Penrose-Parkettierung

Es gibt mehrere verschiedene Sätze von Penrose-Kacheln; das Bild rechts zeigt ein häufig gewähltes Beispiel. Es besteht aus zwei Rauten, die die gleichen Seitenlängen, aber unterschiedliche Innenwinkel besitzen:

• die erste Kachel, die schlanke Raute, hat Innenwinkel von 36° und 144°,
• die zweite Kachel, die breite Raute, hat Innenwinkel von 72° und 108°.

Alle Winkel sind also Vielfache von 36°.

Beide Kacheln enthalten eine Diagonale, die sich zur Seitenlänge im Verhältnis des goldenen Schnitt ${\displaystyle \Phi =\left(1+{\sqrt {5}}\right)/2}$ ausdrücken lässt. Wenn die Seitenlänge als 1 gesetzt ist, hat die lange Diagonale der breiten Raute die Länge ${\displaystyle \Phi }$. Die Länge der kurzen Diagonale der schlanken Raute ist ${\displaystyle 1/\Phi }$. Das Flächenverhältnis der beiden Rauten ist ebenfalls ${\displaystyle \Phi }$, sowie auch das Anzahlverhältnis der bei der Parkettierung insgesamt verwendeten Kacheln.

Beim Zusammenfügen der Kacheln muss beachtet werden, dass sie nicht beliebig aneinandergefügt werden dürfen. Es ist möglich, die Kacheln so mit Zähnen und entsprechenden Einkerbungen an den Seiten (ähnlich Puzzleteilen) zu versehen, dass diese das korrekte Zusammenfügen sicherstellen. Für den gleichen Effekt sind Farbmuster auf den Kacheln möglich, die nur passend zusammengefügt werden dürfen. Eine der Regeln ist die sogenannte Parallelogrammregel, die verbietet, dass zwei Kacheln so zusammengesetzt werden, dass sie gemeinsam ein Parallelogramm bilden; diese ist aber nicht alleine ausreichend, um eine periodische Parkettierung zu verhindern.

Beispiel 3: Hier wurde die Parallelogrammregel verletzt: im äußersten grünen Ring bilden jeweils zwei breite Rauten ein Parallelogramm.

Es existieren überabzählbar unendlich viele verschiedene nicht-kongruente Penrose-Parkettierungen. Diese können zwar rotations- und spiegelsymmetrisch sein, weisen aber keine Translationssymmetrie auf, d. h. die Muster sind nichtperiodisch. Hingegen kann man zeigen, dass jeder endliche Ausschnitt eines solchen Musters sich unendlich oft wiederfindet (und zwar sogar auch in jeder anderen aus den gleichen Kacheln bestehenden Penrose-Parkettierung). Man kann also anhand eines endlichen Ausschnitts nicht feststellen, welches Muster vorliegt. Wählt man als Zentrum den Ausschnitt des Beispiels 1 mit den gelben Sternen, so kann man die Parkettierung so fortsetzen, dass sie bis ins Unendliche eine perfekte 5-zählige Rotationssymmetrie besitzt; es sind jedoch auch unendlich viele andere Fortsetzungen möglich.

Die Tatsache, dass es möglich ist, die Ebene mit einem aperiodischen Kachel-Satz zu parkettieren, wurde zuerst 1966 (o. 1964) von Robert Berger bewiesen, der kurz darauf ein Beispiel mit 20426 verschiedenen Kacheln veröffentlichte. In der Folge wurden immer kleinere aperiodische Kachel-Sätze angegeben, bis Penrose 1973 die Zahl der Kacheln auf zwei reduzieren konnte.

Neben den erwähnten rhombischen Kacheln gibt es noch ein weiteres aperiodisches Kachel-Paar, genannt „Drachen“ und „Pfeil“. Bei allen Penroseparkettierungen mit Drachen und Pfeilen ist die Entfernung zweier gleicher Teilmuster kleiner als ${\displaystyle d\cdot (1/2+\Phi )}$ (Vermutung von Ammann und Penrose, bisher unbewiesen[1]), wobei ${\displaystyle d}$ der Durchmesser der Teilmuster ist. Damit sind gleiche Teilmuster in jeder Parkettierung nicht nur unendlich oft enthalten, sondern auch „nah beieinander“.

