Leonhard Euler

Im Pfarrhaus in Riehen bei Basel wuchs Leonhard Euler auf.

Euler wurde als ältester Sohn des Pfarrers Paul III. Euler (1670–1745) und dessen Ehefrau Margaretha Brucker (1677–1761), einer Pfarrerstochter, in Basel geboren. Er hatte zwei jüngere Schwestern, Anna Maria und Maria Magdalena, und einen jüngeren Bruder, Johann Heinrich.[1]

In der Dorfkirche Riehen war Leonhard Eulers Vater Paul Pfarrer.

Bald nach der Geburt von Leonhard zog die Familie Euler wegen einer Versetzung des Vaters von Basel in das benachbarte Dorf Riehen, wo Leonhard ab 1708 den größten Teil seiner Kindheit verbrachte.[2] Das geistige Klima im Pfarrhaushalt war inspirierend: Eulers Mutter kam selbst aus einer gebildeten Familie, und der Vater hatte mathematische Interessen und bei Jakob I Bernoulli nicht nur Vorlesungen gehört, sondern sogar 1688 eine mathematische Dissertation verfasst.[3] Leonhard Euler besuchte das Gymnasium am Münsterplatz in Basel und bekam gleichzeitig Privatunterricht beim Theologen Johannes Burckhardt (1691–1743). Dies hatte sein Vater für ihn arrangiert, da der Mathematikunterricht an der Schule gestrichen worden war. Es gilt zudem als gesichert, dass der junge Euler das Buch Behend und hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeinicklich die Coß genennt werden von Christoph Rudolff (1499–1545) erfolgreich studierte.[4] Der mathematikbegeisterte Vater war mit den Bernoullis und speziell Europas führendem Mathematiker Johann I Bernoulli, der später großen Einfluss auf den jungen Leonhard nehmen sollte, befreundet.

Im Jahr 1720 schrieb er sich im Alter von 13 Jahren an der Universität Basel ein. Auf Wunsch seines Vaters, der für seinen Sohn eine Pastorenlaufbahn vorgesehen hatte, begann Euler ein Studium der Theologie sowie der griechischen und hebräischen Sprache. Drei Jahre später erhielt er die Magisterwürde. In der dabei eingereichten Dissertation verglich er die Naturphilosophie in den Systemen von Descartes und von Newton miteinander. Die Verteidigungsrede ist zwar nicht schriftlich überliefert, doch wird Eulers naturphilosophisches Bild später Elemente beider großen Systeme beibehalten: von Descartes die Metaphysik der Nahwirkung aller Kräfte und von Newton die rein mathematische Durcharbeitung von Fernkräften auf Punktmassen, die er zeit seines Lebens mit den Mitteln der von ihm geprägten Analysis weiterentwickeln wird.[5]

Zwischenzeitlich hatte er wöchentlich Unterricht bei Johann Bernoulli genommen, der zu damaliger Zeit führende Mathematiker auf dem Kontinent. Bernoulli war mit dem damaligen Entwicklungsstand der Infinitesimalrechnung vertraut und bildete sie weiter. Euler hatte somit bereits in seinen Jugendjahren direkten Zugang zu aktuellen Problemen der Mathematik, die seine Erforschung der Analysis bestimmen sollten.[6][7] Bernoulli war es auch, der die außergewöhnliche Begabung seines neuen Schülers für Mathematik erkannte und zu fördern begann.[8] Bernoulli überzeugte daraufhin Paul Euler, dass sich Leonhard besser der Mathematik und Physik zuwende. Sein Einfluss auf Eulers Entwicklung war prägend.[9] Mit Johann Bernoulli pflegte Euler seit Beginn seiner wissenschaftlichen Karriere bis zu dessen Lebensende, also etwa zwanzig Jahre, eine freundschaftliche wie kollegiale Briefbeziehung.[10]

1726 schloss Euler eine weitere Dissertation mit dem Titel De Sono, ein Werk über die Schallausbreitung, ab.[11] Im Jahr 1727 nahm er erstmals am Wettbewerb um den Pariser Akademiepreis teil, in dem es galt, das Problem der optimalen Platzierung von Schiffsmasten zu lösen. Jedes Jahr stellte die Pariser Akademie einen Preisbericht zusammen, und die Berichte wurden anschließend in ihren Preisbänden Pièces qui ont remporté le prix de l’académie royale des sciences de Paris (Arbeiten, die den Preis der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Paris gewonnen haben) veröffentlicht.[12] Eulers eingereichte Arbeit belegte nur den dritten Platz, löste jedoch ein Problem.[12] Den Wettbewerb gewann Pierre Bouguer, der später als „Vater des Schiffbaus“ Bekanntheit erlangte. Spätere Austragungen des Wettbewerbs konnte Euler in insgesamt zwölf Fällen für sich entscheiden.[13] Von der ersten Ausschreibung im Jahr 1720 bis zum größten Teil des achtzehnten Jahrhunderts galt der Prix de Paris als die bedeutendste wissenschaftliche Auszeichnung in Europa.[12]

Um diese Zeit arbeiteten die beiden Söhne von Johann Bernoulli, Daniel und Nikolaus, an der 1725 neu eröffneten Kaiserlich Russischen Akademie der Wissenschaften in Sankt Petersburg, nachdem bereits Eulers Studienkollege Jakob Hermann ein Jahr zuvor dort die Professur für Mathematik angenommen hatte.[14] Am 31. Juli 1726 starb Nikolaus an einer Blinddarmentzündung.[15] Als Daniel die Stelle seines Bruders in der Abteilung Mathematik/Physik übernahm, empfahl er, die von ihm frei gewordene Stelle in der Physiologie mit seinem Freund Euler zu besetzen. Im November 1726 nahm Euler das Angebot an, verzögerte aber die Reise nach Sankt Petersburg, während er sich erfolglos um eine Physikprofessur an der Universität Basel bewarb.[15]

Daniel Bernoulli

Euler kam am 17. Mai 1727 in Sankt Petersburg an. Er wurde sehr bald von seiner Junior-Stelle in der medizinischen Abteilung der Akademie auf eine Stelle in der mathematischen Abteilung befördert und trat damit die Nachfolge Jakob Hermanns an, der wieder nach Basel zurückkehrte.[16] Während dieser Zeit wohnte er bei Daniel Bernoulli, mit dem er oft eng zusammenarbeitete. Euler beherrschte bereits nach kurzem Aufenthalt die russische Sprache fließend und ließ sich in Sankt Petersburg nieder.[17] Einige Quellen (primär ältere Sekundärwerke) behaupten, dass er (auf der Grundlage eines Preises der Pariser Akademie für Schiffsmasten und Physiologiekurse) zum Sanitäter der russischen Marine wurde. Hierüber gibt es jedoch keine Aufzeichnungen.[18]

Die von Peter dem Großen gegründete Akademie in Sankt Petersburg sollte die Ausbildung in Russland verbessern und den wissenschaftlichen Vorsprung Westeuropas aufholen. Zu diesem Zweck wurde sie für ausländische Wissenschaftler wie Euler besonders attraktiv gemacht. Die Akademie verfügte über reichlich finanzielle Mittel und eine umfangreiche Bibliothek, die aus den Privatbibliotheken Peters und des Adels stammte. Um die Lehrtätigkeit der Fakultät zu entlasten, wurden nur sehr wenige Studenten an der Akademie eingeschrieben. Die Akademie legte gesteigerten Wert auf die Forschung und bot ihren Mitgliedern sowohl die Zeit als auch die Freiheiten, wissenschaftlichen Fragen nachzugehen.[19]

Katharina I., die die fortschrittliche Politik ihres verstorbenen Mannes fortgesetzt und die Akademie unterstützt hatte, starb am Tag von Eulers Ankunft. Mit dem Aufstieg des zwölfjährigen Peter II. gewann der russische Adel an Einfluss. Der Adel, der den ausländischen Wissenschaftlern der Akademie ablehnend gegenüberstand, kürzte die Mittel und bereitete Euler und seinen Kollegen damit zunehmende Schwierigkeiten.[19]

Nach dem Tod Peters II. verbesserten sich die Bedingungen für die Wissenschaft wieder ein wenig. Euler stieg dank seiner Leistungen rasch auf und wurde 1731 zum Professor für Physik ernannt. Zwei Jahre später reiste Daniel Bernoulli, der die Zensur und die Feindseligkeiten in Sankt Petersburg nicht mehr ertrug, nach Basel. Euler trat schließlich 1733 als dessen Nachfolger die Professur für Mathematik an.[20]

Am 7. Januar 1734 heiratete er Katharina Gsell (1707–1773), eine Tochter des Malers Georg Gsell aus dessen erster Ehe mit Marie Gertrud van Loen.[21] Das junge Paar kaufte ein Haus an der Newa. Von ihren 13 Kindern überlebten nur fünf die Kindheit.[22] Eulers Enkelin Charlotte Anna Wilhelmine (* 1773; † 1831), die Tochter seines Sohnes Johann Albrecht (* 1734; † 1800), war mit Jakob Bernoulli, dem zweiten Jakob der Bernoulli-Familie (* 1759; † 1789), kinderlos verheiratet.[23]

Nach Eulers eigener Einschätzung ließen ihn die Petersburger Jahre zu einem starken Wissenschaftler heranreifen. Dies geht aus verschiedenen überlieferten Briefen aus seiner Berliner Zeit hervor.[24]

Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt (1767), Fürstäbtissin des Stifts Herford

Besorgt über die anhaltenden politischen Wirren und Machtkämpfe in Folge des Todes der Zarin Anna I. in Russland verließ Euler am 19. Juni 1741 Sankt Petersburg, um eine Stelle an der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin zu übernehmen, die ihm von Friedrich II. von Preußen angeboten worden war. Euler korrespondierte dort mit Christian Goldbach und verglich dessen Theorien mit seinen eigenen.

Darüber hinaus wurde Euler gebeten, Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt, Friedrichs Cousine zweiten Grades, als Tutor zu dienen. Anfang der 1760er-Jahre schrieb Euler über 200 Briefe an sie, die später zu einem Buchband mit dem Titel Briefe an eine deutsche Prinzessin – über verschiedene Gegenstände aus der Physik und Philosophie zusammengestellt wurden.[25] Dieses Werk enthielt Eulers Ausführungen zu verschiedenen Themen der Physik und Mathematik und bot wertvolle Einblicke in seine Persönlichkeit und religiösen Überzeugungen. Das Buch wurde populärer als jedes seiner mathematischen Werke und in ganz Europa und in den Vereinigten Staaten veröffentlicht. Die Popularität der „Briefe“ zeugt von Eulers Fähigkeit, wissenschaftliche Themen einem Laienpublikum effektiv zu vermitteln, etwas, was unter engagierten Forschern als selten galt.[26]

Porträt des Leonhard Euler (Jakob Emanuel Handmann 1753). Zu erkennen ist das entzündete rechte Auge.

Eulers Sehkraft verschlechterte sich im Laufe seiner mathematischen Laufbahn. Im Jahr 1738, drei Jahre nachdem er zwischenzeitlich lebensgefährlich erkrankt war (es ist aus den Aufzeichnungen Eulers damaligen Arztes nicht zu erkennen, welche Erkrankung genau vorlag[27]), erblindete er auf seinem rechten Auge fast vollständig. Euler machte jedoch die mühsame Arbeit an der Kartographie für die Sankt Petersburger Akademie dafür verantwortlich. Seine Sehkraft auf diesem Auge verschlechterte sich während seines Aufenthalts in Deutschland so sehr, dass Friedrich ihn bald als „mein Zyklop“ bezeichnete.[28] Euler bemerkte zu seinem Sehverlust: „Jetzt werde ich weniger Ablenkung haben“.[29]

Friedrich II. (Porträt von Anton Graff, 1781) gilt als großer Reformer

Trotz Eulers immensen Beitrags zum Ansehen der Akademie geriet er mit Friedrich in Streit. Der preußische König hatte einen großen Kreis von Intellektuellen an seinem Hof. Er fand den Mathematiker jedoch unkultiviert und zu schlecht informiert über die Dinge jenseits von Zahlen und Werten. In einem Brief an seinen Bruder August Wilhelm schrieb Friedrich:

Als einfacher, frommer Mann, der nie die bestehende Gesellschaftsordnung oder konventionelle Überzeugungen in Frage stellte, galt Euler in vielerlei Hinsicht als das genaue Gegenteil von Voltaire, der an Friedrichs Hof einen hohen Stellenwert genoss. Euler war kein geübter Redner und machte es sich oft zur Aufgabe, über Themen zu streiten, über die er wenig wusste, was ihn zum Ziel von Spott seitens Voltaires machte.[31] In der als Akademiestreit bezeichneten Auseinandersetzung zwischen Pierre Maupertuis und Voltaire stand Euler, neben Friedrich II., als einer der wenigen auf Maupertuis’ Seite.[32]

Friedrich hatte für Eulers Arbeits- und Ausdrucksweise nur wenig Verständnis. Ihm war die ‹Strenge der Mathematik […] ein Greuel›.[33] Unter anderem konnten Eulers Versuche, die Musik auf Basis der Mathematik zu behandeln, bei Friedrich nur hämische Bemerkungen hervorrufen.[34] Auch soll Euler sich einmal auf einen Wettstreit mit Friedrichs Kapellmeister eingelassen haben, in dem er ein Menuett nach den Grundsätzen der von ihm entwickelten und nach ihm benannten Tonlehre komponierte. Doch erwies sich diese Musik als ‹unsangbar, steif, ohne die mindeste Anmut; man war froh, als er die letzte Note anschlug›.[35]

