Schätzfunktion

Die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ seien normalverteilt mit ${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {N}}(\theta ,1)}$ für ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ mit unbekanntem Parameter ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$. Dann ist

${\displaystyle T_{n}={\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

eine Schätzfunktion für den Parameter ${\displaystyle \theta }$. Die Schätzfunktion ${\displaystyle T_{n}}$ ist eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung typischerweise vom Parameter ${\displaystyle \theta }$ und vom Stichprobenumfang ${\displaystyle n}$ abhängt. Beispielsweise gilt ${\displaystyle {\bar {X}}_{n}\sim {\mathcal {N}}(\theta ,1/n)}$, falls die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ stochastisch unabhängig sind. Für realisierte Werte ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ist

${\displaystyle t_{n}={\bar {x}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

ein Schätzwert für den Parameter ${\displaystyle \theta }$. Die reelle Zahl ${\displaystyle {\bar {x}}_{n}}$ ist ein realisierter Wert der Zufallsvariablen ${\displaystyle {\bar {X}}_{n}}$.

An dieser Stelle setzt die statistische Modellierung an. Die Stichprobenvariable ${\displaystyle X_{i}}$, eine Zufallsvariable, beschreibt mit ihrer Verteilung die Wahrscheinlichkeit, mit der eine bestimmte Merkmalsausprägung bei der ${\displaystyle i}$-ten Ziehung aus der Grundgesamtheit auftritt. Jeder Beobachtungswert ${\displaystyle x_{i}}$ ist die Realisierung einer Stichprobenvariable ${\displaystyle X_{i}}$.

Die Definition von Stichprobenvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ erlaubt die Definition von Stichprobenfunktionen analog z. B. zu Kennwerten aus der deskriptiven Statistik:

Arithmetisches Mittel	Stichprobenfunktion
${\displaystyle {\overline {x}}:={\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})}$	${\displaystyle {\overline {X}}:={\frac {1}{n}}(X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n})}$

Da jede Stichprobe aufgrund der Zufälligkeit anders ausfällt, sind auch diese Stichprobenfunktionen Zufallsvariablen, deren Verteilung von

• der Art der Ziehung der Stichprobe aus der Grundgesamtheit und
• der Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit

abhängt.

Unter Stichprobenverteilung versteht man die Verteilung einer Stichprobenfunktion ${\displaystyle g(X_{1},\dotsc ,X_{n})}$ über alle möglichen Stichproben aus der Grundgesamtheit. Die Stichprobenfunktion ${\displaystyle g}$ ist in der Regel eine Schätzfunktion für einen unbekannten Parameter der Grundgesamtheit oder eine Teststatistik für eine Hypothese über einen unbekannten Parameter der Grundgesamtheit. Daher spricht man statt von Stichprobenverteilung auch einfach von der Verteilung einer Schätzfunktion oder Verteilung einer Teststatistik. Die Verteilung der Stichprobenfunktion dient der Gewinnung von Aussagen über unbekannte Parameter in der Grundgesamtheit aufgrund einer Stichprobe.

Die Stichprobenverteilung ist ein frequentistisches Konzept; das bayessche Pendant ist die A-posteriori-Verteilung.

Die Stichprobenverteilung für eine Stichprobenfunktion mit bestimmtem Stichprobenumfang aus einer endlichen Grundgesamtheit lässt sich stets berechnen (siehe die folgenden Beispiele), im Allgemeinen jedoch ist man eher an generellen Formeln mit z. B. unbestimmtem Stichprobenumfang ${\displaystyle n}$ interessiert. Wichtige Hilfsmittel sind dabei folgende Aussagen:

• Reproduktivität der Normalverteilung: Sind die Stichprobenvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ voneinander unabhängig und normalverteilt (${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {N}}(\mu$ ;\sigma ^{2})} ), dann ist auch ${\displaystyle {\overline {X}}=(X_{1}+\dotsb +X_{n})/n}$ normalverteilt (${\displaystyle {\overline {X}}\sim {\mathcal {N}}(\mu$ ;\sigma ^{2}/n)} ).
• Zentraler Grenzwertsatz: Sind die Stichprobenvariablen ${\displaystyle \ X_{i}}$ voneinander unabhängig und existieren für sie die Erwartungswerte ${\displaystyle \ \operatorname {E} (X_{i})=\mu }$ und ${\displaystyle \ \operatorname {E} ((X_{i}-\mu )^{2}{\bigr )}=\operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}$, ist ${\displaystyle {\overline {X}}=(X_{1}+\dotsb +X_{n})/n}$ für großes ${\displaystyle n}$ approximativ normalverteilt (${\displaystyle {\overline {X}}\approx {\mathcal {N}}\left(\mu$ ;\sigma ^{2}/n\right)} ).

