {2+2t}}}}

b={\frac {d}{\sqrt {2+2t}}}

.

Damit stehen die beiden Seitenlängen im folgenden Verhältnis zueinander:[1]

2a\left(1-2t^{2}\right)=b\left(1+2t\right)

Formeln

Für das Polyeder

Größen eines Pentagonhexakontaeders mit Kantenlänge a bzw. b[2]
Volumen[3] ≈ 35,42a³ ≈ 189,84b³	$V={\frac {40a^{3}(1+t)(2+3t)(1-2t^{2})^{2}}{(1+2t)^{3}{\sqrt {1-2t}}}}={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2}){\sqrt {1-2t}}}}$
Oberflächeninhalt[3] ≈ 53,14a² ≈ 162,73b²	$A_{O}={\frac {120a^{2}(2+3t)(1-2t^{2})}{(1+2t)^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}={\frac {30b^{2}(2+3t)}{(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}$
Kantenkugelradius[3]	$r={\frac {a\,(1-2t^{2})}{1-4t^{2}}}{\sqrt {2\,(1+t)(1-2t)}}=b\,{\sqrt {\frac {1+t}{2\,(1-2t)}}}$
Inkugelradius[3]	$\rho ={\frac {a\,(1-2t^{2})}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1+t}{(1-t)(1-2t)}}}={\frac {b}{2}}\,{\sqrt {\frac {1+t}{(1-t)(1-2t)}}}$
Flächenwinkel[3] ≈ 153° 10′ 43″	$\cos \,\alpha ={\frac {t}{t-1}}$
Sphärizität ≈ 0,98163	$\Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{36\,\pi \,V^{2}}}{A_{O}}}$

Für die Begrenzungsflächen

Größen des Tangentenfünfecks[2]
Flächeninhalt[3]	$A={\frac {2a^{2}(2+3t)(1-2t^{2})}{(1+2t)^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}={\frac {b^{2}(2+3t)}{2\,(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}$
Inkreisradius[3]	$r={\frac {a\,(1-2t^{2})}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}={\frac {b}{2}}\,{\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}$
Diagonale[3] $\\|\,b$	$e=2a\,(1-2t^{2})=b\,(1+2t)$
Stumpfe Winkel[3](4) ≈ 118° 8′ 12″	$\cos \,\alpha =-t$
Spitzer Winkel (1) ≈ 67° 27′ 13″	$\cos \,\beta =1-2\,(1-2t^{2})^{2}$

Anwendung

Größen in den Begrenzungsflächen des Pentagonhexakontaeders

In den USA ist ein Verfahren patentiert, bei dem 92 der insgesamt 332 Vertiefungen („dimples“) eines Golfballs auf den Gitterpunkten eines Pentagonhexakontaeders liegen.[4]

Anmerkungen und Einzelnachweise

Mit a sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.
Diese Formeln gelten für den Fall $2a\left(1-2t^{2}\right)=b\left(1+2t\right)$ .
Diese Formel gilt auch für das Pentagonikositetraeder sowie das Pentagondodekaeder, sofern man die entsprechenden Werte für b (kurze Seitenlänge), n (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie t (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.
Patent US6527653B2: Pentagonal hexecontahedron dimple pattern on golf balls. Angemeldet am 5. März 2001, veröffentlicht am 4. März 2003, Anmelder: Acushnet Co, Erfinder: Douglas C. Winfield, Steven Aoyama.

Weblinks

Commons: Pentagonhexakontaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Pentagonhexakontaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Eric W. Weisstein: Pentagonhexakontaeder. In: MathWorld (englisch).
Lichtkunst in einem Pentagonhexakontaederkristall

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[1] Mit a sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.

[Formel-2] Diese Formeln gelten für den Fall $2a\left(1-2t^{2}\right)=b\left(1+2t\right)$ .

[tformel-3] Diese Formel gilt auch für das Pentagonikositetraeder sowie das Pentagondodekaeder, sofern man die entsprechenden Werte für b (kurze Seitenlänge), n (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie t (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.

[4] Patent US6527653B2: Pentagonal hexecontahedron dimple pattern on golf balls. Angemeldet am 5. März 2001, veröffentlicht am 4. März 2003, Anmelder: Acushnet Co, Erfinder: Douglas C. Winfield, Steven Aoyama.