Friedrich II. brauchte Eulers mathematische Fertigkeiten vor allem für praktische Dienste, wie für die Nivellierung des Finowkanals, für die Anlage der Wasserwerke in Sanssouci, zur Aufsicht über die Salzwerke in Schönebeck, oder zur Begutachtung von Lotterieplänen, Witwenkassen und anderen Finanzprojekten.[36] Dabei äußerte er seine Enttäuschung über Eulers praktische Fähigkeiten als Ingenieur:

Nach Einschätzung des Physikers Michael Eckert ist das Scheitern des Bauprojektes jedoch nicht auf Rechenfehler Eulers, sondern minderwertiges Baumaterial zurückzuführen.[39]

Als Grund für den endgültigen Bruch zwischen Euler und Friedrich gilt jedoch die Weigerung des Monarchen, nach dem Tode von Pierre Maupertuis Euler als dessen Nachfolger für das Amt des Präsidenten der Akademie zu ernennen. Stattdessen favorisierte Friedrich den französischen Mathematiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert. Als d’Alembert aber den Posten des Präsidenten der Akademie nicht annahm und stattdessen Euler vorschlug, ignorierte Friedrich dies. Euler zeigte zu wenig ‹staatmännischen Schliff›, zu wenig Eloquenz, er hatte kein sicheres Auftreten: Merkmale, auf die Friedrich viel Wert legte.[40] Überliefert sind auch Vorkommnisse, bei denen Euler in der Akadamie gewisse Führungsschwäche an den Tag legte und die Friedrich verärgert haben, so etwa die Finanzaffäre um David Koehler.[41] Als Reaktion auf Friedrichs Ablehnung reichte Euler ein Entlassungsgesuch ein, blieb mit seiner Bitte jedoch erfolglos. Erst nach einem zweiten Versuch ließ Friedrich ihn ziehen.[42] Kurz nach Eulers Abreise ernannte Friedrich den Mathematiker Joseph-Louis Lagrange, mit dem Euler bei der Entwicklung der Variationsrechnung zusammengearbeitet hatte, zum Präsidenten.[43]

Euler lebte insgesamt 25 Jahre lang in Berlin, wo er über 380 Artikel schrieb. In Berlin veröffentlichte er zwei seiner bekanntesten Werke: die Introductio in analysin infinitorum, ein 1748 veröffentlichter Text über Funktionen, und die Arbeit Institutiones calculi differentialis,[44] die die Differentialrechnung behandelt und 1755 veröffentlicht wurde. 1755 wurde er außerdem zum ausländischen Mitglied der Königlich-Schwedischen Akademie der Wissenschaften gewählt.

Katharina II. bereitete Euler in Sankt Petersburg einen großen Empfang

1760, als der Siebenjährige Krieg im Gange war, wurde Eulers Hof in Charlottenburg von den vorrückenden russischen Truppen geplündert. Als General Iwan Petrowitsch Saltykow von diesem Zwischenfall erfuhr, zahlte er eine Entschädigung an Euler für dessen verloren gegangenen Besitz, wobei Kaiserin Elisabeth von Russland später eine weitere Zahlung von 4000 Rubel hinzufügte – damals eine enorme Summe.[45] Die politische Situation in Russland stabilisierte sich nach der Thronbesteigung von Katharina der Großen, so dass Euler 1766 eine Einladung zur Rückkehr an die Sankt Petersburger Akademie annahm. Euler stellte Bedingungen: ein Jahresgehalt von 3000 Rubel, eine Rente für seine Frau und das Versprechen, seine Söhne in hohe Positionen zu berufen. All diesen Bitten wurde stattgegeben.[46] Er sollte den Rest seines Lebens in Russland verbringen.

1771 erblindete er vollständig. Es hatte sich ein Grauer Star in seinem linken Auge entwickelt, der 1766 entdeckt wurde. Die Wiederherstellung des Sehvermögens durch einen chirurgischen Eingriff an seinem linken Auge verbesserte seine Sehkraft temporär. Im Oktober wurde er jedoch durch eine Komplikation, möglicherweise eine Infektion, fast vollständig blind und hatte gelegentlich Schmerzen.[47] Er war damals 59 Jahre alt. Sein Zustand schien aber kaum Auswirkungen auf seine Produktivität zu haben, da er vieles mit seinen geistigen Rechenfähigkeiten und seinem außergewöhnlichen Gedächtnis kompensierte. Mit Hilfe seiner Schreiber konnte Euler seine Publikationsrate sogar noch erhöhen.[48] Die Eulers trugen einen Doppelnamen, Euler-Schölpi, der sich von „schelb“ und „schief“ ableitet und für schielende oder krumme Augen steht.[49] Dies deutet darauf hin, dass die Eulers möglicherweise alle eine Anfälligkeit für Augenprobleme hatten.[50]

Trotz Erblindung entstand fast die Hälfte seines Lebenswerks in der zweiten Petersburger Zeit. Hilfe erhielt er dabei von seinen Söhnen Johann Albrecht, Karl und Christoph sowie von seinem Sekretär Nikolaus Fuss.[51] Trotz seiner wissenschaftlichen Produktivität wurde er nie Präsident der Universität. Eulers Beziehungen zum Direktor der Petersburger Akademie Wladimir Grigorjewitsch Orlow, der den Posten im Alter von 23 Jahren angetreten hatte, gestalteten sich erneut schwierig. Euler zog sich bald von seinen offiziellen akademischen Pflichten an der Petersburger Akademie zurück, was ihm mehr Freiraum für seine wissenschaftliche Arbeit gab.[52]

Sein zweiter Aufenthalt in Russland war, neben seiner Erblindung, auch von weiteren einschneidenden Ereignissen geprägt. Ein Brand in Sankt Petersburg im Jahr 1771 kostete ihn seine Wohnstätte und fast sein Leben. Unter anderem seine Bibliothek und Möbel fielen den Flammen zum Opfer, doch durch die schnelle Reaktion von Wladimir Orlow konnten viele Manuskripte gerettet werden. Ein Verlust war ein Werk über Mondtheorie, das 1772 von der Akademie in Paris hätte veröffentlicht werden sollen. Johann Albrecht Euler musste es anschließend Wort für Wort neu aufschreiben.[53] 1773 starb schließlich seine erste Frau Katharina.[54] Der Verlust erschwerte das häusliche Leben enorm, da Katharina den kompletten Haushalt geführt hatte. Euler war entschlossen, unabhängig zu bleiben und sich nicht auf seine Söhne zu verlassen, obwohl es damals durchaus üblich war, dass ein älterer Elternteil bei den Kindern wohnte und unter ihrer Obhut stand.[54] Er arbeitete wie in der ersten Sankt Petersburger Periode in der Kunstkammer.

Eulers Grab auf dem Friedhof des Alexander-Newski-Klosters in Sankt Petersburg

Drei Jahre nach dem Tod seiner Frau heiratete Euler ihre Halbschwester Salome Abigail Gsell (1723–1794), Tochter von Georg Gsell und dessen dritter Ehefrau Maria Dorothea Gsell,[55] der Tochter von Maria Sibylla Merian. Diese Ehe währte bis zu seinem Tod. Im Jahr 1782 wurde er zum ausländischen Ehrenmitglied der Amerikanischen Akademie der Künste und Wissenschaften gewählt.[56]

Am 18. September 1783 (des gregorianischen Kalenders) diskutierte Euler in Sankt Petersburg nach einem Mittagessen mit seiner Familie und seinem Kollegen Anders Johan Lexell über den neu entdeckten Planeten Uranus und seine Umlaufbahn, als er in Folge einer Hirnblutung kollabierte. Einige Stunden später, gegen elf Uhr in der Nacht, starb er.[57] Jacob von Staehlin schrieb einen kurzen Nachruf für die Russische Akademie der Wissenschaften, und Nikolaus Fuss hielt bei einem Gedenktreffen eine ausführlichere Lobrede. Marquis de Condorcet schrieb angesichts Eulers Ableben:

Euler wurde neben seiner Frau auf dem lutherischen Smolensker Friedhof auf der Wassiljewski-Insel in Sankt Petersburg begraben. Die Russische Akademie der Wissenschaften setzte 1837 einen Stein auf das Grab.[59] Zum Gedenken an den 250. Jahrestag von Eulers Geburtstag wurde der Grabstein 1956 zusammen mit seinen sterblichen Überresten in die Nekropole auf den Lazarus-Friedhof des Alexander-Newski-Klosters umgebettet.

Titelblatt der «Lobrede auf Herrn Leonhard Euler» von 1783

Eulers bahnbrechende Leistungen auf vielen Gebieten waren bereits seinen Zeitgenossen bewusst. So wurde er als „fleischgewordene Analysis“ und „Sonne aller Mathematiker“ gefeiert.[60] In seiner ausführlichen Lobrede betonte Nikolas Fuss Eulers Einfluss auf die Wissenschaft:

Bei diesem Nachruf handelt es sich um einen der berühmtesten, die aus der Geschichte der Wissenschaften überliefert sind. Die ursprüngliche Fassung war auf Französisch geschrieben und wurde am 23. Oktober 1783 (gregorianisch: 3. November) in der Kayserlichen Akademie der Wissenschaften zu Sankt Petersburg vorgelesen.[62]

Nach der Oktoberrevolution von 1917 kehrte ein Teil seiner Nachkommen von Russland in die Schweiz zurück, darunter die Eltern des späteren Nationalrats Alexander Euler (1929–2012).[63]

Euler hat in seinen zahlreichen Lehrbüchern mehrere Notationskonventionen eingeführt. Durch die weite Verbreitung der Bücher setzten sich viele seiner Notationen nachhaltig durch. Er führte das Konzept der mathematischen Funktion ein[72] und schrieb als erster f(x), um die Funktion f zu bezeichnen, die auf das Argument x angewandt wird.

Allgemeine Definitionen einer Funktion stellt Euler erstmals in seinen Schriften über die Analysis des Unendlichen Introductio in Analysin infinitorum (1748, E101, 1745 verfasst[73]) und über die Differentialrechnung Institutiones calculi differentialis (1755, E212, verfasst 1748[74]) an den Anfang.[75] So wie für Euler die ganze Mathematik eine Lehre zur Analyse von Größen (als lateinische quantitas) darstellte, so bezeichnet er die Funktion als eine ‹Abhängigkeit einer Größe von einer anderen›.[76] Besonders in diesem Funktionsbegriff zeigt sich der ‚mechanisch‘ geprägte Hintergrund, den Euler von seinen Lehrern wie aus seinen Lektüren übernommen hatte.[77] Während er aber in der erstgenannten Schrift noch rechnerische Abhängigkeiten für die Variablen erklärt – und damit noch im Bereich des arithmetischen Funktionsbegriffs nach seinem Lehrer Joh. Bernoulli bleibt,[78] sind es in der zweiten Schrift schon beliebige Arten von bestimmenden Abhängigkeiten zwischen den Variablen. Damit eröffnete Euler bewusst den Weg zum Funktional und ermöglicht die Zuordnung zu infinitesimalen Größen.[79]

Von Euler stammen auch die bis heute gebräuchlichen Notationen für die trigonometrischen Funktionen, der Buchstabe e für die Basis des natürlichen Logarithmus, der griechische Buchstabe Σ (Sigma) für Summen und der Buchstabe i zur Bezeichnung der imaginären Einheit.[81] Die Verwendung des griechischen Buchstabens π zur Bezeichnung des Verhältnisses von Kreisumfang und -durchmesser (Kreiszahl) wurde ebenfalls von Euler popularisiert, obwohl sie ursprünglich auf den walisischen Mathematiker William Jones zurückgeht.[82]

Euler kann als einer der Begründer der Analysis angesehen werden. Wegen anhaltender Forschung war die Infinitesimalrechnung im 18. Jahrhundert auf dem Vormarsch. Insbesondere Eulers Freunde, die Bernoullis, waren für einen Großteil der frühen Fortschritte auf diesem Gebiet verantwortlich. Dank ihres Einflusses wurde das Studium der Infinitesimalrechnung zum Hauptschwerpunkt von Eulers Arbeit.

Wegweisend waren vor allen Dingen sein Beweis der Taylor-Reihe der Exponentialfunktion

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots ,}$

sowie seine Lösung des sog. Basler Problems:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Geometrische Interpretation der Eulerschen Formel anhand des Einheitskreises

Euler verwendete erstmals die Exponentialfunktion und Logarithmen in analytischen Beweisen und definierte sie erfolgreich für komplexe Zahlen. Dadurch wurde deren Anwendungsbereich stark erweitert.[81] Damit fand er die enge Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen. Für jede reelle Zahl ${\displaystyle \varphi }$ (im Bogenmaß) besagt die Eulersche Formel, dass die komplexe Exponentialfunktion diese Gleichung erfüllt:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )}$

Ein spezieller Fall der obigen Formel ist als die Eulersche Identität bekannt:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0}$

Der Pentagonalzahlensatz aus der Funktionentheorie und Kombinatorik ist eine weitere Entdeckung von Leonhard Euler. Er besagt, dass folgendes Eulersches Produkt als Maclaurinsche Summenreihe mit Hilfe der Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen als Exponenten dargestellt werden kann:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})=\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl [}q^{k(6k+1)}-q^{(2k+1)(3k+1)}-q^{(2k+1)(3k+2)}+q^{(k+1)(6k+5)}{\bigr ]}.}$

Für alle komplexen Zahlen ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |q|<1}$ ist diese Formel gültig. Später wurde der Pentagonalzahlensatz ebenso von Carl Gustav Jacobi und Srinivasa Ramanujan in ihren Werken behandelt.