Wenn eine hinreichend große Stichprobe repräsentativ für die Grundgesamtheit ist, kann die Stichprobenverteilung für eine beliebige Stichprobenfunktion nichtparametrisch mit Hilfe des Bootstrap-Verfahrens geschätzt werden, ohne dass die Verteilung der ${\displaystyle X_{i}}$ bekannt sein muss. Jedoch muss allgemein mathematisch gezeigt werden, dass die Bootstrap-Stichprobenverteilungen mit steigender Zahl der Bootstrap-Stichproben gegen die wahre Stichprobenverteilung konvergiert.

Gegeben sei eine Urne mit sieben Kugeln mit den Aufschriften 10, 11, 11, 12, 12, 12 und 16. Wenn man zwei Kugeln mit Zurücklegen zieht, zeigt die folgende Tabelle alle möglichen Stichproben aus der Grundgesamtheit:

Jede der möglichen Stichproben tritt mit der Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle 1/49}$ auf. Berechnet man nun den Stichprobenmittelwert ${\displaystyle {\overline {X}}=(X_{1}+X_{2})/2}$ aus den zwei Kugeln, so ergibt sich:

${\displaystyle {\overline {X}}}$	10	11	11	12	12	12	16
10	10,0	10,5	10,5	11,0	11,0	11,0	13,0
11	10,5	11,0	11,0	11,5	11,5	11,5	13,5
11	10,5	11,0	11,0	11,5	11,5	11,5	13,5
12	11,0	11,5	11,5	12,0	12,0	12,0	14,0
12	11,0	11,5	11,5	12,0	12,0	12,0	14,0
12	11,0	11,5	11,5	12,0	12,0	12,0	14,0
16	13,0	13,5	13,5	14,0	14,0	14,0	16,0

Fasst man die Ergebnisse von ${\displaystyle {\overline {X}}}$ entsprechend der Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Stichprobe zusammen, so erhält man die Stichprobenverteilung von ${\displaystyle {\overline {X}}}$:

${\displaystyle x}$	10,0	10,5	11,0	11,5	12,0	13,0	13,5	14,0	16,0
${\displaystyle P({\overline {X}}=x)}$	1/49	4/49	10/49	12/49	9/49	2/49	4/49	6/49	1/49

Ändert man die Art der Ziehung, von einer Ziehung mit Zurücklegen in eine Ziehung ohne Zurücklegen, so ergibt sich eine andere Verteilung für ${\displaystyle {\overline {X}}}$. In den oberen Tabellen fällt dann die Hauptdiagonale weg, sodass es nur ${\displaystyle 42}$ mögliche Stichproben gibt. Daher ergibt sich dann folgende Verteilung für ${\displaystyle {\overline {X}}}$:

${\displaystyle x}$	10,0	10,5	11,0	11,5	12,0	13,0	13,5	14,0	16,0
${\displaystyle P({\overline {X}}=x)}$	0	4/42	8/42	12/42	6/42	2/42	4/42	6/42	0

In einer Urne sind fünf rote und vier blaue Kugeln. Es werden drei Kugeln ohne Zurücklegen aus dieser Urne gezogen. Definiert man die Stichprobenfunktion ${\displaystyle X}$: Zahl der roten Kugeln unter den drei gezogenen, ist ${\displaystyle X}$ hypergeometrisch verteilt mit ${\displaystyle M=5}$ als Zahl der roten Kugeln in der Urne, ${\displaystyle N=9}$ als Gesamtzahl der Kugeln in der Urne und ${\displaystyle n=3}$ als Zahl der Versuche. Hier können alle Informationen über die Verteilung von ${\displaystyle X}$ gewonnen werden, weil sowohl das stochastische Modell (Ziehen aus einer Urne) als auch die zugehörigen Parameter (Anzahl der roten und blauen Kugeln) bekannt sind.

