Parabel (Mathematik)

Parabel: Definition mit Brennpunkt F, Leitlinie l (schwarz) und Halbparameter p (grün). Das Lot Pl und die Strecke PF (jeweils blau) sind für alle Punkte P der Parabel (rot) gleich lang

Eine Parabel kann geometrisch als Ortslinie beschrieben werden:

Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte ${\displaystyle P}$, deren Abstand ${\displaystyle d(P,F)}$ zu einem speziellen festen Punkt – dem Brennpunkt ${\displaystyle F}$ – gleich dem Abstand ${\displaystyle d(P,l)}$ zu einer speziellen Geraden – der Leitlinie ${\displaystyle l}$ – ist.

Als Punktmenge notiert:

${\displaystyle \{P\mid d(P,F)=d(P,l)\}}$

Der Punkt, der in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitgerade liegt, heißt Scheitel oder Scheitelpunkt ${\displaystyle S}$ der Parabel. Die Verbindungsgerade von Brennpunkt und Scheitel wird auch Achse der Parabel genannt. Sie ist die einzige Symmetrieachse der Parabel.

Führt man Koordinaten so ein, dass ${\displaystyle F=(0,f)\ ,f>0}$ ist und die Leitlinie die Gleichung ${\displaystyle y=-f}$ besitzt, so ergibt sich für ${\displaystyle P=(x,y)}$ aus ${\displaystyle d(P,F)=d(P,l)}$ die Gleichung

${\displaystyle y={\tfrac {1}{4f}}x^{2}}$

einer nach oben geöffneten Parabel.

Die halbe Weite ${\displaystyle p}$ der Parabel in der Höhe des Brennpunktes ergibt sich aus ${\displaystyle y=f={\tfrac {1}{4f}}x^{2}}$ zu ${\displaystyle p=2f}$ und heißt (analog zu Ellipse und Hyperbel) der Halbparameter der Parabel. Der Halbparameter ${\displaystyle p}$ ist wie bei Ellipse (im Hauptscheitel) und Hyperbel der Scheitelkrümmungskreisradius, also der Radius des Krümmungskreises an den Scheitelpunkt. Bei einer Parabel ist ${\displaystyle p}$ außerdem der Abstand des Brennpunktes zur Leitlinie. Die Gleichung der Parabel lässt sich damit auch in der folgenden Form schreiben:

${\displaystyle x^{2}=2py}$

Vertauscht man ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$, so erhält man mit

${\displaystyle y^{2}=2px}$

die Gleichung einer nach rechts geöffneten Parabel.

Aufgrund der Definition ist eine Parabel die Äquidistanz-Kurve zu ihrem Brennpunkt und ihrer Leitlinie.

Parabeln ${\displaystyle y=ax^{2}}$ (Parabelschar)

Eine nach oben oder unten geöffnete Parabel mit Scheitel im Nullpunkt (0,0) und der ${\displaystyle y}$-Achse als Achse wird (in kartesischen Koordinaten) durch eine Gleichung

${\displaystyle y=ax^{2}{\text{ mit }}a\neq 0}$

beschrieben. Für ${\displaystyle a>0}$ sind die Parabeln nach oben geöffnet, für ${\displaystyle a<0}$ nach unten (siehe Bild). Dabei gilt:

• Der Brennpunkt ist ${\displaystyle \left(0,{\tfrac {1}{4a}}\right)}$,
• der Halbparameter ist ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2a}}}$,
• die Leitlinie hat die Gleichung ${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{4a}}}$ und
• die Tangente im Punkt ${\displaystyle (x_{0},ax_{0}^{2})}$ hat die Gleichung ${\displaystyle y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}}$.

Für ${\displaystyle a=1}$ erhält man die Normalparabel ${\displaystyle y=x^{2}}$. Ihr Brennpunkt ist ${\displaystyle \left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)}$, der Halbparameter ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ und die Leitlinie hat die Gleichung ${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{4}}}$.

Nach einer Verschiebung ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0})}$ erhält man die Scheitelform einer beliebigen nach oben oder unten geöffneten Parabel:

${\displaystyle y=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}\ ,\ a\neq 0}$ mit dem Scheitel ${\displaystyle S=(x_{0},y_{0})}$

Durch Ausmultiplizieren ergibt sich die allgemeine Gleichung einer nach unten oder oben geöffneten Parabel:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c{\text{ mit }}a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0.}$

Sie ist der Graph der quadratischen Funktion

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$.