Eulers Interesse an der Zahlentheorie lässt sich auf den Einfluss von Christian Goldbach, einem Freund in der Sankt Petersburger Akademie, zurückführen. Viele von Eulers frühen Arbeiten zur Zahlentheorie basieren auf den Werken von Pierre de Fermat. Euler entwickelte einige von Fermats Ideen und widerlegte manche seiner Vermutungen.

Euler verknüpfte die Natur der Primzahlverteilung mit Ideen aus der Analysis. Zum Beispiel bewies er, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen divergiert. Dabei fand er die Verbindung zwischen der Riemannschen Zeta-Funktion und den Primzahlen; seine Entdeckung ist heute als Euler-Produktformel für die Riemannsche Zeta-Funktion bekannt. Er verwendete analytische Methoden, um ein gewisses Verständnis für die Verteilung der Primzahlen zu gewinnen. Eulers Arbeiten auf diesem Gebiet führten zur Entwicklung des Primzahlsatzes.[83]

Euler bewies den kleinen fermatschen Satz, Fermats Satz über die Summe zweier Quadrate, und er leistete wichtige Beiträge zu Lagranges Vier-Quadrate-Satz. Er führte auch die Eulersche Phi-Funktion ein. Mit Hilfe der Eigenschaften dieser Funktion verallgemeinerte er Fermats kleinen Satz zu dem, was heute als Satz von Euler bekannt ist. Er trug wesentlich zur Theorie der vollkommenen Zahlen bei, die die Mathematiker seit Euklid fasziniert hatten. Euler bewies, dass die von Euklid gezeigte Beziehung zwischen (geraden) vollkommenen Zahlen und Mersenne-Primzahlen sogar eins zu eins ist, ein Ergebnis, das als Euklid-Euler-Satz bekannt ist. Euler vermutete auch das Gesetz der quadratischen Reziprozität, das später durch Carl Friedrich Gauß bewiesen wurde. Dabei handelt es sich um eines der grundlegendsten Konzepte der Zahlentheorie. 1772 hatte Euler bewiesen, dass ${\displaystyle 2^{31}-1=}$ 2.147.483.647 eine Mersenne-Primzahl ist. Sie galt bis 1867 als die größte gefundene Primzahl.[84]

Nach Euler sind verschiedene Zahlen und Zahlenfolgen benannt, siehe dazu Eulersche Zahlen (Begriffsklärung).

Leonhard Euler beschäftigte sich bereits seit seiner wissenschaftlichen Karriere, vor allem in den frühen 1730ern von J. Hermann ermuntert,[85] mit der mathematischen Beschreibung von einzelnen Kurven und ihren Variationen. Die analytische Problemstellung hatte häufig in der Mechanik ihren Ursprung: Spezielle Forschungsfragen und Ergebnisse zu Beschleunigungen und Kraftwirkungen, in der Art von Differentialausdrücken und ihnen korrespondierenden Kurven, untersuchte er in diesen Jahren intensiv, auch im Austausch mit seinem freundschaftlichen Kollegen Daniel Bernoulli.[86] Das Jahr 1744 schließlich datiert die Veröffentlichung des epochalen Werks Methodus inveniendi lineas curvas,[87] das Euler schon spätestens 1741 fertiggestellt haben muss.[88] Hierbei handelt es sich nicht nur um die gewünschte Zusammenführung und Vereinheitlichung der vielen Einzelergebnisse auf diesem Gebiet. Es wird vielmehr rückblickend als der ‹Durchbruch zu einer methodischen Variationsrechnung› gesehen.[89][90] Wissenschaftshistoriker sind sich (weitestgehend) einig, in Euler den ‹Schöpfer› dieses neuen Zweigs der Analysis zu sehen.[91][92][93][94][95]

Eulers Figur 3 aus den Methodus Inveniendi (E065)

Die Aufgabenstellung und Motivation zur Variationsrechnung ist ‹ein Stockwerk über der gewöhnlichen Minimum – Maximum – Rechnung›.[96] Es geht nunmehr darum, Kurven bzw. deren Funktionsgleichungen zu bestimmen, die hinsichtlich einer Kenngröße extremal sind. Der Ursprung zu dieser Fragestellung war in der sich entwickelnden Analysis von allgemeinem Forschungsinteresse und wurde intuitiv mit der abstrakteren ‹Lehre von den Kurven›, wie es zur Zeit Eulers noch hieß,[97] verbunden. Historisch nahm sie in dem von Eulers Lehrer Johann Bernoulli gestellten Problem der Brachistochrone ihren Anfang.[98][99] Daneben gab es viele weitere isoperimetrische Probleme, wie Euler sie nannte,[100] die einer allgemeinen methodischen Behandlung bedurften. Gesucht war ein zusammenfassendes, analytisches Verfahren, und Euler hat es in der Variationsrechnung gefunden.[101] Im Resultat findet sich in den Methodus inveniendi lineas curvas erstmals diesas Instrument der Euler-Lagrange-Gleichung.

Im Anschluss an die Deduktion dieser allgemeinen Variationsgleichung wendet Euler sie dann auf zahlreiche Kurvenintegrale an (Exempla), wobei er dabei zusätzliche Randbedingungen an die Art der fraglichen Kurven zu stellen weiss. Der Herausgeber der Variationsrechnung in den Euleri Opera Omnia Constantin Carathéodory bemerkt dazu: «Der größte Reiz des Lehrbuches von 1744 besteht in der Behandlung von etwa 66 Einzelproblemen, die fast jede Seite dieses Werkes beleben».[102] Hierunter findet sich, wie ein beiläufiges Lemma, die Lösung zur Aufgabe der Brachistochrone: Sie tritt als ein Spezialfall der Variation über eine ganze Kurvenschar von Potenzfunktionen auf.[103][104]

Das Beweisverfahren zur Euler-Lagrange-Gleichung bleibt in den Methodus inveniendi ‚geometrisch‘ (siehe etwa ‚Fig. 3‘ hier). Für Euler wie für Lagrange war es daher eine von ihm nicht abgeschlossene mathematische Methode, die erst vollständig in der Analysis aufzugehen habe.[105][106] Hingegen gibt Euler an einer Stelle der Schrift zu bedenken, dass nur die Verbindung von formalen Ausdrücken der Analysis mit geometrischen Figuren und Kurven «vortheilhaft» sei.

Damit erwies sich Euler als ein Befürworter einer synthetischen Herangehensweise an die angewandte Mathematik,[108] wohingegen Lagrange und später Jacobi die analytische Methode in der Mechanik auszubauen suchten. Nicht zuletzt darf in Eulers Variationsrechnung ein weiterer Beleg für sein beständiges Bemühen um Allgemeinverständlichkeit in allen Hypothesen, Theoremen und Deduktionen gesehen werden.

Umso mehr bewunderten Mathematiker seither die ‹klare und durchsichtige Einführung› in die Variationsrechnung, die dieses einzelne Werk auszeichnet.[111] Als Lehrbuch konzipiert, bestätigt die Schrift in besonderem Masse das grundlegend didaktische Denken und Vorgehen in Eulers Mathematik. Nach C. Carathéodory handelt es sich um «eines der schönsten mathematischen Werke, die je geschrieben worden sind. Wie sehr diese Lehrbuch späteren Generationen immer wieder als Muster gedient hat, […] kann nicht genügend betont werden».[112]

Von historisch einzigartiger Bedeutung ist auch der umfangreiche Anhang oder Ergänzungsteil (Additamenta) zur Schrift Methodus Inveniendi Lineas Curvas.[113]

Die Erste Ergänzung trägt den Titel Von den elastischen Kurven (lateinisch: Additamentum I: De Curvis Elasticis) und bildet die erste umfassende Behandlung der mathematischen Elastizitätstheorie. Sie errichtet die Dehnungsformen elastischer Körper aus dem Variationsproblem eines einzigen minimalen Potenzials der verzerrenden Kräfte.[114][115] Im Detail wird von Euler jede Kurve elastisch genannt, «welche die Gestalt einer an zwei Punkten aufgelegten Feder angiebt. Sie hat die Eigenschaft, den Ausdruck ${\displaystyle \int {\frac {dw}{\rho ^{2}}}}$ zu einem Minimum zu machen».[116] Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \rho }$ den Krümmungsradius und ${\displaystyle dw}$ ein infinitesimales Element der elastischen Biegelinie (Durchbiegung) ${\displaystyle w}$. Diese Variationsannahme, ursprünglich eine Hypothese von Daniel Bernoulli,[117] hat bis heute allgemeinen Bestand im Variationskalkül für Elastika.[118]

Der erste Ergänzungsteil war Anlass und Ausgangspunkt eines umfassenden Kommentarbandes der Eulerschen Opera Omnia durch den Mechanik- und Eulerexperten Clifford Truesdell. Der erste Anhang allein wird dort als ‹zeitloses Meisterwerk› bezeichnet.[119] Er wurde als eigener Klassiker in die Ostwald-Reihe der exakten Wissenschaften aufgenommen.[120]

Die Zweite Ergänzung der Methodus Inveniendi[121] enthält die «älteste Fassung des Prinzips der kleinsten Aktion»[122] und einiger mathematischer Anwendungen desselben. Viele Passagen des Anhangs belegen Eulers philosophische Überzeugung in die Gültigkeit eines minimalen Aktionsprinzips für die gesamte Natur.[123]

Die Verbindung des zweiten Anhangs zur Variationsrechnung besteht darin, dass Euler erstmals das Aktionsprinzip durch die mechanische Größe der Aktion – gelegentlich auch Wirkung genannt – bezeichnet. In heutige Notation[124] übersetzt besagt es, dass für einen Körper der Masse ${\displaystyle m}$, dessen Punkte alle die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ haben, das Wegintegral ${\displaystyle \int _{P_{1}}^{P_{2}}mv\,ds}$ zwischen zwei Punkten ${\displaystyle P_{1},\,P_{2}}$ minimal wird. Die Größe ${\displaystyle dA:=mv\,ds}$ wird hierbei Aktion bezeichnet. In Eulers Worten:

Euler gelingt es, verschiedene grundlegende Sätze der Mechanik aus diesem Prinzip der kleinsten Aktion zu deduzieren.

Zu Eulers größten Erfolgen gehören analytische Lösungen praktischer Probleme und die Beschreibung zahlreicher Anwendungen der Bernoulli-Zahlen, Fourier-Reihen, Euler-Zahlen, der Konstanten e und π, der Kettenbrüche und Integrale. Er integrierte die Differentialrechnung von Leibniz mit der Method of Fluxions (Newtons Beschreibung der Ableitung) und entwickelte Techniken, die die Anwendung der Mathematik auf physikalische Probleme erleichterten. Er machte große Fortschritte bei der Verbesserung der numerischen Approximation von Integralen. Die bemerkenswertesten dieser Annäherungen sind das explizite Euler-Verfahren und die Euler-Maclaurin-Formel. Er erkannte den Nutzen von Differentialgleichungen und führte die Euler-Mascheroni-Konstante ein:

${\displaystyle \gamma$ :=\lim _{n\to \infty }\left[\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log(n)\right]}

die u. a. beim Zipfschen Gesetz, aber auch in zahlreichen weiteren Feldern, eine Rolle spielt. In anderen Arbeiten setzte Euler sich mit der Anwendung mathematischer Methoden in den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften auseinander (zum Beispiel Bevölkerungswachstum,[126] Rentenrechnung, Lotterien,[127] Lebenserwartung und Lebensversicherung[128]). Wegen seiner Beiträge zur Populationsdynamik ist die Euler-Lotka-Gleichung zum Teil nach ihm benannt.

Karte von Königsberg zur Zeit Eulers: zu sehen sind die Grundrisse der Sieben Königsberger Brücken und der Fluss Pregel. Die Brücken sind mit Farbe hervorgehoben.

Im Jahr 1735[129] (1736 erschienen und 1741 veröffentlicht)[130] mit der Arbeit Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis[131] präsentierte Euler eine Lösung für das Königsberger Brückenproblem. Die Stadt Königsberg in Preußen lag am Fluss Pregel und umfasste zwei große Inseln, die durch sieben Brücken miteinander und mit dem Festland verbunden waren. Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob es möglich ist, einen Weg zu wählen, der jede Brücke genau einmal überquert und zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Das ist nicht möglich, da es keinen Eulerkreis für diesen Graphen gibt. Diese Lösung Eulers gilt als der erste Satz der Graphentheorie, insbesondere der planaren Graphentheorie.[132]

Euler entdeckte die Formel ${\displaystyle E-K+F=2}$ bezüglich Anzahl der Ecken (E), Kanten (K) und Flächen (F) eines konvexen Polyeders,[133] eines planaren Graphen. Die Konstante in dieser Formel wird heute als Euler-Charakteristik des Graphen (oder eines anderen mathematischen Objekts) bezeichnet und steht mit dem mathematischen Geschlecht des Objekts direkt in Zusammenhang.[134] Die Untersuchung und Verallgemeinerung dieser Formel, insbesondere durch Cauchy[135] und L’Huilier,[136] markierte den Beginn der Topologie.[137]

Euler wird die Verwendung geschlossener Kurven zur Veranschaulichung der syllogistischen Argumentation zugeschrieben. Diese Diagramme sind als Euler-Diagramme bekannt geworden.[138] Euler verwandte sie in den Briefen an eine deutsche Prinzessin 101 bis 108, die im Februar und März 1761 verfasst wurden. Diagramme für mathematische Darstellungen in der Logik tauchten in einigen Abhandlungen des achtzehnten Jahrhunderts zu diesem Thema auf, und es ist möglich, dass Johann Heinrich Lambert sie kurz vor Eulers Briefen verwendete. In den Briefen 101 und 102 betonte Euler die Notwendigkeit einer disziplinierten Sprache bei der Darstellung allgemeiner Ideen und ihrer Erweiterung; er verwendete Kreise in Diagrammen, um verschiedene Formen von Syllogismen und hypothetischen Propositionen zu erklären.[139]

Euler hat sich in sehr vielen klassischen Gebieten der Physik verdient gemacht, allem voran in den Hauptzweigen der Klassischen Mechanik.

