Pentachoron

Ein Pentachōron (das, von altgriechisch πεντα- penta-, Präfixform von πέντε pénte ‚fünf‘, und χῶρος chōros ‚Raum‘; auch 5-Zeller, Pentatop, vierdimensionale Hyperpyramide oder vierdimensionales Hypertetraeder genannt) ist eine vierdimensionale Hyperpyramide mit einem Tetraeder als „Grundfläche“, bzw. ein 4-Simplex, das einfachste Polychoron (vierdimensionale Figur). Es besteht aus fünf tetraederförmigen Zellen und ist das Analogon zum Dreieck (2-Simplex) und zum Tetraeder (3-Simplex).

Regelmäßiges Pentachoron (5-Zeller)
Schlegeldiagramm (Ecken und Kanten)
Typ	Regelmäßiges Polychoron
Familie	Simplex
Zellen	5 (3.3.3)
Flächen	10 {3}
Kanten	10
Ecken	5
Eckfigur	(3.3.3)
Schläfli-Symbol	{3,3,3}
Coxeter-Dynkin-Diagramm
Symmetriegruppe	A₄, [3,3,3]
Eigenschaften	konvex

Eckfigur: Tetraeder

Das regelmäßige Pentachoron ist eines der sechs regelmäßigen, konvexen Polychora (der sechs Platonischen Körper im 4-dimensionalen Raum) und wird vom Schläfli-Symbol {3,3,3} repräsentiert.

Geometrie

Ein Pentachoron besteht aus fünf Zellen, die alle tetraederförmig sind. Seine Eckfigur ist ein Tetraeder. Seine maximale Durchschneidung mit dem dreidimensionalen Raum ist das Dreiecksprisma.

Bilder

Eine 3D-Projektion eines 5-Zellers, der eine Doppelrotation um zwei orthogonale Ebenen ausführt.	Vier orthographische Projektionen.

Konstruktion

Ein Pentachoron kann konstruiert werden, indem zu einem Tetraeder eine fünfte Ecke hinzugefügt wird, die die gleiche Entfernung von den anderen Ecken hat wie die anderen Ecken untereinander (Im Wesentlichen ist ein Pentachoron eine vierdimensionale Pyramide mit einer tetraederförmigen Basis).

Projektionen

Eine mögliche Projektion des Pentachorons ist ein Pentagramm innerhalb eines Pentagons.

Die Ecke-Zuerst- und die Zelle-Zuerst-Parallelprojektion des Pentachorons in drei Dimensionen haben eine tetraederförmige Hülle. Das nächste bzw. die entfernteste Zelle wird auf den Tetraeder selbst projiziert, während die anderen vier Zellen auf die vier gestauchten tetraederförmigen Regionen, die das Zentrum umgeben, abgebildet werden.

Die Kante-Zuerst- und die Fläche-Zuerst-Projektion des Pentachorons in drei Dimensionen haben eine doppeldreieckspyramidenförmige Hülle. Zwei der Zellen werden auf die obere und untere Hälfte der Doppelpyramide projiziert, während die übrigen drei auf drei nicht-regelmäßige tetraederförmige Körper um die zentrale Achse der Doppelpyramide mit Winkeln von jeweils 120° zueinander projiziert werden.

Projektionen in den 3-dimensionalen Raum
Ecke-Zuerst-Projektion
Kante-Zuerst-Projektion
Fläche-Zuerst-Projektion
Zelle-Zuerst-Projektion

Formeln

Größen eines Tesserakt mit Kantenlänge a
Vierdimensionales Hypervolumen	$H={\frac {25\cdot {\sqrt {5}}}{384}}\cdot a^{4}\approx 0{,}146\cdot a^{4}$
Begrenzungsvolumen	$V={\frac {25\cdot {\sqrt {5}}}{24}}\cdot a^{3}\approx 2{,}329\cdot a^{3}$
Umkugelradius	$r_{u}=a$
Kantenkugelradius	$r_{k}={\frac {a}{2}}\cdot {\sqrt {10}}\approx 1{,}581\cdot a$
Inkugelradius	$r_{i}={\frac {a}{4}}=0{,}25\cdot a$

Weblinks

Platonische Polychora
Eric W. Weisstein: Regular Polychoron. In: MathWorld (englisch).

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