Ist die Funktion ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ gegeben, so findet man den Scheitel durch quadratische Ergänzung:

${\displaystyle S=(x_{0},y_{0})=\left(-{\tfrac {b}{2a}},c-{\tfrac {b^{2}}{4a}}\right)}$

Parabel ${\displaystyle \color {blue}{y=2x^{2}}}$ mit dem Faktor 2 am Ursprung gestreckt, das Ergebnis ist die Parabel ${\displaystyle \color {red}{y=x^{2}}}$

In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung ineinander übergeführt werden können. Eine Ähnlichkeitsabbildung ist eine Hintereinanderausführung von zentrischen Streckungen, Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen.

Eine beliebige Parabel ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ mit Scheitelpunkt ${\displaystyle S=(s_{1},s_{2})}$ kann durch die Verschiebung ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x-s_{1},y-s_{2})}$ und eine geeignete Drehung um den Ursprung so transformiert werden, dass die transformierte Parabel den Ursprung als Scheitel und die ${\displaystyle y}$-Achse als Achse besitzt. Also ist die Parabel ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ zu einer Parabel mit der Gleichung ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ähnlich. Durch die zusätzliche zentrische Streckung ${\displaystyle (x,y)\mapsto (ax,ay)}$ wird die Parabel schließlich in die Normalparabel ${\displaystyle y=x^{2}}$ überführt. Also gilt

• Jede Parabel ist zur Normalparabel ähnlich.

Bemerkungen:

1. Diese Aussage ist nur für Parabeln richtig und nicht für Ellipsen/Einheitskreis und Hyperbeln/Einheitshyperbel.
2. Es gibt andere einfache affine Abbildungen, die die Parabel ${\displaystyle y=ax^{2}}$ auf die Normalparabel abbilden, zum Beispiel ${\displaystyle (x,y)\mapsto \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)}$. Jedoch ist diese Abbildung keine Ähnlichkeitsabbildung.

Kegelschnittschar mit Scharparameter ${\displaystyle \varepsilon }$

Die Schar der Kegelschnitte, deren Achse die ${\displaystyle x}$-Achse ist und die einen Scheitelpunkt im Ursprung (0,0) mit dem Scheitelkrümmungskreisradius ${\displaystyle p}$ (beliebig, aber fest) haben, lässt sich durch die Gleichung

${\displaystyle y^{2}=2px+(\varepsilon ^{2}-1)x^{2}\qquad ,\ \varepsilon \geq 0}$

beschreiben.

• Für ${\displaystyle \varepsilon =0}$ erhält man einen Kreis (Scheitelkrümmungskreis aller Kegelschnitte der Schar),
• für ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ eine Ellipse,
• für ${\displaystyle \varepsilon =1}$ eine Parabel und
• für ${\displaystyle \varepsilon >1}$ eine Hyperbel (s. Bild).

Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet

${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\quad ,}$ a, b, c nicht alle 0.

Um zu erkennen, welcher Kegelschnitt durch eine konkrete Gleichung beschrieben wird, muss man eine Hauptachsentransformation (Drehung und anschließende Verschiebung des Koordinatensystems) durchführen. Siehe hierzu Kegelschnitt.

Dandelin-Kugel: Parabel-Fall (Grund- und Aufriss)

Schneidet man einen geraden Kreiskegel mit einer Ebene ${\displaystyle \pi }$, deren Neigung gleich der Neigung der Mantellinien des Kegels ist, so ergibt sich eine Parabel als Schnittkurve (s. Bild, rote Kurve). Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. Brennpunkt und Leitlinie (s. oben) führt man mit Hilfe einer Dandelin’schen Kugel, d. i. eine Kugel, die den Kegel in einem Kreis ${\displaystyle c}$ und die Parabel-Ebene in einem Punkt ${\displaystyle F}$ berührt. Es stellt sich heraus, dass ${\displaystyle F}$ der Brennpunkt der Schnittparabel und die Schnittgerade der Ebene des Berührkreises ${\displaystyle c}$ mit der Ebene ${\displaystyle \pi }$ die Leitlinie ${\displaystyle l}$ ist.