In der frühen Schrift Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736) und in seine späteren Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765) wandte Euler die Mathematik auf Fragen der Physik an. Die neue Ausrichtung, die Mechanik zu mathematisieren, wird von Euler selbst in seiner ersten Mechanik programmatisch erklärt und dann in der gesamten Folge seiner mechanischen Schriften konsequent fortgesetzt.[140] Euler ging es vorrangig darum, die Mechanik auf die Mittel der Analysis (im heutigen Verständnis) anzuwenden und sie so nach, wie er sagt, analytischer Methode umzugestalten und zu ergänzen.[141][142] Insbesondere finden sich bei Euler erstmals Differentialgleichungen zu einzelnen Grundgesetzen der Mechanik starrer und elastischer Körper sowie zur Fluidmechanik.[143]

Diese analytische Umgestaltung in Eulers Werk wurde schon frühzeitig von Condorcet als eine ‹Revolution› in der Mechanik gesehen.[145] Sie gehört zu dem allgemeinen und vorrangigen Beitrag Eulers in der Mechanik, der ihm seither historisch zugeeignet wird.[146] Die methodischen Erneuerung ebnete den Weg zur Analytischen Mechanik, indem sie den damals schon als ‹steif› und ‹schwerfällig› wahrgenommenen, geometrischen Beweiskonstruktionen ein schnelleres und allgemeineres Verfahren an die Hand gab. Euler hat seit seinem ersten Buch und Meisterwerk, die Mechanica von 1736, uneingeschränkten Gebrauch von der Analysis gemacht und sie im Gebrauch erweitert.[147]

In Eulers Mechanica (E15[148] und E16[149]) sind die allgemeinen Grundgrößen der Punktmechanik in der Fassung Newtons wiederzufinden und als quantitative Bewegungsmasse (das ist die traditionelle Quantitas Motus) bereits vollständig anerkannt.[150] Euler formuliert von Beginn an den Kraftbetrag auf eine Punktmasse ${\displaystyle dm}$ als infinitesimale Grösse der Bewegungsänderung ${\displaystyle dv}$, um sie der Analysis zugänglich zu machen:

${\displaystyle dF=dm\cdot {\frac {dv}{dt}}}$

und leitet damit die mechanische Energieerhaltung als Folgerung her:

${\displaystyle m\cdot v\cdot dv=F\cdot ds}$.[151]

Zusammen mit der analytischen Methode für die Mechanik formuliert Euler dort auch eine Art Programm, demgemäss die Mechanik nach der „Beschaffenheit der Körper“ zu gestalten wäre. Es ist eine Einteilung nach Materietyp, die seitdem in der Technischen Mechanik beibehalten wurde.

Euler mechanische Schriften zeigen neue Resultate in allen sechs Bereichen der Mechanik.

Am 3. September 1750 las Euler vor der Berliner Akademie der Wissenschaften ein Mémoire,[153] in dem er das Prinzip „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ im Kontext der „Eulerschen Gleichung der Starrkörper-Rotation“ als eigene und neue Entdeckung vorstellte.[154] Im Keim werden hier die heute sog. Eulerschen Gleichungen formuliert.

Im Jahr 1757 veröffentlichte er wichtige Gleichungen, die den Fluss reibungsfreier elastischer Fluide beschreiben. Diese sind heute als Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik bekannt. Außerdem arbeitete Leonhard Euler in der Mechanik auf den Gebieten der Turbinengleichung und der Kreiseltheorie (Eulersche Kreiselgleichungen).

Die erste analytische Beschreibung der Knickung eines mit einer Druckkraft belasteten Stabes geht auf Euler zurück; er begründete damit die Stabilitätstheorie. Er half bei der Entwicklung der Euler-Bernoulli-Balkengleichung, die zu einem Eckpfeiler des Ingenieurwesens wurde.

Euler versteht die analytische Behandlung der Mechanik nach dem Prinzip der kleinsten Aktion als eine Umwandlung der Mechanik in ein theoretisches Wissen a priori.[155] Es könne hingegen die synthetische Mechanik, die mit geometrischen Veranschaulichungen a posteriori operiert, nicht ersetzen. Das formuliert Euler folgendermaßen:

Die analytische Herangehensweise an die Mechanik und Physik ist damit eine rückwärts gerichtete Absicherung, um das Erforschen der kausalen mechanische Ursachen in der Natur mit ihren Zweckursachen, die für Euler (wie schon für Leibniz und Maupertuis) a priori gültig und evident sind, zu vereinbaren.

Formal handelt es sich nach Euler und allen Mathematikern nach ihm um eine mathematische Variationsaufgabe: Es ist diejenige Bahnkurve zu finden, bei der immer die Aktionsgröße ein Minimum bildet. Das ist das Minimalprinzip der kleinsten Aktion, formal

${\displaystyle \delta \int _{P_{1}}^{P_{2}}mv\,ds=0}$.

Euler gelingt es, verschiedene grundlegende Sätze der Mechanik aus diesem Prinzip der kleinsten Aktion zu deduzieren. Unter anderem die Bahnkurven von Wurfprojektilen und das Zentralkraftproblem werden behandelt.[157] Euler zeigt, wie dort auf einfache Weise auf die Newtonschen Kraftkomponenten geschlossen werden kann.

Einige Wissenschaftshistoriker sehen in Eulers eigenem, nachträglichen Behandeln[158] von Kurven den Grund, weshalb er sein Minimalprinzip der kleinsten Aktion nicht an den Anfang der gesamten Mechanik stellt, auch später nicht, als er bereits die analytischen Gesetze hierfür gefunden hat. Es schien für einen Mathematiker wie Euler als zu vage und unverständlich, wie das mathematische Instrument auf einem metaphysischen Prinzip a priori beruhen könne.[159] Im analytischen Aufbau ist hingegen das Prinzip der kleinsten Aktion, zum Anfang der Mechanik zu zählen.[160]

Euler selbst beanspruchte keine Priorität in der Aufstellung des metaphysischen Aktionsprinzips, dessen Begriff und allgemeine Formulierung er seinem Amtskollegen in Berlin P. L. M. de Maupertuis vollständig zuerkannte.[161] In ihrer mathematischen Umsetzung auf die Theorie der Kurven behauptet Euler hingegen für sich eine Originalität.[162][163][164]

Dieser analytische Teil, die Beschränkung des Prinzips auf mathematische Fragen, ist auch derjenige, der von kommenden Mathematikern zugebilligt und weiter verfolgt wurde. Allen voran sind dabei J.-L. Lagrange und C. G. Jacobi zu nennen. Jacobi selbst hat Eulers Prinzip der kleinsten Aktion (oder Wirkung) später zeitunabhängig formuliert.[165]

Abgesehen von der erfolgreichen Anwendung seiner analytischen Werkzeuge auf Probleme der klassischen Mechanik wandte Euler diese auch in der Astronomie an – diese Arbeiten wurden im Laufe seiner Karriere durch eine Reihe von Preisen der Pariser Akademie anerkannt. Zu seinen Errungenschaften gehören die genaue Bestimmung der Bahnen von Kometen und anderen Himmelskörpern, das Verständnis der Natur von Kometen und die Berechnung der Sonnenparallaxe.[166] Seine Berechnungen trugen zur Entwicklung präziser Längengradtabellen bei.[167]

In der Optik veröffentlichte er Werke zur Wellentheorie des Lichts und zur Berechnung von optischen Linsen zur Vermeidung von Farbfehlern. Er widersprach Newtons Korpuskeltheorie des Lichts, die damals vorherrschend war, in den Opticks.[168] Seine Arbeiten zur Optik aus den 1740er-Jahren trugen dazu bei, dass die von Christiaan Huygens vorgeschlagene Wellentheorie des Lichts zur vorherrschenden Denkweise wurde,[169] zumindest bis zur Entwicklung der Quantentheorie des Lichts.[170]

1745 übersetzte Euler das Werk New principles of gunnery des Engländers Benjamin Robins ins Deutsche, wobei er dessen Umfang stark erweiterte. Somit wurde dank Robins und mit Eulers Hilfe „das erste Lehrbuch der Ballistik“ geschaffen. Es wurde zum Beispiel in Frankreich (in französischer Übersetzung) als offizielles Lehrbuch in den Militärschulen eingeführt. Napoleon Bonaparte musste es als Leutnant studieren.[171]

Weniger bekannt sind seine Arbeiten zum Stabilitätskriterium von Schiffen, in denen er das bereits erworbene, aber wieder verlorengegangene Wissen von Archimedes erneuerte.[172]

Beachtlich ist, dass Euler auf dem Gebiet der technischen Mechanik und Schiffswissenschaft nicht nur der analytische Geist gewesen war, der sich in seinen Konstruktionen auf die Richtigkeit des mathematischen Beweises verlassen hätte. Eulers Nachlass in Petersburg konnte G. Michailow vor einigen Jahrzehnten entnehmen, dass er bis ins hohe Alter gezielt Experimente zu seinen Theorien entworfen und selbst durchgeführt hat, so etwa zur Brückentheorie oder zu den Grundlagen des Schiffbaus.[173]

Auch im Bereich der Musik beruhten Eulers Gedanken hauptsächlich auf der Mathematik. Obwohl seine Schriften über Musiktheorie nur einen kleinen Teil seiner Arbeit ausmachen (einige hundert Seiten, bei einer Gesamtproduktion von etwa 30.000 Seiten), spiegeln sie dennoch ein bereits früh gewecktes Interesse wider, das ihn sein ganzes Leben lang nicht mehr verlassen hat.[174] Einer seiner Schwerpunkte war die Zuordnung eines „Grades der Lieblichkeit“ zu Mehrklängen wie musikalischen Intervallen oder auch Akkorden wie Dreiklängen. Dieser kann abstrakt als zahlentheoretische Funktion aufgefasst werden und impliziert mit steigenden Werten eine erhöhte Komplexität (also fallende Annehmlichkeit) des Klangs.[175]

Besondere Bedeutung in der breiten Öffentlichkeit erlangte seine populärwissenschaftliche Schrift Lettres à une princesse d’Allemagne von 1768, in der er in Form von Briefen an die Prinzessin Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt, eine Nichte Friedrichs II., die Grundzüge der Physik, der Astronomie, der Mathematik, der Philosophie und der Theologie vermittelt.

Darüber hinaus widmete er sich Aufgaben der Schachmathematik, zum Beispiel dem Springerproblem.[176] Er ist der Erfinder des lateinischen Quadrats, einer Vorform des Sudoku.[177]

Und hierbei gelangen ihm originelle wie neuartige Sichtweisen.[183] Sie lassen sich allesamt mit Eulers Überzeugung kennzeichnen, dass die mathematische Analyse unmittelbaren Realitätsbezug haben muss. Mathematik ist für ihn das vorrangige Instrument, um über naturphilosophische Fragen zu Raum, Zeit und Materie sicher entscheiden und metaphysischen Spekulationen, denen er selbst nur wenig abgewinnen konnte,[184] ein Ende bereiten zu können. Die Mathematisierung der Grundbegriffe und -gesetze, mit denen die Natur beschrieben wird, ist für Euler ein wesentlicher Schritt dahin.

Mit den folgenden Beiträgen, die Kontinuumsanschauung, die Undurchdringlichkeit der Materie und das raumzeitliche Anschauungsvermögen betreffend, konnte Euler vor allem die metaphysikkritische Haltung in der Transzendentalphilosophie Immanuel Kants wesentlich beeinflussen.[187][188] Auch für Euler galten diese Elemente als ‚metaphysische Anfangsgründe‘, die eine Gültigkeit vor jeder Erfahrung haben.

Viele grundlegende Vorstellungen Eulers zum Aufbau der Materie haben ihren Ursprung in der Naturphilosophie Descartes’ und Leibniz’, wenn vielleicht nicht durch eigene Lektüre, so doch über die Unterrichtung des Cartesianers Johann Bernoulli.[189] So ist auch Euler von der uneingeschränkten Gültigkeit des Kontinuitätsprinzips (nach Leibniz und Bernoulli) in allen Bewegungsabläufen überzeugt und stellt sie in seinen Aufbauten zur Mechanik der Fluida und der Elastika an den Anfang.

Die Natur macht keine Sprünge – Natura non facit saltus – so der Leitgedanke der Kontinuumsauffassung.[190] Materie besitzt demnach eine allumspannende Dichte und Ausdehnung, aus der alle mechanischen Vorgänge durch Stöße und Kontaktkräfte in der Natur entstehen.