Ein Lebensmittelgroßmarkt bekommt eine Lieferung von 2000 Gläsern mit Pflaumenkompott. Problematisch sind in den Früchten verbliebene Kerne. Der Kunde toleriert einen Anteil von Gläsern mit Kernen von 5 %. Er möchte sich bei dieser Lieferung vergewissern, dass diese Quote nicht überschritten wird. Eine komplette Erhebung der Grundgesamtheit von 2000 Gläsern ist allerdings nicht durchführbar, denn 2000 Gläser zu kontrollieren ist zu aufwendig und außerdem zerstört das Öffnen eines Glases die Ware.

Allerdings könnte man eine kleine Zahl von Gläsern zufällig aussuchen, also eine Stichprobe nehmen, und die Zahl der zu beanstandenden Gläser zählen. Übersteigt diese Zahl eine bestimmte Grenze, den kritischen Wert der Prüfgröße, geht man davon aus, dass auch in der Lieferung zu viele zu beanstandende Gläser sind.

Eine mögliche Stichprobenfunktion ist ${\displaystyle \pi ={\frac {1}{n}}(X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n})}$, wobei ${\displaystyle X_{i}}$ eine Zufallsvariable bezeichnet, die nur die Werte 1 (Glas enthält Pflaumen mit Kern) oder 0 (Glas enthält keine Pflaumen mit Kern) annimmt.

Wenn die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ Bernoulli-verteilt sind, dann ist aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes ${\displaystyle \pi }$ approximativ normalverteilt.

Schätzfunktionen sind spezielle Stichprobenfunktionen, um Parameter oder Verteilungen der Grundgesamtheit zu bestimmen. Beeinflusst werden Schätzfunktionen unter anderem durch

• die Art der Ziehung der Stichprobe (z. B. Ziehen mit oder ohne Zurücklegen) und
• die Art der Schätzmethode (z. B. Methode der kleinsten Quadrate, Maximum-Likelihood-Methode oder Momentenmethode).

Man möchte letztlich versuchen, ausschließlich anhand des Wissens um das zu Grunde liegende Modell und die beobachtete Stichprobe etwa Intervalle anzugeben, die mit größter Wahrscheinlichkeit den wahren Parameter enthalten. Alternativ möchte man auch bei einer bestimmten Fehlerwahrscheinlichkeit testen, ob eine spezielle Vermutung über den Parameter (zum Beispiel, dass zu viele Gläser Kerne enthalten) bestätigt werden kann. Schätzfunktionen bilden in diesem Sinne die Basis für jede begründete Entscheidung über die Ausprägungen der Grundgesamtheit, die bestmögliche Wahl solcher Funktionen ist das Ergebnis der mathematischen Untersuchung.

Trifft man auf dieser Basis eine Entscheidung, z. B. geht die Lieferung zurück, besteht die Möglichkeit, dass die Entscheidung falsch ist. Es gibt folgende Fehlerquellen:

1. Die Stichprobe ist nicht repräsentativ für die Grundgesamtheit, d. h., sie spiegelt die Grundgesamtheit nicht wider.
2. Das Modell für die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ ist falsch.
3. Die Stichprobe könnte untypisch ausgefallen sein, so dass man die Lieferung fälschlicherweise ablehnt.

Dennoch besteht in der Praxis zumeist keine Alternative zu statistischen Verfahren dieser Art. Den zuvor genannten Problemen tritt man auf verschiedene Weisen entgegen:

1. Man versucht möglichst eine einfache Zufallsstichprobe zu ziehen.
2. Die Modelle für die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ werden zum einen möglichst groß gewählt (so dass das "richtige" Modell enthalten ist) und zum anderen wird die Schätzfunktion so gewählt, dass ihre Verteilung für viele Modelle berechenbar ist (siehe Zentraler Grenzwertsatz).
3. Aufgrund der Schätzfunktion wird eine Irrtumswahrscheinlichkeit angegeben.