1. ${\displaystyle P}$ sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve.
2. Die Strecken ${\displaystyle {\overline {PF}}}$ und ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ sind tangential zur Kugel und damit gleich lang.
3. Die Ebenen durch die Mantellinie ${\displaystyle m_{0}}$ schneiden die Parabelebene in einer Schar paralleler Geraden, die senkrecht zur Geraden ${\displaystyle l}$ sind (${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$!).
4. Anwendung des Strahlensatzes auf die sich in ${\displaystyle A}$ schneidenden Geraden ${\displaystyle ZP,BD}$ und die parallelen Strecken ${\displaystyle {\overline {BP}},{\overline {ZD}}}$ liefert die Gleichheit der Länge der Strecken ${\displaystyle {\overline {PA}},{\overline {PB}}}$. (Man beachte: ${\displaystyle {\overline {ZA}},{\overline {ZD}}}$ sind gleich lang!).
5. Aus der Gleichheit der Länge der Strecken ${\displaystyle {\overline {PF}}}$ und ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ folgt schließlich

${\displaystyle |PF|=|Pl|}$.

Parabel: Fadenkonstruktion

Die Definition einer Parabel mit Hilfe der Leitlinie bietet eine einfache Möglichkeit, mit Hilfe eines Fadens und eines rechten Winkels (hier in T-Form zum Gleiten entlang einer Gerade) einen Parabelbogen zu zeichnen:[3]

(0) Wahl des Brennpunktes ${\displaystyle F}$ und der Leitlinie ${\displaystyle l}$ der zu zeichnenden Parabel
(1) Faden der Länge ${\displaystyle |AB|}$ (in der Zeichnung blau)
(2) Befestigung des einen Fadenendes im Punkt ${\displaystyle A}$ des Lineals, das andere Ende im Brennpunkt ${\displaystyle F}$
(3) Anlegen des Winkels so, dass der eine Schenkel entlang der Leitlinie gleiten kann
(4) Mit einem Stift den Faden so spannen, dass er an der Linealkante anliegt
(5) Durch Verschieben des Lineals entlang der Leitlinie überstreicht der Stift einen Parabelbogen, denn es ist stets ${\displaystyle |PF|=|PB|}$ (Leitlinieneigenschaft).

Parabel als affines Bild der Normalparabel

Eine andere Definition der Parabel benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist eine Parabel als affines Bild der Normalparabel ${\displaystyle y=x^{2}}$ definiert.

Parameterdarstellung

Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$, wobei ${\displaystyle A}$ eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ein beliebiger Vektor ist. Sind ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ die Spaltenvektoren der Matrix ${\displaystyle A}$, so wird die Normalparabel ${\displaystyle (t,t^{2}),t\in \mathbb {R} ,}$ auf die Parabel

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2}}$

abgebildet. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ist ein Punkt der Parabel und ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}}$ Tangentenvektor in diesem Punkt. ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ stehen i. A. nicht senkrecht aufeinander. D. h., ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ist i. A. nicht der Scheitel der Parabel. Aber: Die Parabelachse (Symmetrieachse durch den Scheitel) ist parallel zu ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$. Diese Definition einer Parabel liefert eine einfache Parameterdarstellung einer beliebigen Parabel.

Scheitel, Scheitelform

Da im Scheitel die Tangente zur Parabelachse senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Parabelpunkt ${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}}$ ist, ergibt sich der Parameter ${\displaystyle t_{0}}$ des Scheitels aus der Gleichung

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2t{\vec {f}}_{2}^{\,2}=0}$ zu ${\displaystyle t_{0}=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2{\vec {f}}_{2}^{\,2}}}}$.

Die Scheitelform der Parameterdarstellung der Parabel ist

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {p}}(t_{0})+{\vec {p}}'(t_{0})(t-t_{0})+{\vec {f}}_{2}(t-t_{0})^{2}}$.

Beispiele

1. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}}}$ liefert die übliche Parameterdarstellung der Parabel ${\displaystyle y=ax^{2}:\quad (t,at^{2})}$.