Ein Vakuum, ein leerer Raum ist (wie schon für Descartes und Leibniz) nicht denkbar. Die inneren Wechselwirkungen dieses materiellen Kontinuums treten zwischen „subtilen“[192] und dicht gedrängten Partikeln auf, wie eine Art ideale Flüssigkeit, welche fluide und elastische Zustandsänderungen hervorbringen. Damit schließt Euler allerdings nicht aus, dass es auch auf größerer Ebene „grobe“ atomare Elemente geben muss, welche die Grundlage einer Molekularphysik bilden und die Vielfalt der Stoffe erklären würden.[193]

Materie ist nach der Kontinuitätsauffassung bis ins Unendliche teilbar.[195] Es ist eine wesentliche Eigenschaft aller Körper, insofern diese im Raum ausgedehnt sind.[196][197] Hierbei findet Euler in den Infinitesimalen wie etwa ${\displaystyle dx,\,dt,\,dm}$ und ihren Zahlwerten die mathematischen Repräsentanten für unendlich kleine, materielle Partikel. Jedes Integral${\displaystyle \int f(x)\,dm}$ bringt entsprechend die endliche Größe über dem materiellen Feld zum Ausdruck.[198] Hieraus erwachsen auch Eulers ablehnende Bedenken gegen kraftbegabte Letztelemente der Materie, wie sie in der Monadenlehre vorkommen. Man findet diese Kritik vor allem in seiner Schrift Gedancken von den Elementen der Cörper von 1746.[199]

Nach Euler ist die mathematische Kontinuität Abbild der materiellen Kontinuumshypothese. Damit gilt Euler als Begründer der formalen Konfiguration in der Kontinuumsmechanik. Jedes Partikel mit Anfangskoordinaten ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ im Raum ist nun durch stetige und differenzierbare Ortsfunktionen ${\displaystyle f_{i}(x_{0},y_{0},z_{0},t),\,i\in (1,2,3)}$ beschreibbar.[200][201] In demselben Zusammenhang der Mathematisierung des Feldes gelingt Euler zugleich die Formulierung der allgemeinen Kontinuitätsgleichung in der Form[202][203][204]

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\right)=0~}$ und ${\displaystyle ~{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}{\vec {p}}={\vec {F}}}$.

Mit dem mathematischen Kunstgriff der Kontinuumshypothese hat Euler wohl „nicht zur Fluidmechanik beigetragen, sondern sie erfunden“, wie J. L. Lagrange gesagt haben soll.[205]

Euler betont an vielen Stellen, dass die Eindeutigkeit der Partikelkonfiguration in einem fluiden Medium gewährleistet werden muss. Andernfalls wäre die Undurchdringlichkeit der Materie verletzt, was nach Eulers bzw. nach Cartesischer Auffassung unvorstellbar ist.

Neben Trägheit und Ausdehnung gehört Undurchdringlichkeit in Eulers Naturphilosophie zu den wesentlichen metaphysischen Eigenschaften der Materie. Sie ist nicht messbar oder quantifizierbar, da auch überabzählbare Infinitesimalen ${\displaystyle dm}$ von Körpern darunter fallen. Sie bildet den Letztgrund aller physischen Kräfte.[207][208][209][210]

Die logische Notwendigkeit der Undurchdringlichkeit aus dem Kontinuitätsprinzip ist zwar von Euler an vielen Stellen formuliert worden. Der logische bzw. analytische Beweis wurde allerdings weit später erbracht.[211]

In der kleinen Schrift Réflexions sur l’espace et le temps von 1750[212] und später in seiner Theoria Motus von 1765 stellt Euler die damaligen Argumente für und gegen die Realität einer absoluten Raumzeit (u. a. nach Newton und entgegen Leibniz) in Frage. Jede raumzeitliche Konzeption der sichtbaren Gegenstände müsse deren Realität erkenntnistheoretisch vorausgehen. Der ‚Ort‘ eines einzeln betrachteten Körpers habe eine von dem Körper selbst eigenständige und mehrdeutige Realität:

Hinsichtlich dieser Frage greift Euler der transzendentalen Ästhetik I. Kants voraus.[214]

Euler teilte eine, wie man mit Kant sagt, physiko-teleologische Sichtweise:[215][216] dass jede Wirkung der Natur nach einer zweckdienlichen Ordnung, einer höheren Vernunft gemäß, eingerichtet sein, Alles in der Natur einem höheren Zweck dienen müsse. Dieser teleologische Hintergrund hat seine prominenteste und damals viel beachtete Fassung in der Naturphilosophie G. W. Leibniz’.[217]

Hierzu gehört im Besonderen, dass Alles in der Natur nach einem rational zugänglichen «Sparsamkeitsprinzip» eingerichtet sein müsse.[218][219]

«Immer nämlich gibt es in den Dingen ein Prinzip der Bestimmung, welches vom Maximum oder Minimum hergenommen ist, daß nämlich die größte Wirkung hervorgebracht werde mit dem kleinsten Aufwande so zu sagen» (Leibniz).[220]

«Tritt in der Natur irgendeine Änderung ein, so ist die für diese Änderung notwendige Aktionsmenge die kleinstmögliche» (Maupertuis).[221]

Weder für diese naturphilosophische Position noch für ihre mathematisch-analytische Konzeption[222] erhob Euler irgendeine Priorität. So hat er mehrere philosophische Verteidigungsschriften verfasst, in denen er seinen Kollegen P. de Maupertuis zum Urheber des Prinzips der kleinsten Aktion erklärt.[223][224] Hingegen lassen sich historische Belege finden, die Euler als gleichberechtigten Entdecker neben Maupertuis auszeichnen.[225][226]

Ein frühes und häufig wiedergegebenes Bekenntnis Eulers zu einem zielgerichteten Wirken und deren Erkennbarkeit in der Natur findet man im ersten Additamentum (De Curvis Elasticis) seiner epochalen Schrift Methodus inveniendi lineas curvas (1744, E065), woraus die folgende philosophische Exposition stammt. Sie enthält zugleich die verallgemeinerte Vorstellung (und die auch auf Leibniz zurückgeht),[227] dass jeder geometrischen Aufgabe eine eigene Erhaltungs-Größe (‹Quantitas›) korrespondieren müsse, die auf ein Extremum hin zu betrachten ist.

Euler nahm für sich in Anspruch, nachträglich oder empirisch dieses universell angenommene Prinzip der kleinsten Aktion vielfältig und ohne Ausnahmen bestätigt zu haben, indem er nach dieser analytischen Methode viele materielle Kurven der Mechanik und Statik hatte finden bzw. wieder auffinden können. In einem formalen Sinn, zu einer allgemeinen Mechanik und Naturbetrachtung reichend, bildet es neben dem Prinzip der Undurchdringlichkeit[229] einen Grundpfeiler seines naturphilosophischen Denkens.[230]

Euler und sein Freund Daniel Bernoulli lehnten beide die Monadologie von Leibniz und die Philosophie von Christian Wolff ab.[231] Euler war davon überzeugt, dass Wissen (zumindest in Teilen) auf präzisen quantitativen Gesetzen beruht, etwas, was die Monadologie und die Wolffsche Wissenschaft nicht zu leisten vermochten. Eulers religiöse Neigungen könnten einen Einfluss auf seine Abneigung gegen diese Lehre gehabt haben; er ging sogar so weit, Wolffs Ideen als „heidnisch und atheistisch“ zu bezeichnen.[232] Eine religiöse Überzeugung im Sinne des reformierten Glaubens wurde auch in seiner Grabrede betont.[233] Dies macht verständlich, dass er und der Aufklärer Voltaire, zeitgleich am preußischen Hof, keinen Konsens bezüglich Weltanschauung fanden.

In einem Brief vom August 1736 an den Danziger Mathematiker Karl Leonhard Gottlieb Ehler begann Euler, der wissenschaftliche Streitigkeiten meist vermied, vorsichtig mit der Kritik an Christian Wolffs Philosophia prima sive ontologia (1729), Cosmologia generalis (1731) und der «Theorie der positiven und negativen Unendlichkeit», die in der letzten Ausgabe von Elementa matheseos universae (1710) gegeben wurde.[234] Er akzeptierte nicht die Art und Weise, wie Wolff bei Verwendung der Regel von de L’Hospital den Ausdruck ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ interpretierte. Er stimmte zwar mit Leibniz und Wolff darin überein, dass infinitesimale Größen „absolute Nullen“ sind (diese Anschauung Eulers war ein Resultat von dessen „Nullenrechnung“[235]), aber er war formal der Auffassung, dass das Verhältnis ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ nur in besonderen Situationen eine feste „endliche Zahl“ darstellt. Michael Segre zeigt, dass Euler dieses Problem später in seiner Institutiones calculi differentialis (1755) über die Schlussfolgerung ${\displaystyle n\cdot 0=0}$ und damit ${\displaystyle n\cdot 1={\tfrac {0}{0}}}$ aufgriff.[236]

Vieles von dem, was über Eulers religiöse Überzeugungen bekannt ist, lässt sich aus seinen Briefen an eine deutsche Prinzessin und einem früheren Werk, der Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister, ableiten. Diese Werke zeigen, dass Euler ein gläubiger Christ war, der die Bibel als wegweisend empfand; die Rettung war in erster Linie ein Argument für die göttliche Verbalinspiration.[237] Euler war in aktiven Funktionen in der reformierten Gemeinde tätig.[238] Jegliche Kritiken der Offenbarungslehre (zur Zeit der Aufklärung von P. Bayle und M. Montaigne erwogen) waren für Euler abwegig und fehlerhaft. Euler hatte seine theologischen Auffassungen wohl vom Vater und Pfarrer Paul Euler übernommen und war (nach dem Biografen O. Spieß) darin überzeugt und ernst.[239]

Es gibt eine berühmte Anekdote,[240] die von Eulers Auseinandersetzungen mit säkularen Philosophen über Religion inspiriert wurde und die während Eulers zweiter Amtszeit an der Sankt Petersburger Akademie spielt. In dieser soll Euler gegenüber Denis Diderot als Gottesbeweis das non sequitur: «Mein Herr! ${\displaystyle {\tfrac {a+b^{n}}{n}}=x}$, also existiert Gott. Antworten Sie mir!» vorgebracht haben, woraufhin dieser nichts erwidern konnte und Russland gedemütigt verließ. Die Anekdote ist apokryph, da Diderot selbst in der Mathematik forschte.[241] Die Legende wurde offenbar zuerst von Dieudonné Thiébault erzählt (in seinem Buch Mes souvenirs de vingt ans de séjour à Berlin im Jahr 1801[240]), mit weiteren starken Verzierungen durch Augustus De Morgan.[242][243] Dies geschah möglicherweise, um die religiösen Überzeugungen Eulers hervorzuheben.[240] Für den angeblichen Vorfall liegen jedoch keine zeitgenössischen Quellen vor.[244]

Eulers Ansehen und Einfluss galten schon zu seinen Lebzeiten als äußerst groß. Etwa zwei Jahrzehnte lang war er der „geistige Führer der gebildeten Kreise“ im protestantischen Teil Deutschlands. Wichtige Dienste leistete er als „goldene Brücke zwischen zwei Akademien“, wovon seine Korrespondenzen ein ebenso eindrückliches Zeugnis ablegen wie die Tatsache, dass während seiner Berliner Zeit 1741–1766 in den Petersburger Akten (den Zeitschriftenbünden der Akademie) 109 Publikationen aus seiner Feder stammten, gegenüber 119 in den Memoires der Preussischen Akademie. Insgesamt gewann Euler zwölf internationale Akademiepreise, die acht Preise seiner Söhne Johann Albrecht (7) und Karl (1), zu denen er entscheidende Beiträge leistete, nicht mitgerechnet. Ludwig XVI. schenkte ihm für seine zweite Schiffstheorie 1000 Rubel, und Katharina II. bescherte ihn mit dem doppelten Betrag.[248]

Eulers erste Mondtheorie hatte eine nicht zu unterschätzende praktische Konsequenz: Der Göttinger Astronom Tobias Mayer stellte 1755 nach Eulers Formeln Mondtafeln zusammen, die gestatteten, die Position des Erdtrabanten und damit die geographische Länge eines Schiffes auf hoher See mit einer damals in der Navigationslehre noch nie erreichten Exaktheit zu bestimmen. Das britische Parlament hatte 1714 einen beachtlichen Geldpreis für die Längenbestimmung auf hoher See unterhalb einer Fehlergrenze von einem halben Grad ausgesetzt. Dieser Preis wurde erstmals 1765 vergeben: Die Witwe Mayers erhielt 3000 Pfund, und Euler für die den Mayerschen Tafeln zugrunde gelegte Theorie 300 Pfund. Diese Mondtafeln wurden in alle Navigationsalmanache aufgenommen und die Methode mehr als ein Jahrhundert lang in der Seefahrt genutzt.[249]

Pierre-Simon Laplace soll zu seinen Schülern gesagt haben:

Eulers wissenschaftlicher Kollege Nicolas Marquis de Condorcet pflegte über viele Jahre einen privaten Briefwechsel mit Euler und hatte die Entwicklung seiner mathematischen Ergebnisse genau mitverfolgt.[251] Er schrieb eine vielbeachtete Lobrede für Euler, stellvertretend für die Pariser Akademie der Wissenschaften,[252] die in mehreren kommenden Auflagen und Übersetzungen der von ihm neu herausgegebenen Lettres à une princesse d’Allemagne wiederzufinden ist.[253] Darin bemerkt Condorcet, dass durch Eulers mathematisches Werk eine ‚Revolution‘, ein Umsturz in der Bedeutung der Algebra und Analysis für die Mathematik einsetzte. Galten zuvor noch anschaulich-geometrische Methoden als die einzig überzeugenden, so erhielten die Algebra und Infinitesimalrechnung (Analysis) durch Eulers Werk erst diejenige Verständlichkeit und Relevanz, die seit dem 19. Jahrhundert in der Mathematik und Physik weit verbreitet ist.

