Ornstein-Uhlenbeck-Prozess

Seien ${\displaystyle a,\mu \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \theta ,\sigma >0}$ Konstanten. Ein stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t}),\;t\geq 0}$ heißt Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit Anfangswert ${\displaystyle a}$, Gleichgewichtsniveau ${\displaystyle \mu }$, Steifigkeit ${\displaystyle \theta }$ und Diffusion ${\displaystyle \sigma }$, wenn er das folgende stochastische Anfangswertproblem löst:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\theta \cdot (\mu -X_{t})\mathrm {d} t+\sigma \mathrm {d} W_{t},\;\;X_{0}=a}$,

wobei ${\displaystyle (W_{t})}$ ein Standard-Wienerprozess ist.

Die Parameter lassen sich einfach interpretieren und somit bei der Modellierung einer stochastischen Zeitreihe einfach als „Stellschrauben“ verwenden:

• ${\displaystyle \mu }$ ist das gleichgewichtige Niveau des Prozesses (englisch: mean reversion level). Liegt ${\displaystyle X_{t}}$ über diesem Wert, so ist der Driftterm ${\displaystyle \theta (\mu -X_{t})}$ negativ, und die Drift wird den Prozess tendenziell nach unten „ziehen“. Ist ${\displaystyle X}$ kleiner, so ist die Drift positiv und der Prozess wird in Erwartung nach oben gezogen.

• ${\displaystyle \theta }$ (englisch mean reversion speed oder mean reversion rate) gibt an, wie stark die oben beschriebene „Anziehungskraft“ von ${\displaystyle \mu }$ ist. Für kleine Werte von ${\displaystyle \theta }$ verschwindet dieser Effekt, für große Werte wird sich ${\displaystyle X}$ sehr steif um ${\displaystyle \mu }$ entwickeln.

• ${\displaystyle \sigma }$ gibt an, wie stark der Einfluss von ${\displaystyle W_{t}}$ (also des Zufalls) auf den Prozess ist. Für ${\displaystyle \sigma =0}$ wird ${\displaystyle X}$ einfach exponentiell gegen ${\displaystyle \mu }$ konvergieren, bei starker Diffusion wird diese Konvergenz zufällig gestört.

Der Unterschied zum ebenfalls mit dem mean-reversion-Mechanismus ausgestatteten Wurzel-Diffusionsprozess oder der geometrischen Brownschen Bewegung besteht im Wesentlichen darin, dass beim OU-Prozess der Diffusionsterm ${\displaystyle \sigma \mathrm {d} W_{t}}$ konstant, also unabhängig von ${\displaystyle X}$ ist. Dies führt dazu, dass der OU-Prozess im Gegensatz zu den anderen beiden auch negative Werte annehmen kann.

Im Gegensatz zum Wurzel-Diffusionsprozess ist die obige Differentialgleichung explizit lösbar, wenn auch nicht (wie bei der geometrischen brownschen Bewegung) integralfrei darstellbar: Mit der Lösung ${\displaystyle ce^{-\theta t}}$ der zugehörigen homogenen Gleichung ${\displaystyle \mathrm {d} U_{t}=-\theta U_{t}\,\mathrm {d} t}$ führt Variation der Konstanten auf den Ansatz ${\displaystyle X_{t}=Y_{t}e^{-\theta t}}$, also ${\displaystyle Y_{t}=X_{t}e^{\theta t}}$. Wendet man auf die Funktion ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;(X_{t},t)\mapsto X_{t}e^{\theta t}}$ einerseits die Itō-Formel, andererseits die gewöhnliche Kettenregel der Differentialrechnung an, so erhält man

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\theta X_{t}e^{\theta t}\,\mathrm {d} t+e^{\theta t}\mathrm {d} X_{t}=e^{\theta t}\theta \mu \,\mathrm {d} t+\sigma e^{\theta t}\mathrm {d} W_{t}}$.

Die obige Identität von 0 bis ${\displaystyle t}$ aufintegriert (wobei ${\displaystyle X_{0}=a}$) ergibt die Lösung

${\displaystyle X_{t}=ae^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\mathrm {d} W_{s}}$.

Vergleich von Wiener-Prozessen (oben) und Ornstein-Uhlenbeck-Prozessen (unten) mit gleicher Diffusion, σ=1.

• Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess ist ein Gauß-Prozess. Dies erkennt man an der obigen Lösung: Der Integrand ist deterministisch, also ist der Wert des Ito-Integrals stets normalverteilt. Wie für jeden Gauß-Prozess ist die Verteilung des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses durch seine Erwartungswert- und Kovarianzfunktion eindeutig bestimmt. Diese ergeben sich als

${\displaystyle \mathrm {E} [X_{t}]=ae^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t}),\quad t\geq 0}$

und

${\displaystyle \operatorname {Cov} [X_{s},X_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,(e^{-\theta |s-t|}-e^{-\theta (s+t)}),\quad s,t\geq 0.}$.