Grundlage einer jeden Schätzfunktion sind die Beobachtungen ${\displaystyle x_{i}}$ eines statistischen Merkmals ${\displaystyle X}$. Modelltheoretisch wird dieses Merkmal idealisiert: Man geht davon aus, dass es sich bei den Beobachtungen in Wahrheit um Realisierungen von Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ handelt, deren „wahre“ Verteilung und „wahre“ Verteilungsparameter unbekannt sind.

Um Informationen über die tatsächlichen Eigenschaften des Merkmals zu erhalten, erhebt man eine Stichprobe von ${\displaystyle n}$ Elementen. Mit Hilfe dieser Stichprobenelemente schätzt man dann die gesuchten Parameter bzw. die gesuchte Verteilung (siehe Kerndichteschätzung).

Um also beispielsweise einen Parameter ${\displaystyle \gamma }$ einer unbekannten Verteilung zu schätzen, hat man es formal mit einer Zufallsstichprobe vom Umfang ${\displaystyle n}$ zu tun, es werden also ${\displaystyle n}$ Realisierungen ${\displaystyle x_{i}}$ (${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$) der Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ beobachtet. Die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ werden dann mittels einer Schätzmethode in einer geeigneten Schätzfunktion ${\displaystyle g(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n})}$ zusammengefasst. Formal wird dabei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle g}$ eine messbare Funktion ist.

Zur Vereinfachung der Berechnung der Schätzfunktion wird oft vorausgesetzt, dass die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ unabhängig voneinander und identisch verteilt sind, also die gleiche Verteilung und die gleichen Verteilungsparameter besitzen.

Der Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ wird in der Regel mit dem arithmetischen Mittel der Stichprobe geschätzt:

Schätzfunktion	Schätzwert
${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$	${\displaystyle {\hat {\mu }}={\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

Ist die Verteilung symmetrisch, kann auch der Median der Stichprobe als Schätzwert für den Erwartungswert verwendet werden:

Schätzfunktion	Schätzwert
${\displaystyle Z=X_{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }}$	${\displaystyle {\hat {\mu }}=z=x_{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }}$

wobei ${\displaystyle \left\lfloor \;\right\rfloor }$ die untere Gaußklammer bezeichnet. Der Median ist also der Wert derjenigen Zufallsvariable, die nach Sortierung der Daten "in der Mitte" liegt. Es befinden sich also zahlenmäßig genauso viele Werte oberhalb wie unterhalb des Median.

Welche Schätzfunktion im Falle symmetrischer Verteilungen besser ist, hängt von der betrachteten Verteilungsfamilie ab.

Für die Varianz der Grundgesamtheit ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ verwendet man als Schätzfunktion meist die korrigierte Stichprobenvarianz:

Schätzfunktion	Schätzwert
${\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}$	${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}=s_{n}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$

Typische andere Vorfaktoren sind auch ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ und ${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}}$. Alle diese Schätzer sind zwar asymptotisch äquivalent, werden aber je nach Art der Stichprobe unterschiedlich benutzt (siehe auch Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)).

Man betrachtet hier das Urnenmodell mit zwei Sorten Kugeln. Es soll der Anteilswert der Kugeln erster Sorte in der Grundgesamtheit geschätzt werden. Als Schätzfunktion verwendet man den Anteil der Kugeln erster Sorte in der Stichprobe.

Schätzfunktion	Schätzwert
${\displaystyle \Pi ={\frac {X}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$	${\displaystyle {\hat {\pi }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

mit ${\displaystyle X}$: Zahl der Kugeln erster Sorte in der Stichprobe und ${\displaystyle X_{i}}$ eine binäre Zufallsvariable: Kugel der ersten Sorte in der ${\displaystyle i}$-ten Ziehung gezogen (${\displaystyle X_{i}=1}$) oder nicht gezogen (${\displaystyle X_{i}=0}$).

Die Verteilung von ${\displaystyle \Pi }$ ist eine Binomialverteilung im Modell mit Zurücklegen und eine hypergeometrische Verteilung im Modell ohne Zurücklegen.