Ebenso einzigartig sei Eulers Bemühen um vielseitige Beweiskonstruktionen. Für Euler galt es als Festigung und Vergewisserung einer Erkenntnis, wenn weitere Beweise dasselbe mathematische Ergebnis bestätigen. So blieb er niemals bei nur einem Beweisverfahren stehen, sondern suchte weitere Deduktionen, die zu tiefer liegendem Verständnis der zugrundeliegenden Theorie führen.[255]

Fehlkonstruktionen und unvollständige Beweise verstand Euler oft als eine Herausforderung zum Neuansatz unter anderen Voraussetzungen. In dieselbe Richtung zielt auch die Einschätzung Goethes, der die Farbenlehre dieses „außerordentlichen Menschen“, wie er ihn nennt, mindestens über die Lettres (E343/344) gut kannte und eingehend studiert haben muss:[257][258]

Eulers Bücher, die sich nach Emil Fellmann „durchweg durch höchstes Streben nach Klarheit und Einfachheit auszeichnen“ und die „ersten eigentlichen Lehrbücher im modernen Sinne darstellen“, etablierten Euler nicht nur „zum Lehrer Europas seiner Zeit“, sondern bis tief ins 19. Jahrhundert hinein: Die Werke Bernhard Riemanns trügen so beispielsweise „unverkennbare Eulersche Züge“. Henri Poincaré berichtet, dass nach Theodore Strong „Euler der Gott der Mathematik sei, dessen Tod den Niedergang der mathematischen Wissenschaften markiere“.[248]

Im Gegensatz dazu fand Eulers Spekulation über „subtile“ und „grobe“ Materie[260] im 19. Jahrhundert kaum Resonanz. Die metaphysische Begründung einer plenistischen Materieauffassung blieb, vor allem in der Nachfolge der zweiten Antinomie Kants, als wissenschaftliche Hypothese unbeantwortet und ungelöst.[261] Sie wurde im Allgemeinen nicht weiter verfolgt.[262] Stattdessen suchte man nach empirischen Modellen und experimentellen Ergebnissen auf den Gebieten der Elektrodynamik und der Elastizitätstheorie, um ein umfassendes Ätherkonzept befürworten zu können.[263]

Eulers metaphysische Überlegungen zu einer materiellen Dualität, die sich im systematischen Zusammenhang in der Schrift Anleitung zur Naturlehre finden, wurden posthum erst 1862 veröffentlicht.[264] Demnach ist die „grobe Materie“ für „diverse Stoffe“ (deren genaue Untersuchung Euler der Chemie überließ) und die «subtile Materie» (ein Äther) für Schwerkraft, Elektrizität, Magnetismus und Optik verantwortlich. Es gilt jedoch als möglich, dass Bernhard Riemann die Anleitung studierte und von ihr beeinflusst war.[265]

Die Schriften Eulers sollen einen ganz besonderen Einfluss auf Carl Gustav Jacobi gehabt haben, einen der bedeutendsten Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Er sammelte Bücher Eulers, studierte diese voller Eifer, und bemerkte 1849 in einem Brief an seinen Bruder:

Vergeblich versuchte er, die 1783 und 1785 in Petersburg erschienenen beiden Bände Opuscula analytica Eulers zu erhalten. Als Eulers Urenkel Paul Heinrich von Fuss ihm die Bände aus Petersburg sandte, antwortete Jacobi ihm am 3. Mai 1841 in einem Brief:

Die Eulerschen Schriften wurden für Jacobi eine „Fundgrube der Anregung“ und seine Resultate und Methoden führten Jacobi zu neuen „scharfsinnigen Entdeckungen“.[267] Dies bezieht sich vor allen Dingen auf das von Jacobi gefundene Tripelprodukt, welches er als das „wohl das wichtigste und fruchtbarste, was [er] in reiner Mathematik erfunden habe“ bezeichnete.[268] Dieses ist eine direkte Verallgemeinerung des Eulerschen Pentagonalsatzes und zieht wichtige Konsequenzen für die Theorie der Thetafunktionen nach sich.

Carl Friedrich Gauß lobte Eulers Arbeit und betonte ihren Wert für kommende Generationen von Mathematikern:

Aus Sicht der heutigen Wissenschaftshistorie wird Leonhard Euler einschlägig eine sehr bedeutende Rolle bezüglich Fortschritt von Mathematik und Technik eingeräumt. Bezüglich seiner nicht mitunter strengen Ausführung analytischer Techniken werden jedoch vereinzelt „logische Lücken“ moniert. Insbesondere sein Umgang mit dem unendlich Großen stieß auf Kritik, obgleich ihm wegen der trotz allem vielen korrekten Endergebnisse öfters eine große „analytische Kraft“ zugesprochen wird.

Ronald Calinger ordnet das Phänomen Euler und seine Leistungen wie folgt in die Geschichte der Wissenschaft ein: In der Mathematik wurden mit Beginn der Aufklärung nur wenige große neue Errungenschaften oder grundlegende Innovationen erwartet. Das 17. Jahrhundert – als die meisten Fachleute auf diesem Gebiet aus der Aristokratie kamen oder Positionen in Medizin, Recht oder Religion innehatten – galt als ein „goldenes Zeitalter“ der Mathematik. Mitte des Jahrhunderts hatten René Descartes und Pierre de Fermat unabhängig das geschaffen, was heute als analytische Geometrie bezeichnet wird. Diese Periode gipfelte in den Anfängen der Differentialrechnung in der Method of fluxions von Newton und dem Werk von Gottfried Wilhelm Leibniz. Viele gingen nun davon aus, dass es nur noch wenig von allgemeiner Bedeutung zu verfolgen gäbe. Doch andere Gelehrte erwarteten stattdessen eine «fruchtbare Ära» nicht nur in der Analysis, einschließlich der Schaffung ihrer Kernzweige, sondern auch in der gesamten Mathematik – sowohl in Theorie als auch in Anwendung. Vor allem die umfangreichen Forschungen und Schriften Leonhard Eulers sollten sicherstellen, dass all dies geschehen würde.

Angetrieben von „enormer Energie“, einer „Leidenschaft für die Mathematik“ und die exakten Wissenschaften, einem „Engagement“ für den Aufbau einer „starken institutionellen Basis“ für diese Felder und einer „beharrlichen Verteidigung“ des reformierten Christentums, verfolgte Euler seit seiner Zeit in Basel mit Ausnahme einiger schwerer Fieberschübe „fleißig“ ein „immenses Forschungs-, Rechen- und Schreibprogramm“ in reiner und angewandter Mathematik und verwandten Feldern. Allein im Kalkül der Differentialrechnung lieferte er Hunderte von Entdeckungen und Beweisen, zusammen mit vielen „furchtlosen“ Berechnungen zur Vereinfachung und Verdeutlichung von Techniken für Differentialrechnung, unendlichen Reihen und Integralrechnung. Er war der Haupterfinder der Kernzweige von Differentialgleichungen in einer semi-geometrischen analytischen Form und (zusammen mit Lagrange) später der analytischen Variationsrechnung. In Hunderten von Artikeln und einer Analysis-Trilogie, beginnend mit der zweibändigen Introductio in analysin infinitorum (Einführung in die Analyse des Unendlichen, E101 und E102, 1748), legte Euler Grundlagen: diese wurden von ihm „methodisch arrangiert“, „ausgearbeitet“ und „als Kalkül vermittelt“. Er legte damit den Grundstein für das anfängliche Programm für die Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Als ein primäres Ergebnis seiner Studien verdrängte die Analysis die euklidische Geometrie von ihrer zwei Jahrtausende währenden Vorherrschaft in der Mathematik und war das Vorbild für die Vernunft im esprit géométrique der Epoche. In der reinen Mathematik tat Euler mehr: er leistete «wesentliche Fortschritte» in Zahlentheorie, Algebra, Kombinatorik, Graphentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Topologie und Geometrie, wie auch Pionierarbeit der Differentialgeometrie von Oberflächen. Auch in den exakten Wissenschaften der Mechanik, Optik und Astronomie war Euler „tief verwurzelt“ und leistete Beiträge zur angewandten Mathematik, die in ihrer Kombination von Umfang und Tiefe „ihresgleichen suchten“.[270]

Nach Einschätzung von Alexander Gelfond war für Leonhard Euler die Mathematik „unzertrennlich mit ihren Anwendungen verbunden“. Bei der Suche nach einem Algorithmus zur Lösung von Aufgaben hätten „an erster Stelle Methoden, die mit bequemsten, praktischen und einfachsten Operationen zum Ziel führten“ gestanden. Euler habe in der Mathematik ein „mächtiges Hilfsmittel“, das zum Aufsuchen von Lösungsalgorithmen „unumgänglich“ ist, gesehen. Dies habe stets im Vordergrund gestanden und „die algebraische und konstruktive Färbung“ der Methoden bestimmt, die Euler in die Analysis einführte.

Bezüglich des Begriffs des Unendlichen führe Euler „statt irgendwelchen exakten Definitionen lange philosophische Erläuterungen“ durch, die „das Wesen der Frage nicht erhellen“. Er mache jedoch im Umgang mit unendlich wachsenden oder abnehmenden Größen „keine Fehler“, weil er stets die „Schnelligkeit des Anwachsens oder Abnehmens“ dieser Größen beachtet, wenn sie ihm z. B. in Form von Verhältnissen begegnen. An verschiedenen Stellen spreche „er auch über das Unendliche unendlich großer Ordnung im Vergleich zu einem andern Unendlich“. So sage er beispielsweise in der Arbeit De summa seriei ex numeris primis formatae, dass „das Unendliche, das durch die Reihe

${\displaystyle \sum _{p\,\mathrm {Primzahl} }{\frac {1}{p}}=\infty }$

entsteht, der Logarithmus desjenigen Unendlichen ist, das durch die harmonische Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty }$

repräsentiert wird“. Somit sei „die zweite Unendlichkeit von unendlich höherer Ordnung als die erstere“. Aufkommende Probleme mit fehlender Konvergenz (etwa bei Werten der Riemannschen Zeta-Funktion an negativen Stellen) habe er stets „umgangen“, indem er unter anderem „die sogenannte Abelsche Summationsmethode verwendet“ und somit „um ein Jahrhundert vorweggenommen“ habe.[271] Detlef Laugwitz bemerkt in diesem Kontext die Gewohnheit Eulers, Gleichheiten wie

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\Omega }{\frac {\xi ^{k}}{k!}}=\left(1+{\frac {\xi }{\Omega }}\right)^{\Omega }}$

oder auch

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\Omega }{\frac {1}{n}}=\log(\Omega +1)+C}$

verwendet zu haben (wobei hier ${\displaystyle \Omega }$ „größer als jede endliche Zahl ist“), was „zu mancher Kritik Anlass gegeben“ habe.[272] Emil Fellmann verweist wegen Eulers Schwächen bezüglich des Umgangs mit dem Unendlichen auf das Fehlen einer axiomatischen Einführung der reellen Zahlen:

Thomas Sonar hebt in besonderer Weise die Bedeutung der Eulerschen „Nullenrechnung“ als große Leistung hervor. Diese sei von Euler „zur höchsten Perfektion“ gebracht worden. Dabei bezieht sich Sonar unter anderem auf Leibnizsche Beiträge zur Bewegungslehre, in der von „Rudimenten und Anfängen von Linien und Figuren“ die Rede ist, welche „kleiner als jede angebbare Größe“ sind.[274] Auf „virtuose“ Weise gelänge es Euler mit diesem Werkzeug, als richtig bekannte unendliche Reihen für die Exponentialfunktion und den Logarithmus, aber auch Ableitungen wie

${\displaystyle \mathrm {d} (\log(x))={\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$

herzuleiten.[275]

Der Wissenschaftshistoriker Emil Fellmann nennt bezüglich des Phänomens der Produktivität und Arbeitsweise Eulers drei Schlüsselkomponenten. Erstens hätte Euler «die Gabe eines wohl einmaligen Gedächtnisses» besessen. Was Euler je gehört, gesehen oder geschrieben hatte, scheint sich «ihm für immer fest eingeprägt» zu haben. Davon gebe es «unzählige zeitgenössische Zeugnisse». Noch in hohem Alter solI er beispielsweise «seine Familienangehörigen, Freunde und Gesellschaften mit der wortgetreuen Rezitation jedes beliebigen Gesanges aus Vergils Aeneis entzückt haben, und Protokolle der Akademiesitzungen kannte er nach Jahrzehnten noch auswendig – von seinem Gedächtnis für mathematische Belange ganz zu schweigen». Als zweiten Punkt hebt Fellmann Eulers «seltene Konzentrationsfähigkeit» hervor. Lärm und Betrieb in seiner unmittelbaren Umgebung hätten ihn «kaum in seiner Gedankenarbeit gestört». Das Zitat: «Ein Kind auf den Knien, eine Katze auf dem Rücken, so schrieb er seine unsterblichen Werke» soll von Dieudonné Thiébault überliefert sein. Der dritte Schlüssel bestehe «ganz einfach in steter, ruhiger Arbeit».[276]

Nach François Arago äußerte sich Eulers Genie in der Leichtigkeit, mit der er jede mathematische Frage zu behandeln wusste:

Eulers Schriften weisen auch für heutige Leser einen besonderen Reiz auf. Sie sind didaktisch konzipiert, in vielen Detailfragen ausführlich, ursprünglich und selbstkritisch, um einen breiteren Zugang zu ermöglichen.

