Partialmarktmodell

Im Partialmarktmodell wird vereinfachend davon ausgegangen, dass sich der Markt eindeutig durch eine Nachfrage- und eine Angebotsfunktion darstellen lässt. Die Nachfragefunktion drückt aus, wie viele Einheiten zu einem festen Preis von den Konsumenten nachgefragt werden, die Angebotsfunktion, wie viele Einheiten zu einem festen Preis von den Produzenten angeboten werden.

${\displaystyle D\colon \,P\to \mathbb {R} _{+},\;p\mapsto D(p)\quad \quad }$ (Nachfragefunktion)

${\displaystyle S\colon \,P\to \mathbb {R} _{+},\;p\mapsto S(p)\quad \quad }$ (Angebotsfunktion)

Die Differenz von Nachfrage und Angebot wird als Überschussnachfrage bezeichnet.

${\displaystyle E\colon \,P\to \mathbb {R} _{+},\;p\mapsto D(p)-S(p)\quad \quad }$ (Angebotsfunktion)

Beim Partialmarktmodell handelt es sich um eine hypothetische Ceteris-paribus-Betrachtung. Die Frage ist also – vorausgesetzt, der Rest der Ökonomie verändert sich nicht – wie der Preis mit der Nachfrage und dem Angebot zusammenhängt. Dabei werden grundsätzlich keine besonders starken Annahmen getätigt. Die einzigen Annahmen sind, dass Angebot und Nachfrage Funktionen sind. Dies bedeutet, dass für einen Preis eine eindeutig bestimmte nachgefragte und eine eindeutig bestimmte angebotene Menge des Gutes vorhanden ist.

Ein Gleichgewichtspreis ist ein Preis, bei dem Angebot gleich Nachfrage ist.

${\displaystyle p^{*}:E(p^{*})=0}$

Für die Existenz eines Marktgleichgewichts ist nach dem Zwischenwertsatz Folgendes hinreichend, wenn die Überschussnachfrage stetig ist

${\displaystyle \exists p_{1},p_{2}\in P:E(p_{1})<0,E(p_{2})>0}$

Für die Eindeutigkeit eines Marktgleichgewichts ist strikte Pseudo-Monotonie hinreichend:

${\displaystyle \exists p_{1}\neq p_{2}:(p_{1}-p_{2})E(p_{2})\leq 0\Rightarrow (p_{1}-p_{2})E(p_{1})<0}$

Eine Bewegung ${\displaystyle \varphi :T\times P\to P}$, wobei ${\displaystyle P\subseteq \mathbb {R} _{+}}$ die Menge aller möglichen Preise und ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} }$ die Menge aller Zeitpunkte ist, heißt dynamisches System, wenn

${\displaystyle (i)\quad \varphi (0,p_{0})=p_{0}}$

${\displaystyle (ii)\quad \varphi (t_{1},\varphi (t_{2},p_{0}))=\varphi (t_{1}+t_{2},p_{0})}$

Ein häufig verwendetes Dynamisches System ist der Têtonnement-Prozess, bei dem

${\displaystyle {\frac {dp(t)}{dt}}=E(p(t))\quad \quad ,p(0)=p_{0}}$

Die Interpretation dahinter ist, dass der Preis tendenziell bei positiver Überschussnachfrage steigt und bei einem Überangebot sinkt.

Ein Dynamisches System konvergiert lokal asymptotisch stabil gegen ${\displaystyle p^{*}}$, wenn

${\displaystyle \exists \delta >0\;\forall p_{0}\in P|p_{0}-p^{*}|<\delta \Rightarrow \lim _{t\to \infty }|p_{t}-p^{*}|=0}$

Ein Dynamisches System konvergiert global asymptotisch stabil gegen ${\displaystyle p^{*}}$, wenn

${\displaystyle \forall \delta >0\;\forall p_{0}\in P|p_{0}-p^{*}|<\delta \Rightarrow \lim _{t\to \infty }|p_{t}-p^{*}|=0}$

Wenn eine invertierbare und integrierbare Nachfragefunktion ${\displaystyle D\colon \,P\to \mathbb {R} ,\;p\mapsto x}$ gegeben ist, wobei p ein Preis und x eine nachgefragte Menge auf einem Partialmarkt ist, dann gilt für die Nutzenfunktion des repräsentativen Agenten

${\displaystyle D^{-1}(x)=u'(x)}$

wenn eine quasilineare Nutzenfunktion ${\displaystyle U(x)=u(x)-px}$ unterstellt wird. Für die Nutzenfunktion des repräsentativen Agenten ergibt sich, da ${\displaystyle p=D^{-1}(x)}$, daher

${\displaystyle U(x)=\int _{0}^{x}D^{-1}(x')dx'-D^{-1}(x)x}$

Die zugehörige Präferenzenrelation ergibt sich dann mit

${\displaystyle U(x_{1})>U(x_{2})\Leftrightarrow x_{1}\succ x_{2}}$

${\displaystyle \int _{0}^{x_{1}}D^{-1}(x)dx-D^{-1}(x_{1})x_{1}>\int _{0}^{x_{2}}D^{-1}(x)dx-D^{-1}(x_{2})x_{2}\Leftrightarrow x_{1}\succ x_{2}}$

Wenn eine invertierbare und integrierbare Angebotsfunktion ${\displaystyle S\colon \,P\to \mathbb {R} ,\;p\mapsto x}$ gegeben ist, wobei ${\displaystyle p}$ ein Preis und ${\displaystyle x}$ eine angebotene Menge auf einem Partialmarkt ist, dann gilt für die Kostenfunktion einer repräsentativen Firma

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wenn eine Gewinnfunktion ${\displaystyle \pi (x)=px-c(x)}$ unterstellt wird. Da ${\displaystyle p=S^{-1}(x)}$ gilt

${\displaystyle \pi (x)=S^{-1}(x)x-\int _{0}^{x}S^{-1}(x')dx'}$