Parallelogrammgleichung

In einem Parallelogramm mit den Seitenlängen a, b und den Diagonalen e, f gilt:

${\displaystyle 2\left(a^{2}+b^{2}\right)=e^{2}+f^{2}.}$

Der Satz folgt direkt und in besonders einfacher Weise aus dem Satz des Pythagoras. Hierzu erweitern wir die nebenstehende Zeichnung noch um die Höhe ${\displaystyle h_{a}}$ auf der linken Seite bei der Diagonalen f mit den Abschnitten q. Zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras ergibt zunächst die beiden Gleichungen

${\displaystyle (a+q)^{2}+h_{a}^{2}=e^{2}}$

${\displaystyle (a-q)^{2}+h_{a}^{2}=f^{2}}$

Die Summe dieser beiden Gleichungen ergibt ${\displaystyle 2(a^{2}+q^{2}+h_{a}^{2})=e^{2}+f^{2}}$. Eine dritte Anwendung liefert ${\displaystyle q^{2}+h_{a}^{2}=b^{2}}$ womit der Satz bewiesen ist.

Der Beweis ist mit dem Kosinussatz sehr einfach:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{2}+f^{2}&=(a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos(\beta ))+(c^{2}+b^{2}-2cb\ \cos(\gamma ))\\&=2(a^{2}+b^{2})\end{aligned}}}$,

da ${\displaystyle c=a}$ und ${\displaystyle \cos(\gamma )=\cos(\pi -\beta )=-\cos(\beta )}$ ist.

Zwei Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}}$ spannen ein Parallelogramm auf

In der Schule eignet sich in der linearen Algebra der Beweis mit Vektoren und Skalarprodukt:

Mit ${\displaystyle \color {red}{\vec {e}}\color {black}={\vec {a}}+{\vec {b}}}$ und ${\displaystyle \color {blue}{\vec {f}}\color {black}={\vec {a}}-{\vec {b}}}$ gilt

${\displaystyle \color {red}e^{2}\color {black}+\color {blue}f^{2}\color {black}=\color {red}a^{2}+2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+b^{2}\color {black}+\color {blue}a^{2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+b^{2}\color {black}=2a^{2}+2b^{2}}$.

Für ein beliebiges ebenes Viereck gilt mit den angegebenen Bezeichnungen:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4x^{2},}$

wobei ${\displaystyle x}$ den Abstand der Mittelpunkte der beiden Diagonalen bezeichnet.

Ist das Viereck ein Parallelogramm, so stimmen die beiden Diagonalenmittelpunkte überein. Somit ist ${\displaystyle x=0}$ und es ergibt sich die Parallelogrammgleichung als Spezialfall.

Umgekehrt folgt: Gilt die Parallelogrammgleichung, so ist ${\displaystyle x=0}$. Die beiden Diagonalen halbieren sich also gegenseitig, das Viereck ist ein Parallelogramm.

Für zwei komplexe Zahlen z,w gilt:

${\displaystyle 2\left(|z|^{2}+|w|^{2}\right)=|z+w|^{2}+|z-w|^{2}.}$

Die Gültigkeit des Satzes ist offensichtlich, wenn man die Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene interpretiert, in der z und w dann ein Parallelogramm mit den Diagonalen z+w und z-w aufspannen. Er lässt sich aber auch direkt rechnerisch herleiten. Unter Benutzung von ${\displaystyle \left|z\right|^{2}=z{\overline {z}}}$ für jede komplexe Zahl ${\displaystyle z}$ gilt:

${\displaystyle \left|z+w\right|^{2}+\left|z-w\right|^{2}=(z+w){\overline {(z+w)}}+(z-w){\overline {(z-w)}}}$

${\displaystyle =(z+w)({\overline {z}}+{\overline {w}})+(z-w)({\overline {z}}-{\overline {w}})}$

${\displaystyle =(z{\overline {z}}+w{\overline {z}}+z{\overline {w}}+w{\overline {w}})+(z{\overline {z}}-w{\overline {z}}-z{\overline {w}}+w{\overline {w}})}$

${\displaystyle =2z{\overline {z}}+2w{\overline {w}}}$

${\displaystyle =2\left|z\right|^{2}+2\left|w\right|^{2}}$

In Prähilberträumen, also Vektorräumen, in denen ein Skalarprodukt definiert ist, (oder in Vektorräumen mit zumindest einem positiv semidefiniten inneren Produkt) gilt:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})}$

wobei ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ die durch das Skalarprodukt (positiv semidefinite innere Produkt) induzierte Norm (Halbnorm) ist.

Zum Beweis benötigt man nur die Tatsache, dass ein Innenprodukt eines jeden Innenproduktraums bezüglich der Addition für beide Argumente linear ist (siehe Definition des Innenprodukts und Sesquilinearform). Dann erhält man:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle +\langle x-y,x-y\rangle }$

${\displaystyle =\langle x,x+y\rangle +\langle y,x+y\rangle \ +\ \langle x,x-y\rangle -\langle y,x-y\rangle }$

${\displaystyle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle \ +\ \langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle }$

${\displaystyle =2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})}$

Die Parallelogrammgleichung gilt nicht in normierten Vektorräumen, deren Norm nicht durch ein Skalarprodukt definiert wird. Es gilt nämlich der Satz von Jordan-von Neumann (nach Pascual Jordan und John von Neumann): Gilt in einem normierten Vektorraum ${\displaystyle (V,\|{\cdot }\|)}$ die Parallelogrammgleichung, so gibt es ein Skalarprodukt ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle }$, das die Norm erzeugt, das heißt, für alle ${\displaystyle x\in V}$ gilt

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

Dieses Skalarprodukt kann durch eine Polarisationsformel definiert werden, im reellen Fall zum Beispiel durch

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left({\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}\right)}$

und im komplexen Fall durch

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)+{\frac {i}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right).}$