Mehrere Wissenschaftshistoriker bemerken, dass Eulers Monographien zur Mechanik, die Mechanica (1736) und die Theoria Motus Corporum Solidorum seu Rigidorum (1765), als erste Schriften ihrer Art genannt werden können, die den Charakter eines theoretischen Lehrbuches haben. Sie stellen den Gegenstand im sachlichen und didaktischen Aufbau bereits so dar, wie er z. T. auch in heutigen Lehrbüchern noch zu finden ist.[279][280][281] In der letztgenannten Mechanikschrift Euler (1765) findet man beispielsweise eine umfassende Rekonstruktion der Punktmechanik in kartesischen Koordinaten, wie sie Euler selbst in vielen Einzelartikeln vorbereitet hat. Dazu bemerkt der Herausgeber:

Nach Leonhard Euler sind mehrere Mathematikpreise benannt. So wird seit 1991 von der Russischen Akademie der Wissenschaften die Leonhard-Euler-Goldmedaille für besonders herausragende Leistungen in den Bereichen Mathematik und Physik verliehen. Für besondere Leistungen im Bereich Kombinatorik verleiht das Institute of Combinatorics and its Applications seit 1993 jährlich die sog. Euler-Medaille.

Ebenfalls nach Leonhard Euler benannt ist der Euler Book Prize, der jährlich von der Mathematical Association of America für «ein hervorragendes Buch über Mathematik» vergeben wird.[286]

Zu seinem 200. Todesjahr 1983 veranstaltete die Technische Universität Berlin ein Euler-Kolloquium, in welchem unter anderem Emil Fellmann, Erhard Heinz, Olli Lehto und Kurt Strebel Vorträge hielten.[287]

Anlässlich seines 300. Geburtstages widmete das Landesmuseum Braunschweig Leonhard Euler eine Ausstellung und Vortragsreihe. Dabei ging es «in der Erforschung, Darstellung und Vermittlung von wissenschaftsgeschichtlichen Fragestellungen um Kooperation unterschiedlicher Fachrichtungen, für die sich das «Projekt Euler» in hervorragender Weise angeboten habe.»[288] Ferner heißt es im Ausstellungsbericht:

Andere Ausstellungen veranstalteten u. a. die Universität Basel[290] und die Universität Würzburg.[291]

Die Eulersche Identität in der Form ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0}$ wurde vom Nobelpreisträger Richard P. Feynman als «die bemerkenswerteste Formel in der Mathematik» bezeichnet wegen ihrer genau einmaligen Verwendung von Addition, Multiplikation, Potenz und Gleichheit sowie der einmaligen Verwendung der wichtigen Konstanten 0, 1, e, i und π.[292] 1988 wählten die Leser des Mathematical Intelligencer sie (in der Form ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1}$) zur «schönsten mathematischen Formel aller Zeiten». Insgesamt war Euler für drei der fünf besten Formeln dieser Umfrage verantwortlich: Gleich auf Platz zwei rangierte der Polyedersatz und auf Platz fünf das Basler Problem[293]

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Euler ist Namensgeber des sog. Project Euler, einer Website, auf der eine Reihe von Problemen gestellt sind, welche zumeist mittels mathematischer Programmierung gelöst werden müssen. Ziel des Projektes ist es, interessierte Menschen dabei zu unterstützen, spielerisch Programmierkenntnisse zu vertiefen oder bereits Gelerntes aufzufrischen.

Die Eulersche Scheibe (englisch Euler’s Disc) ist ein physikalisches Spielzeug für die Demonstration der Energiedissipation einer rotierenden Scheibe. Die Scheibe wurde etwa 1987 von Joe Bendik erfunden, die dieser nach Leonhard Euler benannte, weil Euler sich bereits mit mathematischen Aspekten dieses physikalischen Problems beschäftigt hatte.[294]

Ebenfalls nach Euler benannt ist das Leonhard-Euler-Teleskop, ein Spiegelteleskop mit 1,2-m-Apertur der Sternwarte Genf am La-Silla-Observatorium der Europäischen Südsternwarte.

Von Leonhard Euler entwickelte Methoden oder Ideen, die seinen Namen tragen, sind:

Gleichungen:

• Euler-Bernoulli-Gleichung, Differentialgleichung vierter Ordnung, die der Kontinuumsmechanik des Balkens zugrunde liegt, siehe Biegelinie (Bestandteil der Euler-Bernoulli-Balkentheorie)
• Eulersche Differentialgleichung, lineare gewöhnliche Differentialgleichung beliebiger Ordnung
• Eulersche Gleichungen der Strömungsmechanik, Grundgleichungen zur Dynamik idealer (reibungsfreier) Flüssigkeiten
• Eulersche Kreiselgleichungen
• Euler-Lagrange-Gleichung
• Euler-Lotka-Gleichung

Formeln:

• Euler-Eytelwein-Formel, Formel für Seilhaftung
• Eulersche Formel
• Eulersche Formel oder Satz von Euler in der Flächenkrümmung, siehe Hauptkrümmung
• Euler-Maclaurin-Formel
• Euler-Rodrigues-Formel
• Eulersche Reihe
• Euler-Produkt

Sätze und Theoreme:

• Euler-Theorem, Theorem in den Wirtschaftswissenschaften
• Satz von Euler-Fermat (Zahlentheorie)

Konstanten und Zahlenfolgen:

• Euler-Mascheroni-Konstante ${\displaystyle \gamma =0{,}5772\dots }$, auch Eulersche Konstante genannt
• Eulersche Zahl ${\displaystyle e=\exp(1)=2{,}71828\dots }$
• Eulersche Zahlen, verwandt mit den Bernoulli-Zahlen, treten als Taylor-Koeffizienten der Sekans-hyperbolicus-Funktion auf
• Euler-Zahlen bilden das dem Pascalschen Dreieck ähnliche Euler-Dreieck in der Kombinatorik
• Euler-Zahl ist eine dimensionslose Kennzahl in der Strömungsmechanik
• Eulersche Pseudoprimzahl

Vermutungen:

• Eulersche Vermutung, Vermutung der Zahlentheorie und Verallgemeinerung der fermatschen Vermutung

Funktionen und (mathematische) Verfahren:

• Eulersches Integral erster und zweiter Gattung (Eulersche Betafunktion und Gammafunktion)
• Euler-Maruyama-Verfahren zur Lösung von stochastischen Differentialgleichungen
• Eulersches Polygonzugverfahren (Integrationsverfahren für Differenzialgleichungen)
• Eulersche Phi-Funktion ${\displaystyle \varphi (m)}$ = Anzahl der zu ${\displaystyle m}$ teilerfremden ganzen Zahlen ${\displaystyle a}$ mit ${\displaystyle 0<a\leq m}$
• Eulersche Reihentransformation
• Manchmal als Euler-Funktion bezeichnet wird das Euler-Produkt in der Theorie der Partitionsfunktion (siehe auch Pochhammer-Symbol).
• Eulersches Kriterium zur Berechnung des Legendre-Symbols
• Eulersche Substitution in der Integralrechnung

Geometrie und Topologie:

• Eulersche Gerade: die Verbindungsgerade von Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt eines Dreiecks
• Satz von Euler (Geometrie)
• Satz von Euler (Vierecksgeometrie)
• Eulersches Dreieck, eine besondere Form des Kugeldreiecks
• Euler-Ziegel, ein Quader mit ganzzahligen Längen der Kanten und Flächendiagonalen
• Eulerscher Polyedersatz
• Eulersche Winkel
• Euler-Charakteristik, in der Topologie eine Kennzahl für geschlossene Flächen
• Euler-Wiege, eine kardanische Aufhängung, die in allen drei Eulerschen Winkeln drehbar ist
• Euler-Klasse

Graphentheorie:

• Euler-Hierholzer-Satz
• Eulersche Linie (auch «Eulertour» oder «Eulerkreis»), ein Kantenzug, der jede Kante eines Graphen enthält

Musiktheorie:

• Eulersches Tonnetz, Darstellung des Tonumfanges der reinen Stimmung in einem zweidimensionalen Gitternetz aus reinen Quint- und Terzintervallen

Physik und Mechanik:

• Euler-Bernoulli-Balkentheorie, siehe Bernoullische Annahmen
• Eulersche Knickfälle
• Eulersche Turbinengleichung als Grundlage für die Kraftmaschine der modernen Stromerzeugung
• Eulersche Last in der Balkentheorie die minimale axiale Last, die nötig ist, um eine Verbiegung zu bewirken
• Euler-Kreisel
• Eulerkraft
• Euler-Wind

Gedenktafel am Haus Behrenstraße 21/22 in Berlin-Mitte mit Aufschrift: Hier wohnte von 1743 bis 1766 der Mathematiker Leonhard Euler (* 15.IV.1707; † 18.IX.1783) Seinem Andenken die Stadt Berlin 1907

Der Mondkrater Euler

Die Evangelisch-Lutherische Kirche in Amerika erinnert mit einem Gedenktag am 24. Mai an Leonhard Euler, gemeinsam mit Nikolaus Kopernikus.[295]

In Basel wurde 1875 zu Ehren von Leonhard Euler beim Eingang des Bernoullianums eine Büste aufgestellt.[296] Auf einer Texttafel wird darauf hingewiesen, dass das Bernoullianum in den Jahren 1872–1874 von Johann Jakob Stehlin der Jüngere (1826–1894) zur 400-Jahrfeier der Universität für die Naturwissenschaftlichen Disziplinen auf dem Areal des 1530 errichteten Wasenbollwerks erbaut wurde.[297]

An seine Tätigkeit und sein damaliges Wohnhaus in Berlin erinnert eine Gedenktafel an der Behrenstraße 21/22, dem heutigen Haus der Bayerischen Vertretung in Berlin, die 1907 angebracht wurde.

Seit 1976 zeigte die Vorderseite der 10-Schweizer-Franken-Banknote das Porträt Eulers. Das Motiv den Scheins auf der Rückseite zeigte eine Wasserturbine (eine solche mit hohem Wirkungsgrad wurde von Euler erstmals konstruiert), unser Sonnensystem und der Strahlengang in einem Linsensystem. In der in den 1980er-Jahren entworfene Reserveserie (sog. Geheimreserve, die im Falle massenhafter Fälschungen im Umlauf gekommen wäre), war Leonhard Euler ebenfalls auf dem 10 Franken Schein abgebildet. Allerdings änderte sich sowohl Porträt als auch Motiv. Auf dem Reserveschein sind die Gammafunktion, das Sonnensystem und im Hintergrund eine Zahlentabelle abgebildet.

• 
  10-Schweizer-Franken-Note von 1976 bis 1995
• 
  Gegenstände des Eulerschen Schaffens: Wasserturbine, Sonnensystem, Linsensystem
• 
  10-Schweizer-Franken-Note (Reserveserie ab 1984)
• 
  Auf dem Reserveschein änderte sich das Motiv: andere Gegenstände von Eulers Forschung wurden abgebildet

Weiterhin sind zu seinen Ehren der Mondkrater Euler und der Asteroid (2002) Euler benannt. Letzteres geschah im Jahr 2002 in Anerkennung «seiner Beiträge zur Mathematik und den Wissenschaften».[298]

Das Leonhard-Euler-Teleskop ist ein Spiegelteleskop der Sternwarte Genf am La-Silla-Observatorium der Europäischen Südsternwarte in Chile.[299][300]

Auch eine Software für numerische und symbolische Berechnungen (Euler Math Toolbox) trägt seinen Namen. Die Pflanzengattung Euleria Urb. aus der Familie der Sumachgewächse (Anacardiaceae) wurde 1925 nach ihm benannt.[301]

Leonhard Euler wurde mehrfach auf Briefmarken geehrt: in der Schweiz 1957 und 2007,[302] in der DDR 1950, 1957 und 1983 und in der Sowjetunion 1983. 2007 wurde in Russland eine Gedenkmünze zu Ehren Eulers herausgegeben.

• 
  Briefmarke DDR 1950
• 
  Briefmarke DDR anlässlich des 250. Geburtstages (1957)
• 
  Briefmarke Sowjetunion anlässlich des 250. Geburtstages (1957)
• 
  Silbermünze Russland 2007 mit der Lösung des Basler Problems

Unter anderem in Basel, Berlin, Dortmund und Hannover wurden Straßen nach Leonhard Euler benannt. In Berlin sind ihm zu Ehren mehrere Gedenktafeln errichtet worden: sowohl an seinem ehemaligen Wohnsitz in der heutigen Behrenstraße als auch am Bundesamt für Statistik.[303]

• Mechanica sive motus scientia analytice exposita. 2 Bände, 1736 (E015, E016).
• Tentamen novae theoriae musicae. 1739 (E033).
• Einleitung zur Rechen-Kunst zum Gebrauch des Gymnasii bey der Kayserlichen Academie der Wissenschafften in St. Petersburg. 2 Bände, Academische Buchdruckerey, Sankt Petersburg; Band 1 1738, Band 2 1740. (Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv Band 1, Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv Band 2).
• Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. 1741 (E053).
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti. Erstveröffentlichung (M. Bousquet) Lausanne, Genf 1744. (E065). Neu erschienen in den Opera Omnia Ser. I, Bd. 24, S. 1–322, hrsg. v. C. Carathéodory. (Orell) Turici 1952.
• Introductio in analysin infinitorum. 2 Bände. Erstveröffentlichung (M. Bousquet) Lausanne, Genf 1748 (E101, E102). Neu erschienen in den Opera Omnia Ser. I, Bde. 8 u. 9, hrsg. v. A. Krazer u. A. Speiser. (Teubner), Leipzig 1922 u. 1945.
• Découverte d’un nouveau principe de Mécanique. In: Mémoires de l'académie des sciences de Berlin. Band 6, 1752, S. 185–217 (E177).
• Institutiones calculi differentialis. 2 Bände. Erstveröffentlichung Bd. 1 (Akademie) St. Petersburg 1955. (E212). Neu erschienen im Opera Omnia Ser. I, Bd. 10, S. 1–676, hrsg. v. G. Kowalewski. (Teubner) Leipzig 1913.
  • In englischer Übersetzung erschienen als Euler – Foundations auf Differential Calculus. Hrsg. v. J. D. Blanton, (Springer) New York, Berlin, Heidelberg, 2000.
• Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum. 1765 (E289).
• Lettres à une princesse d’Allemagne. 3 Bände, 1768 (E343, E344, E417).
• Institutiones calculi integralis. 3 Bände, 1768–1770 (E342, E366, E385).
• Vollständige Anleitung zur Algebra. 2 Bände, 1770 (E387, E388, Band 2 Digitalisat und Volltext im Deutschen Textarchiv).