Parabel:
Transformation auf Scheitelform (Beispiel 3)

1. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}-a\sin \varphi \\a\cos \varphi \end{pmatrix}}}$ liefert die Parameterdarstellung der Parabel, die aus ${\displaystyle y=ax^{2}}$ durch Drehung um den Winkel ${\displaystyle \varphi }$ und anschließende Verschiebung um ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform: Der Scheitel ist ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$
2. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$ liefert die Parabel ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}t^{2}.}$ Die Parameterdarstellung ist nicht in Scheitelform. Der Scheitelparameter ist ${\displaystyle t_{0}=-{\tfrac {1}{2\cdot 2}}=-{\tfrac {1}{4}}}$ und die Scheitelform lautet:

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\frac {1}{16}}{\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\left(t+{\frac {1}{4}}\right)+{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\left(t+{\frac {1}{4}}\right)^{2}}$

Implizite Darstellung

Löst man die Parameterdarstellung mit Hilfe der Cramerschen Regel nach ${\displaystyle \;t,t^{2}\;}$ auf und verwendet ${\displaystyle \;t\cdot t-t^{2}=0\;}$, erhält man die implizite Darstellung

${\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0}$.

Parabeln im Raum

Sind die Vektoren ${\displaystyle {\vec {f}}_{0},{\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ aus dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, so erhält man eine Parameterdarstellung einer Parabel im Raum.

Nicht jede affine Abbildung der reellen affinen Ebene (s. vorigen Abschnitt) bildet die Normparabel ${\displaystyle y=x^{2}}$ auf eine andere Parabel ab. Die folgenden affinen Abbildungen lassen die Parabel ${\displaystyle y=x^{2}}$ als Ganzes invariant:

• ${\displaystyle (x,y)\rightarrow (ax+b,a^{2}y+2abx+b^{2}),a\neq 0.}$

Dies sind die einzigen affinen Abbildungen, die die Parabel ${\displaystyle y=x^{2}}$ invariant lassen.

Zum Beweis: Setze ${\displaystyle y=x^{2}}$ und wende die 1. binomische Formel an.

Spezialfälle:

1. Für ${\displaystyle a=1,\,b=0}$ bleibt jeder Punkt der Ebene fest. Diese Abbildung heißt Identität.
2. Für ${\displaystyle a=1,\,b\neq 0}$ wird jeder Punkt der Parabel bewegt, d. h., es gibt keinen Fixpunkt auf der Parabel.
3. Für ${\displaystyle a=-1}$ ist die Abbildung involutorisch, d. h., zweimal ausgeführt ist sie die Identität. Man nennt so eine Abbildung Schrägspiegelung, da eine Gerade, nämlich ${\displaystyle \textstyle x={\frac {b}{2}}}$, punktweise fest bleibt (siehe Abschnitt „Mittelpunkte paralleler Sehnen“). In diesem Fall gibt es genau einen Fixpunkt auf der Parabel: ${\displaystyle ({\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b^{2}}{4}})}$. Nur im Fall ${\displaystyle b=0}$ ist eine Schrägspiegelung eine „normale“ Spiegelung an der ${\displaystyle y}$-Achse.

Bemerkung: Ergänzt man die reelle affine Ebene durch eine Ferngerade und deren Fernpunkte zu einer projektiven Ebene und fügt der Parabel ${\displaystyle y=x^{2}}$ den Fernpunkt der ${\displaystyle y}$-Achse hinzu, so erhält man einen nicht ausgearteten projektiven Kegelschnitt und hat mehr Abbildungen, projektive Kollineationen, zur Verfügung. Z. B. lässt die projektive Kollineation mit

${\displaystyle (x,y)\rightarrow \left(\textstyle {\frac {x}{y}},{\tfrac {1}{y}}\right)}$

die so erweiterte Parabel invariant. Diese Abbildung ist involutorisch, lässt die Parabelpunkte ${\displaystyle (1,1),(-1,1)}$ fix und vertauscht den Parabelpunkt ${\displaystyle (0,0)}$ mit dem Fernpunkt der ${\displaystyle y}$-Achse.

