Ordnung (algebraische Zahlentheorie)

• Ein Zahlkörper ${\displaystyle K}$ ist hier ein Erweiterungskörper des Körpers ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ der rationalen Zahlen, der über den rationalen Zahlen eine endliche Dimension ${\displaystyle n}$ hat. Diese Dimension heißt Grad der Körpererweiterung.
• Als Gitter im Zahlkörper ${\displaystyle K}$ bezeichnet man jede endlich erzeugte Untergruppe ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle (K,+)}$, die eine ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle K}$ enthält. Äquivalent sind Gitter in ${\displaystyle K}$ die freien Untergruppen von ${\displaystyle K}$ mit Rang ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$.
• Zwei Gitter ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ heißen (im weiteren Sinne) äquivalent, wenn es eine Zahl ${\displaystyle \lambda \in K^{\times }}$ gibt, mit der ${\displaystyle \lambda \cdot M=N}$ gilt, im engeren Sinne äquivalent, wenn ein solches ${\displaystyle \lambda }$ sogar in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ existiert.
• Die Ordnung ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ eines Gitters ${\displaystyle M}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {O}}={\mathcal {O}}(M)=\{\omega \in K:\omega \cdot M\subseteq M\}}$. Gleichwertig dazu ist: Jedes Gitter G, das zugleich ein Unterring von K ist, ist eine Ordnung (und zwar zumindest von sich selbst als Gitter, darüber hinaus aber auch von allen äquivalenten Gittern).

• Äquivalente Gitter haben dieselbe Ordnung.
• Jede Ordnung ist selbst ein Gitter.
• Jede Ordnung ist ein Unterring von ${\displaystyle K}$.
• Jedes Element einer Ordnung ist eine algebraisch ganze Zahl.
• Ist ${\displaystyle \alpha \in K}$ algebraisch ganz und ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ eine Ordnung, dann ist auch ${\displaystyle {\mathcal {O}}[\alpha ]}$ eine Ordnung.
• Es existiert über ${\displaystyle K}$ eine im Sinne der Inklusion maximale Ordnung ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$, die Hauptordnung oder Maximalordnung von ${\displaystyle K}$.
• Die Hauptordnung umfasst genau alle algebraisch ganzen Zahlen in ${\displaystyle K}$, d. h. die Begriffe Ganzheitsring und Hauptordnung bezeichnen dieselbe Teilmenge von ${\displaystyle K}$.

Die Wortwahl Gitter deutet einen Zusammenhang mit Gittern in euklidischen Räumen an, der tatsächlich besteht: Der Zahlkörper ${\displaystyle K}$ ist ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Dieser Vektorraum kann in einen ${\displaystyle n}$-dimensionalen reellen Vektorraum eingebettet werden. In diesem Vektorraum sind die Dedekind-Gitter spezielle geometrische Gitter. Dedekind-Gitter sind nie „flach“ (d. h. in einem echten Unterraum enthalten), da sie stets eine ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle K}$ enthalten müssen und damit im reellen Vektorraum eine ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Basis.

Die anschauliche Vorstellung eines Gitters im ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raum kann für das Verständnis nützlich sein. Zum Beispiel ist für eine ganze Zahl ${\displaystyle k>1}$ das Dedekind-Gitter ${\displaystyle k\cdot M}$ ein Gitter, das „grobmaschiger“ als das Dedekind-Gitter ${\displaystyle M}$ ist. Die Gitter ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle k\cdot M}$ lassen sich durch zentrische Streckungen aufeinander abbilden.

Bei Beweisen, die auf die beschriebene Einbettung Bezug nehmen, ist Vorsicht geboten. Wird zum Beispiel in einem Zahlkörper ${\displaystyle K}$, der die algebraische Zahl ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ enthält, diese als Vektor mit der reellen Zahl ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ skalar multipliziert, dann ist das Ergebnis nicht ${\displaystyle 2}$. Um die verschiedenen Multiplikationen zu unterscheiden, muss man diese Einbettung formal korrekt als Tensorprodukt

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to K\otimes \mathbb {R} }$

einführen (vgl. dazu den nächsten Abschnitt).

Ist allgemeiner ${\displaystyle A}$ eine endlichdimensionale, nicht notwendigerweise kommutative ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Algebra, so nennt man einen Unterring ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subset A}$ eine Ordnung in ${\displaystyle A}$, wenn

• ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul ist und
• der kanonische Homomorphismus

${\displaystyle {\mathcal {O}}\otimes \mathbb {Q} \to A}$

ein Isomorphismus ist.

Dieser Begriff verallgemeinert den oben definierten Begriff der Ordnung in einem Zahlkörper. Beispiele für Ordnungen in Quaternionenalgebren über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ sind Endomorphismenringe supersingulärer elliptischer Kurven.

• Armin Leutbecher: Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-58791-8.
• Joseph H. Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 106). Springer, New York NY 1986, ISBN 3-540-96203-4, Ordnungen, insbesondere in Quaternionenalgebren: III.§9; supersinguläre elliptische Kurven: V.§3.

1. P. G. Lejeune Dirichlet: Vorlesungen über Zahlentheorie. Herausgegeben und mit Zusätzen versehen von R. Dedekind. 4., umgearbeitete und vermehrte Auflage. Vieweg, Braunschweig 1894.