Eine erwartungstreue Schätzfunktion ist im Mittel (Erwartungswert) gleich dem wahren Parameter ${\displaystyle \gamma }$:

${\displaystyle \ \operatorname {E} (g_{n})=\gamma }$.

Weicht ${\displaystyle \ \operatorname {E} (g_{n})}$ hingegen systematisch von ${\displaystyle \gamma }$ ab, ist der Schätzer verzerrt (englisch biased). Die Verzerrung eines Schätzers ${\displaystyle \operatorname {Bias} (g_{n})}$ errechnet sich dabei zu

${\displaystyle \operatorname {Bias} (g_{n})=\operatorname {E} (g_{n})-\gamma =\operatorname {E} (g_{n}-\gamma )}$.

Für eine lediglich asymptotisch erwartungstreue Schätzfunktion dagegen muss nur gelten:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} (g_{n})=\gamma }$

Eine Schätzfunktion heißt konsistent, wenn für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ (Infinitesimalzahl) gilt:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(|g_{n}-\gamma |>\varepsilon )=0}$.

mit ${\displaystyle g_{n}=g(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n})}$. Man spricht hier von stochastischer Konvergenz.

Die Grafik illustriert den Prozess: Für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ müssen die ausgefüllten Flächen mit steigendem Stichprobenumfang immer kleiner werden.

Mit einfachen Worten: Eine konsistente Schätzfunktion nähert sich mit wachsendem ${\displaystyle n}$ immer mehr dem wahren Parameter ${\displaystyle \gamma }$ an (schätzt den wahren Parameter immer genauer).

Konsistente Schätzfunktionen müssen daher mindestens asymptotisch erwartungstreu (s. o.) sein.

Diese Eigenschaft ist grundlegend für die gesamte induktive Statistik; sie garantiert, dass eine Erhöhung des Stichprobenumfangs genauere Schätzungen, kleinere Konfidenzintervalle oder kleinere Annahmebereiche der ${\displaystyle H_{0}}$ in Hypothesentests ermöglicht.

Die Schätzfunktion soll eine möglichst kleine Varianz haben. Die Schätzfunktion ${\displaystyle g_{n}^{*}}$ aus allen erwartungstreuen Schätzfunktionen ${\displaystyle g_{n}}$, welche die kleinste Varianz hat, wird dabei als effiziente, beste oder wirksamste Schätzfunktion bezeichnet:

${\displaystyle \operatorname {Var} (g_{n}^{*})\leq \min _{g_{n}}\operatorname {Var} (g_{n})}$.

Unter bestimmten Bedingungen kann durch die Cramér-Rao-Ungleichung auch eine untere Grenze für ${\displaystyle \operatorname {Var} (g_{n})}$ angegeben werden. Das heißt, für eine Schätzfunktion kann gezeigt werden, dass es keine effizienteren Schätzfunktionen geben kann; höchstens noch genauso effiziente Schätzfunktionen.

Die Genauigkeit einer Schätzfunktion bzw. eines Schätzers wird oft durch seinen mittleren quadratischen Fehler (englisch mean squared error) ausgedrückt. Eine (dabei nicht notwendigerweise auch erwartungstreue) Schätzfunktion sollte daher stets einen möglichst kleinen mittleren quadratischen Fehler aufweisen, der sich rechnerisch als Erwartungswert der quadratischen Abweichung des Schätzers ${\displaystyle g_{n}}$ vom wahren Parameter ${\displaystyle \gamma }$ bestimmen lässt:

${\displaystyle \mathrm {MSE} (g_{n})=\operatorname {E} {\bigl [}(g_{n}-\gamma )^{2}{\bigr ]}={\bigl (}\operatorname {E} [g_{n}-\gamma ]{\bigr )}^{2}+\operatorname {E} {\bigl [}(g_{n}-E(g))^{2}{\bigr ]}=(\operatorname {Bias} (g_{n}))^{2}+\operatorname {Var} (g_{n})}$

Wie zu sehen, ist der mittlere quadratische Fehler eines nicht erwartungstreuen Schätzers die Summe seiner Varianz und des Quadrats der Bias (Verzerrung); für erwartungstreue Schätzer dagegen sind Varianz und MSE gleich groß.