Pólya-Verteilung

Das Konzept der Pólyaverteilung kann man an einem Urnenmodell demonstrieren: In einer Urne sind zwei Sorten Kugeln enthalten, etwa ${\displaystyle a}$ rote und ${\displaystyle b}$ blaue. Man wählt zufällig eine Kugel aus. Diese Kugel wird wieder zurückgelegt. Zusätzlich werden ${\displaystyle c}$ weitere Kugeln derselben Farbe der Urne (von außen) hinzugefügt. Dieser Vorgang wird ${\displaystyle n}$-mal durchgeführt. Die Zufallsvariable ${\displaystyle X_{n}}$ sei die Anzahl der Versuche, bei denen eine rote Kugel gezogen wird, wenn man den Zufallsvorgang ${\displaystyle n}$-mal durchführt. Man bezeichnet eine solche Zufallsvariable als pólyaverteilt.

Es seien die Anteile der Kugeln in der Urne definiert als

${\displaystyle p={\frac {a}{N}},\quad q={\frac {b}{N}},\quad r={\frac {c}{N}},}$

mit ${\displaystyle N=a+b}$.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von ${\displaystyle X_{n}}$ ist dann

${\displaystyle P(X_{n}=x)={n \choose x}{\frac {p\cdot (p+r)\cdot (p+2r)\cdots (p+(x-1)r)\cdot q\cdot (q+r)\cdot (q+2r)\cdots (q+(n-x-1)r)}{1\cdot (1+r)\cdot (1+2r)\cdots (1+(n-1)r)}}}$

für die Ausprägungen der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ als

${\displaystyle x={\begin{cases}0,1,\dots ,n&{\text{falls }}c\geq 0\\\max(0,\,n-b),\dots ,\min(a,\,n)&{\text{falls }}c=-1\\\end{cases}}}$.

Für andere Werte von ${\displaystyle x}$ ist die Wahrscheinlichkeit gleich Null gesetzt.

Der Erwartungswert von ${\displaystyle X_{n}}$ ist

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n})=n\cdot p}$

und die Varianz beträgt

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{n})=p\cdot q\cdot n\cdot {\frac {1+r\cdot n}{1+r}}}$.

Man betrachte zwei verschiedene Krankheitserreger A und B, die sich beide im selben Gebiet ausbreiten. Sie pflanzen sich beide epidemieartig fort, behindern sich aber gegenseitig. (Analog könnte man sich auch zwei konkurrierende Konzerne vorstellen etc.) Kommt eine Person mit einem der Erreger – z. B. A – in Kontakt, bleibt sie damit infiziert, wird aber gegen den konkurrierenden Erreger B immun. Virus A wird sich nun im neuen Wirt fortpflanzen und seine Kopien im Gebiet verteilen (z. B. durch Niesen). Angenommen, die neu erzeugten Erreger können sich schnell genug auf das gesamte Gebiet verteilen (z. B. durch Winde), so erhöht sich für das nächste Opfer die Wahrscheinlichkeit, mit A infiziert zu werden. Der Einfachheit halber sollen die Personen nacheinander infiziert werden und zwischen den Neuerkrankungen genügend Zeit zur Durchmischung sein. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Abfolge von Infektionen mit A oder B? Das Problem könnte man auch umschreiben:

• Es handelt sich um kein Virus, sondern ein größeres Insekt, das von Mensch zu Mensch springt
• Das Virus pflanzt sich nicht fort, sondern wird vom Immunsystem zerstört.
• Einmal in Kontakt mit dem Wirt gekommen, produziert dieser genügend Antikörper, um sogar noch eine ganze Reihe weiterer Viren derselben Art sofort zu vernichten (z. B. Anti-Viren-Software).

• P.H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik, Berlin 1991

• Polya urn – Pollyanna – 1. Mai 2014 (PDF; 582 kB)
• Verwendung mehrerer „Infektionen“ (pdf; 147 kB)
• Mehr als zwei „Erregertypen“ (pdf; 2,09 MB)
• Ein Kontinuum möglicher Kugelarten