Roger Penrose im Foyer des Mitchell Institute for Fundamental Physics and Astronomy, Texas A&M University, dessen Boden mit einem Penrose-Muster ausgelegt ist (Foto März 2010).

Traditionell besteht die Penrose-Parkettierung aus einer breiten und einer schlanken Raute. In der dritten Dimension kann die schlanke Raute als perspektivische Verzerrung der breiten Raute interpretiert werden. Die resultierende Oberfläche heißt Wieringa-Dach. Aufgrund der Ähnlichkeiten mit den dreidimensionalen Quasikristallen erkennt man Rhombentriakontaeder und Rhombenhexakontaeder in der Parkettierung.[2][3][4]

Aperiodische Parkettierungsverfahren wurden zuerst nur als interessante mathematische Struktur betrachtet, aber seit den 1980er-Jahren wurden Materialien gefunden, deren Atome wie Penrose-Kacheln angeordnet sind. Diese Materialien heißen Quasikristalle, weil ihre Struktur der von Kristallen ähnlich ist, sie aber keine periodischen Muster aufweisen können.

Ob eine einzelne Kachelform (auf Englisch als „Einstein“ bzw. „aperiodic monotile“ bezeichnet) existiert, mit der sich nur nichtperiodische Parkettierungen realisieren lassen, galt lange als offenes Problem, bis 2023 eine Lösung vorgeschlagen wurde. Die bis dahin beste Näherungslösung für eine solche Kachel fand die Australierin Joan M. Taylor und veröffentlichte darüber mit Joshua Socolar.[5][6] Diese Kachel ist nicht zusammenhängend bzw. in einer anderen Version dreidimensional.

Im März 2023 wurde von David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan und Chaim Goodman-Strauss ein erstes Beispiel für eine Gruppe an Kacheln (genannt „Hut“ bzw. „Schildkröte“) gefunden, mit der jeweils die Ebene ausschließlich nichtperiodisch parkettiert werden kann, ohne dass weitere Parkettierungsregeln nötig wären. Diese Kachel erfordert (wie auch bei Socolar/Taylor), dass diese jeweils gemeinsam mit einer spiegelsymmetrischen Variante ihrer selbst kombiniert wird. Dies ist beim Einstein-Problem ausdrücklich zugelassen.[7][8] Eine Lösung, bei der nur Rotation und Translation zur Parkettierung verwendet wird, wurde, ebenfalls von David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan und Chaim Goodman-Strauss, im Mai 2023 gefunden, das "Gespenst". Es ist ebenfalls eine ganze Gruppe von unendlich vielen Lösungen.[9] Der Peerreview für ihre Lösungen steht noch aus.

Bei einer Reise durch Usbekistan 2007 fielen Peter Lu von der Harvard-Universität, der auf dem Gebiet der Quasikristalle arbeitet, an einem Gebäude Kachelornamente auf, die ihn an Penrose-Parkettierungen erinnerten. Bei der Sichtung von Fotografien stieß er im Darb-e-Imam-Schrein in Isfahan, Iran, auf Arbeiten aus dem 15. Jahrhundert, welche die Ergebnisse von Penrose vorwegzunehmen scheinen.

Emil Makovicky am Gonbad-e-Kabud in Maragha zeigte 1992, dass bereits ab dem 12. Jahrhundert ein Satz von fünf einfach zu konstruierenden Grundformen, den sogenannten Girih-Kacheln, verwendet wurde, um sich nicht wiederholende, unendliche Parkettierungen zusammenzufügen. Anders als etwa bei keltischen Knoten, bei denen die Konstruktion der Muster nachvollziehbar ist,[10] liegen für die Methoden zur konstruktiven Mustererzeugung in diesem Fall keine Anhaltspunkte vor. Ab dem 15. Jahrhundert wurden die Ausführungen weiterhin um die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit, wie sie von Fraktalen bekannt ist, ergänzt.