Eine Parabel, die in kartesischen Koordinaten durch ${\displaystyle y^{2}=4fx}$ beschrieben ist, erfüllt in Polarkoordinaten die Gleichung

${\displaystyle r(\varphi )=4f{\frac {\cos(\varphi )}{\sin ^{2}(\varphi )}}\quad {\text{mit}}\varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}.}$

Ihr Brennpunkt ist ${\displaystyle (f,0)}$. Legt man den Koordinatenursprung in ihren Brennpunkt, gilt für sie die polare Gleichung

${\displaystyle r(\varphi )={\frac {2f}{1-\cos(\varphi )}}{\text{ mit }}\varphi \neq 2\pi k.}$

Graphische Multiplikation von 2 und 3 mithilfe einer Normalparabel

Eine Normalparabel ist eine „Multiplikationsmaschine“: Man kann mit ihr auf graphischem Wege das Produkt zweier Zahlen berechnen. Dazu zeichnet man zunächst die Normalparabel ${\displaystyle y=x^{2}}$ in ein kartesisches Koordinatensystem ein. Die zu multiplizierenden Faktoren trägt man auf der ${\displaystyle x}$-Achse ab und bestimmt für jeden Wert einen Punkt auf der Parabel. Sind die Zahlen mit ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ bezeichnet, ergeben sich also zwei Punkte ${\displaystyle P(a|a^{2})}$ und ${\displaystyle Q(b|b^{2})}$. Die Gerade durch ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ schneidet die ${\displaystyle y}$-Achse in einem Punkt, dessen ${\displaystyle y}$-Koordinate den Wert ${\displaystyle -a\cdot b}$ hat. Im Grenzfall ${\displaystyle a=b}$ ergibt sich die Gerade als Tangente an die Parabel.

Falls ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gleiches Vorzeichen haben, ist es praktikabler, einen der Faktoren in negativer Richtung aufzutragen anstatt später das Vorzeichen des Ergebnisses umzudrehen, so geschehen im Beispiel mit den Werten ${\displaystyle a=3}$ und ${\displaystyle b=2}$. Hier trägt man die Faktoren als ${\displaystyle x}$-Werte mit unterschiedlichen Vorzeichen in das Koordinatensystem ein, nämlich als ${\displaystyle P(-3|9)}$ und ${\displaystyle Q(2|4)}$. Verbindet man die Punkte durch eine Gerade, so erkennt man, dass der Schnittpunkt der Geraden mit der ${\displaystyle y}$-Achse gleich 6 = 2·3 ist.

Eine quadratische Bézierkurve ist eine Kurve, deren Parameterdarstellung ${\displaystyle {\vec {c}}(t)}$ durch drei Punkte ${\displaystyle P_{0}:{\vec {p}}_{0}}$, ${\displaystyle P_{1}:{\vec {p}}_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}:{\vec {p}}_{2}}$ bestimmt wird:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}(t)\ &=\ \sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\\ &=\ (1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\\ &=\ ({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2})t^{2}+(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1})t+{\vec {p}}_{0}{\text{ , }}t\in [0,1]\end{aligned}}}$

Diese Kurve ist ein Parabelbogen (s. Abschnitt: Parabel als affines Bild der Normalparabel).

Simpson-Regel:
Parabelbogen ersetzt Kurventeil

Bei der numerischen Integration nähert man den Wert eines bestimmten Integrals dadurch an, dass man den Graphen der zu integrierenden Funktion durch Parabelbögen annähert und integriert diese. Dies führt zur Simpsonregel, siehe Bild.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)}$

Die Güte der Approximation wird dadurch erhöht, dass man die Unterteilung vergrößert und den Graphen durch entsprechend viele Parabelbögen ersetzt und diese integriert.

Folgende Flächen zweiter Ordnung (Quadriken) besitzen Parabeln als ebene Schnitte:

• Elliptischer Kegel[7] (siehe auch Kegelschnitt)
• Parabolischer Zylinder
• Elliptisches Paraboloid[8]
• Hyperbolisches Paraboloid
• Einschaliges Hyperboloid[9]
• Zweischaliges Hyperboloid[10]

• 
  Elliptischer Kegel
• 
  Parabolischer Zylinder
• 
  Elliptisches Paraboloid
• 
  Hyperbolisches Paraboloid
• 
  Einschaliges Hyperboloid
• 
  Zweischaliges Hyperboloid