Die univariaten Verteilungen der ${\displaystyle X_{t}}$ für ${\displaystyle t>0}$ sind Normalverteilungen:

${\displaystyle X_{t}\sim {\mathcal {N}}\left(ae^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t}),{\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}(1-e^{-2\theta t})\right)}$.

• Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit nichtstochastischem Anfangswert ${\displaystyle a}$ besitzt eine konstante Erwartungswertfunktion im Fall ${\displaystyle a=\mu }$.

• Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit nichtstochastischem Anfangswert ${\displaystyle a}$ ist nicht stationär, wie man an der Kovarianzfunktion erkennt, die nicht nur von der Zeitdiffererenz ${\displaystyle |s-t|}$ abhängt. Mit stochastischem Anfangswert existiert ein stationärer Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, siehe weiter unten.

• Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess ist ein gaußscher Markow-Prozess.

• Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess ist – wie auch der Wurzel-Diffusionsprozess – ein affiner Prozess.

• Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess entspricht einem Tiefpass-gefilterten weißen Rauschen mit einem linearen IIR-Tiefpassfilter 1. Ordnung mit Grenzfrequenz ${\displaystyle f_{c}={\frac {\theta }{2\pi }}}$.[1] Sein Spektrum ist daher für niedrige Frequenzen flach, wie beim weißen Rauschen, und für hohe Frequenzen proportional zu 1/f², wie beim roten Rauschen. Im Gegensatz zum rein weißen und roten Rauschen ist das Spektrum des Ornstein-Uhlenbeck-Prozess damit quadratintegrierbar, und der Prozess besser als ideales weißes oder rotes Rauschen auf physikalische Situationen anwendbar, die grundsätzlich amplituden-, bandbreiten und leistungslimitiert sind.

• Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess entspricht auch einem Hochpass-gefilterten Wiener-Prozess mit einem linearen IIR-Hochpassfilter 1. Ordnung mit Grenzfrequenz ${\displaystyle f_{c}={\frac {\theta }{2\pi }}}$ (siehe Abbildung). Dies geht direkt aus der Definition hervor, die zu einem bestehenden Wiener-Prozess den linearen Filterterm ${\displaystyle \theta \cdot (\mu -X_{t})\mathrm {d} t}$ addiert, der tiefe Frequenzkomponenten dämpft. Im Gegensatz zum skaleninvarianten Wiener-Prozess besitzt der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess damit eine Zeitskala und ist in dieser Hinsicht komplizierter. Für Zeitskalen deutlich kleiner als 1/θ kann der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess jedoch durch den Wiener-Prozess approximiert werden. Es gilt im Sinne der Verteilungskonvergenz[2]

${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\sqrt {n}}}X_{nt}\right)_{t\geq 0}{\xrightarrow {\mathcal {D}}}(W_{t})_{t\geq 0}.}$

Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit stochastischen Anfangswert ${\displaystyle X_{0}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},\sigma _{0}^{2})}$ ist

${\displaystyle X_{t}=X_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\mathrm {d} W_{s},\quad t\geq 0}$.

Pfad eines Cauchy-OU-Prozesses

Wird die definierende Differentialgleichung von einem anderen Lévy-Prozess als der brownschen Bewegung angetrieben, so erhält man auch einen (nicht-gaußschen) Ornstein-Uhlenbeck-Prozess.

• G. E. Uhlenbeck, L. S. Ornstein: On the Theory of the Brownian Motion. In: Physical Review. 36. Jahrgang, Nr. 5, 1. September 1930, ISSN 0031-899X, S. 823–841, doi:10.1103/PhysRev.36.823 (englisch).
• Daniel T. Gillespie: Exact numerical simulation of the Ornstein-Uhlenbeck process and its integral. In: Physical Review E. 54. Jahrgang, Nr. 2, 1. August 1996, ISSN 1063-651X, S. 2084–2091, doi:10.1103/PhysRevE.54.2084, PMID 9965289 (englisch).

1. Enrico Bibbona, Gianna Panfilo, Patrizia Tavella: The Ornstein–Uhlenbeck process as a model of a low pass filtered white noise. In: Metrologia. 45. Jahrgang, Nr. 6, 5. Dezember 2008, ISSN 0026-1394, S. S117–S126, doi:10.1088/0026-1394/45/6/S17 (englisch).
2. L. C. G. Rogers and D. Williams: Diffusions, Markov Processes and Martingales. Vol. 1. Cambridge University Press, Cambridge, 2000, S. 54.