• Parkettierung mit Fünfecken

• Computerdenken – Des Kaisers neue Kleider oder Die Debatte um Künstliche Intelligenz, Bewußtsein und die Gesetze der Natur. Mit einem Vorwort von Martin Gardner und einem Vorwort zur deutschen Ausgabe von Dieter Wandschneider. Heidelberg 1991. ISBN 3-8274-1332-X.
• The Emperor’s New Mind. Penguin Books, New York 1991. ISBN 0-14-014534-6 (Englische Originalausgabe).
• Patent US4133152: Set of tiles for covering a surface. Veröffentlicht am 9. Januar 1979, Erfinder: Roger Penrose.
• Martin Gardner: Penrose Tiles. Kapitel 7, in: The Colossal Book of Mathematics. Norton, New York NY 2001, ISBN 0-393-02023-1.
• Roger Penrose: Pentaplexity – A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane. In: The Mathematical Intelligencer. Band 2, Nr. 1, Springer, New York 1979, ISSN 0343-6993, S. 32–37 (Nachdruck aus Eureka No. 39).
• Roger Penrose: The role of aesthetics in pure and applied mathematical research. In: Bulletin of the Institute of Mathematics and Its Applications (Bull. Inst. Math. Appl.). Southend-on-Sea Band 10, 1974, ISSN 0146-3942, S. 266–271.
• Christoph Pöppe: Quasikristalle in neuem Licht. In: Spektrum der Wissenschaft. Nr. 7, 1999, ISSN 0170-2971, S. 14–17.
• P. Stephens, A. Goldman: Die Struktur der Quasikristalle. In: Spektrum der Wissenschaft. Nr. 6, 1991, ISSN 0170-2971, S. 48–56.
• Martin Gardner: Mathematische Spielereien. In: Spektrum der Wissenschaft. Heidelberg 11/1979, ISSN 0170-2971, S. 22–33.
• Albrecht Beutelspacher / Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, Oxford, 2. Aufl. 1996, ISBN 3-86025-404-9, S. 80ff.
• Branko Grünbaum, G.C. Shephard: Tilings and Patterns W.H. Freeman and Company, New York, 1987, ISBN 0-7167-1193-1

Zu Mustern ähnlich der Penrose-Parkettierung in islamischen Ornamenten:

• Peter Lu und Paul Steinhardt: Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture. In: Science. Band 315, Washington 2007, ISSN 0036-8075, S. 1106–1110.
• Emil Makovicky: 800-Year-Old Pentagonal Tiling From Maragha, Iran, and the New Varieties of Aperiodic Tiling it Inspired. In: István Hargittai (Hrsg.): Fivefold Symmetry. World Scientific, Singapore/River Edge NJ 1992, ISBN 981-02-0600-3, S. 67–86.
• Peter Cromwell The Search for Quasi-Periodicity in Islamic 5-fold Ornament, Mathematical Intelligencer, Bd. 31, Nr. 1, 2009.

Commons: Penrose-Parkettierungen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Kostenloses Windows-Programm zur Erzeugung von Penrose-Parkettierungen. Entwickelt von Stephen Collins (JKS Software) in Zusammenarbeit mit den Universitäten von York (Großbritannien) und Tsuka (Japan).
• Zwei Theorien über die Bildung von Quasicrystals mit Ähnlichkeiten zu Penrose-Parkettierungen bei www.sciencenews.org
• NUMERATOR Moschee-Baumeister waren westlichen Mathematikern 500 Jahre voraus bei Spiegel Online

1. Grünbaum, Shephard Tilings and Patterns, Freeman 1981, S. 563
2. Activities with golden rhombi. In: Complex Projective 4-Space. Abgerufen im 1. Januar 1 (englisch).
3. Penrose Tilings and Wieringa Roofs. In: WOLFRAM Demonstrations Project. Abgerufen im 1. Januar 1 (englisch).
4. The Story of Spikey. In: Stephen Wolfram Blog. Abgerufen im 1. Januar 1 (englisch).
5. Socolar´s and Taylor´s aperiodic tile
6. Socolar, Taylor, An aperiodic hexagonal tile, Journal of Combinatorial Theory A, Band 118, 2011, S. 2207–2231
7. An aperiodic monotile
8. An aperiodic monotile
9. David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss: A chiral aperiodic monotile, 2023, Preprint: https://arxiv.org/abs/2305.17743
10. Keltischer Knoten