Oseen-Gleichungen

Wie die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen sind die Oseen-Gleichungen ein System von partiellen Differentialgleichungen in vier Unbekannten (Geschwindigkeit in drei Raumdimensionen und Druck), ausgedrückt in vier Gleichungen.

Die Impulsgleichung (genau genommen drei Gleichungen in drei Raumdimensionen)

${\displaystyle (\mathbf {b} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p-\nu \Delta \mathbf {v} =\mathbf {f} }$

beschreibt

• die Strömungsgeschwindigkeit ${\displaystyle \mathbf {v} }$
• unter dem Einfluss von Konvektion mit strömungsunabhängiger Geschwindigkeit ${\displaystyle \mathbf {b} }$,
• Diffusion infolge der kinematischen Viskosität ${\displaystyle \nu }$
• unter dem Einwirken einer externen Volumenkraft ${\displaystyle \mathbf {f} }$.

Die o. g. Impulsgleichung ist über den Druck ${\displaystyle p}$ an die Kontinuitätsgleichung als vierte Oseen-Gleichung gekoppelt, welche Divergenz- und damit Quellfreiheit garantiert:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\operatorname {div} \mathbf {v} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&&=0\;\;{\text{mit}}\,{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\\\Rightarrow \,&{\text{div}}\,\mathbf {v} &&=0\\\Leftrightarrow \,&\nabla \cdot \mathbf {v} &&=0\\\Leftrightarrow \,&{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}&&=0\end{alignedat}}}$

Der beiden wesentlichen Unterschiede zwischen den Oseen- und den Navier-Stokes-Gleichungen sind

• die Stationarität der Oseen-Gleichungen, ausgedrückt als Fehlen der Zeitableitung
• ihre strömungsunabhängige Konvektionsgeschwindigkeit ${\displaystyle \mathbf {b} \neq \mathbf {v} }$, im Gegensatz zu ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {v} }$ bei den Navier-Stokes-Gleichungen.

Daneben können die Oseen-Gleichungen auch als eine Erweiterung der stationären Stokes-Gleichung um den Konvektionsterm ${\displaystyle (\mathbf {b} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$ aufgefasst werden.

Die Oseen-Gleichungen entstehen bei der Linearisierung der stationären Navier-Stokes-Gleichungen mittels einer Picard-Iteration.

Die o. g. nichtlineare Impulsgleichung kann über einen iterativen Prozess numerisch approximiert werden: man startet mit einem passenden Geschwindigkeitsfeld ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ und löst dann sukzessive

${\displaystyle (\mathbf {v} _{n-1}\cdot \nabla )\mathbf {v} _{n}+\nabla p_{n}-\nu \Delta \mathbf {v} _{n}=\mathbf {f} _{n}}$

für ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ unter Berücksichtigung der Inkompressibilität, bis Konvergenz eintritt, d. h. die Änderung zwischen ${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$ und ${\displaystyle \mathbf {v} _{n+1}}$ gering ist.

Die Oseen-Gleichungen beinhalten zwei fundamentale Eigenschaften, die auch bei der Diskretisierung der Navier-Stokes-Gleichungen auftreten, nämlich die Sattelpunktstruktur durch Geschwindigkeits-Druck-Kopplung sowie eine möglicherweise dominierende Konvektion (im Vergleich zur Diffusion).

• Carl Wilhelm Oseen: Über die Stokes'sche Formel, und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik. In: Arkiv för matematik, astronomi och fysik. 6, 29, 1904, ISSN 0365-4133, S. 1–20.
• David Kay, Daniel Loghin, Andrew Wathen: A preconditioner for the steady-state Navier-Stokes equations. In: SIAM Journal on Scientific Computing. 24, 2002, ISSN 0196-5204, S. 237–256.
• Dieter Braess: Finite Elemente. Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. 3. korrigierte und ergänzte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00122-0, Abschnitt III.4.