• 
  Titelblatt der Methodus inveniendi lineas curvas von 1744
• 
  Titelblatt der Introductio in analysin infinitorum (Band 1) von 1748
• 
  Titelblatt der Introductio in analysin infinitorum (Band 2) von 1748
• 
  Titelblatt der Institutiones calculi differentialis von 1755
• 
  Titelblatt der Institutiones calculi integralis (Band 1) von 1768
• 
  Titelblatt (beschrieben) der Institutiones calculi integralis (Band 2) von 1769
• 
  Titelblatt (gestempelt) der Institutiones calculi integralis (Band 3) von 1770

• Leonhard Euler’s vollständige Anleitung zur Integralrechnung, Hrsg. Joseph Solomon, 3 Bände, Wien 1828 bis 1830 (Band 1 e-rara.ch, Band 1 archive.org, Band 2 archive.org, Band 3 archive.org).
• Leonhard Euler’s Mechanik oder analytische Darstellung der Wissenschaft, 3 Bände, Hrsg. J. Ph. Wolfers, Greifswald 1848 bis 1853 (Band 1 archive.org, Band 2 archive.org, Band 3 archive.org).
• Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli: Abhandlungen über Variationsrechnung, Hrsg. v. P. Stäckel, 1. Teil, Ostwalds Klassiker 46. (W. Engelmann) 1894, zweite Auflage Leipzig, Berlin 1910. Online: eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
  • Darin enthalten E065, die Methodus inveniendi lineas curvas (1744), ohne Anhänge (Additamenta). Erschienen als Kapitel III mit dem Titel: Methode Curven zu finden, denen eine Eigenschaft im höchsten oder geringsten Grade zukommt oder Lösung des isoperimetrischen Problems, wenn es im weitesten Sinne des Wortes aufgefasst wird. Seite  21–132.
• Euler: Zwei Abhandlungen über Sphärische Trigonometrie, Ostwalds Klassiker 73, Leipzig 1896 (archive.org).
• Euler: Drei Abhandlungen über Kartenprojektion, Ostwalds Klassiker 93, Leipzig 1898 (archive.org).
• Euler: Von den elastischen Kurven Deutsche Übersetzung von Additamentun I: De Curvis Elasticis zu Methodus Inveniendi Lineas Curvas (E065), siehe hier unter Schriften. In: Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven: S. 18 – 99. Hrsg. v. H. Linsenbarth, Ostwalds Klassiker Band 175. (W. Engelmann) Leipzig 1910.
• Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven, Ostwalds Klassiker 175, Leipzig 1910
• Euler: Vollständigere Theorie der Maschinen, die durch Reaktion des Wassers in Bewegung versetzt werden (1754), Ostwalds Klassiker 182, Leipzig 1911
• Euler: Drei Abhandlungen über die Auflösung der Gleichungen (1783, 1764, 1790). Ostwalds Klassiker 226, Leipzig 1928
• Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen, Teil 1, Einführung Wolfgang Walter, Springer 1983
• Euler: Zur Theorie komplexer Funktionen, Einleitung A. P. Juschkewitsch, Ostwalds Klassiker 261, Akademische Verlagsgesellschaft 1983
• Euler: Eine Methode sich der Eigenschaft des Maximums oder Minimums erfreuender Kurven zu finden, oder die Lösung des im weitesten Sinn aufgefassten isoperimetrischen Problems. Vollständige deutsche Übersetzung der Methodus Inveniendi Lineas Curvas (E065), siehe hier unter Schriften, von A. Aycock und A. Diener; herausgegeben vom Euler-Kreis Mainz.
• Euler: Grundlagen des Differentialkalküls, der vollständige Erklärung dieses Kalküls enthält, Teil 1. Übersetzung der Institutiones calculi differentialis, Partis Prioris (E212), siehe hier unter Schriften → Publikationen (Auswahl), übersetzt von A. Aycock und A. Diener, herausgegeben vom Euler-Kreis Mainz.

Euler veröffentlichte rund zwei Dutzend Bücher und 500 wissenschaftliche Aufsätze. Der deutsche Mathematiker Ferdinand Rudio (1856–1929) initiierte die Herausgabe von Eulers sämtlichen Werken. Zu Lebzeiten Rudios wurden mehr als 30 Bände publiziert. Bis 2013 sind über 70 Einzelbände erschienen, außerdem vier Bände aus dem umfangreichen Briefwechsel. Die Arbeiten erscheinen in der Originalsprache, meist Französisch oder Latein.

Die gesammelten Werke werden seit 1911 als Opera Omnia im Birkhäuser (Springer) Verlag herausgegeben durch die Euler-Kommission, die von Ferdinand Rudio gegründet wurde. Damals waren auch Adolf Krazer, Rudolf Fueter, Heinrich Weber, Paul Stäckel und Karl von der Mühll an der Herausgabe beteiligt. Zu den späteren Herausgebern von Einzelbänden gehörten Ludwig Schlesinger, Friedrich Engel, Andreas Speiser, Clifford Truesdell (Physik, Mechanik, der ganze Band 11-1 ist eine Geschichte der Elastizitätstheorie im 17. und 18. Jahrhundert, verfasst von Truesdell),[304] Alexander Michailowitsch Ljapunow, Georg Faber, August Gutzmer, Carl Boehm, Constantin Carathéodory, Henri Dulac, Max Herzberger, Emile Cherbuliez, Charles Blanc und Eric Aiton (Physik). Hauptherausgeber nach Rudio waren Andreas Speiser (ab 1928), Walter Habicht (ab 1965) und seit 1985 Hans-Christoph Im Hof. Weitere Herausgeber waren unter anderem Emil Fellmann, Adolf Juschkewitsch, Henri Dulac, Pierre Costabel, René Taton, Wladimir Iwanowitsch Smirnow, Alot T. Grigorjan, Joachim Otto Fleckenstein, Johann Jakob Burckhardt, Gleb K. Mikhailov, Franz Lemmermeyer, Andreas Kleinert und Martin Mattmüller.

Die Edition besteht aus

• Reihe 1: Mathematik, 30 Bände (vollständig). Erster Band war 1911 die Anleitung zur Algebra. Band 16 besteht aus zwei Teilbänden.
• Reihe 2: Mechanik und Astronomie, 27 Bände in 30 Teilbänden (vollständig).
• Reihe 3: Physik und Sonstiges, 12 Bände (vollständig).
• Reihe 4a: Briefwechsel. Geplant: 10 Bände für die rund 3100 Briefe mit rund 300 Korrespondenten. Bisher erschienen: 4 Bände.
• Reihe 4b: Notizbücher, Tagebücher und Unveröffentlichtes (geplant).[305][306]

Beim Briefwechsel sind im Rahmen der Opera Omnia erschienen:

• Band 1 (Zusammenfassung Inhalte, Übersicht, 1975),
• Band 2 (mit Johann I. und Nikolaus I. Bernoulli),
• Band 5 (mit Clairaut, d’Alembert und Lagrange) und
• Band 6 (mit Maupertuis und Friedrich II.).

Außerdem sind außerhalb der Opera Omnia folgende Briefwechsel erschienen:

• mit Goldbach (Akademie Verlag, Berlin 1965),
• mit den Berliner und Petersburger Akademien (Akademie Verlag, Berlin, 3 Bände: 1959, 1961, 1976),
• mit Tobias Mayer (American Elsevier, 1971).

Paul-Heinrich Fuss veröffentlichte 1845 Teile des Briefwechsels von Euler mit Goldbach, Nikolaus Fuss, Johann I, Nikolaus und Daniel Bernoulli. Im Band 14 der Werkausgabe von Lagrange ist auch der Briefwechsel mit Euler.[307]

• Briefe an eine deutsche Prinzessin

• Gerd Biegel, Angela Klein, Thomas Sonar (Hrsg.): Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker (= Disquisitiones historiae scientiarum. Braunschweiger Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Bd. 3). Braunschweigisches Landesmuseum, Braunschweig 2008, ISBN 978-3-927939-79-0.
• Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow, Gleb K. Michailow, Adolf Juschkewitsch: Euler and modern science. Englische Ausgabe. (Erstveröffentlichung auf Russisch, Isdatelstvo Nauka 1988.) Mathematical Association of America. Washington DC. 2007.
• Robert E. Bradley, C. Edward Sandifer (Hrsg.): Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier 2007.
• Horst Bredekamp, Wladimir Velminski (Hrsg.): Mathesis & Graphe. Leonhard Euler und die Entfaltung der Wissensysteme. Akademie-Verlag, Berlin 2010, ISBN 978-3-05-004566-5.
• Ronald S. Calinger: Leonhard Euler. Mathematical Genius in the Enlightment. Princeton University Press. New Jersey, Oxfordshire 2016.
• Lokenath Debnath: The legacy of Leonhard Euler. A tricentennial tribute. Imperial College Press, London 2010.
• William Dunham: Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America, 1999, ISBN 0-88385-328-0.
• William Dunham (Hrsg.): The Genius of Euler. Reflections on his life and work. Mathematical Association of America, Washington DC. 2007
• Emil Fellmann (Hrsg.): Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk. Gedenkband des Kantons Basel-Stadt. Birkhäuser, Basel 1983, ISBN 3-7643-1343-9.
• Emil A. Fellmann: Leonhard Euler. Rowohlt, Reinbek 1995, ISBN 3-499-50387-5.
• Emil Fellmann: Leonhard Euler. Birkhäuser 2007
• Rudolf Fueter, Leonhard Euler. Beiheft Nr. 3 zur Zeitschrift Elemente der Mathematik. (Birkhäuser) Basel 1948, S. 1–22.
• Xavier Hascher, Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique. CNRS Editions, Paris 2015, ISBN 978-2-271-08331-9.
• Helmut Pulte, Konstanter Cartesianismus: Eulers rationale Mechanik und seine materietheoretische Interpretation des Prinzips der kleinsten Wirkung. Kap. B.II (S. 104 – 192) in: H. Pulte, Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen. Studia Leibnitiana (Sonderheft 19). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 1989.
• C. Edward Sandifer: How Euler did it. Mathematical Association of America 2007 (monatliche Kolumne von Sandifer in MAA Online 2003 bis 2007).
• C. Edward Sandifer: How Euler did even more. Mathematical Association of America 2015
• C. Edward Sandifer: The early math of Leonhard Euler. Mathematical Association of America 2007
• Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis, Springer, 2011.
• Otto Spiess: Leonhard Euler. Ein Beitrag zur Geistesgeschichte des 18. Jahrhunderts. Frauenfeld 1929.
• Wilhelm Stieda: Die Übersiedlung Leonhard Eulers von Berlin nach St. Petersburg. Hirzel, Leipzig 1931 urn:nbn:de:hbz:061:1-13189.
• Dieter Suisky: Euler as physicist. Springer, Berlin 2009.
• Margaret B. W. Tent: Leonhard Euler and the Bernoullis: Mathematicians from Basel. 2009, ISBN 978-1-56881-464-3.
• Rüdiger Thiele: Leonhard Euler. (= Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner. Band 56) B. G. Teubner, Leipzig 1982, ISBN 3-322-00576-3.
• Clifford Truesdell, The Rational Mechanics of flexible or elastic Bodies (1638 – 1788). Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia Vol. X et XI Seriei Secundae (Opera Mechanica et Astronomia). (Orell Füssli) Turici 1960
• V. S. Varadarajan: Euler through time: A new look at old themes. American Mathematical Society, 2006.
• Andreas Verdun: Leonard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik. Springer-Spektrum 2015
• Wladimir Velminski (Hrsg.): Leonhard Euler. Die Geburt der Graphentheorie. Kulturverlag Kadmos, Berlin 2009, ISBN 978-3-86599-056-3.
• Rudolf Wolf: Leonhard Euler von Basel. In: Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz. Vierter Cyclus. Orell, Füssli & Comp., Zürich 1862, S. 87–134 (books.google.de).

• Wolfgang Breidert: Leonhard Euler and Philosophy. In: R. Bradley, C. E. Sandifer (Hrsg.): Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. (Elsevier) Amsterdam, Boston, Heidelberg 2007.
• Constantin Carathéodory, Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung. S.  VIII – LXII in: L. Euleri Opera Omnia, Ser. I (Opera Mathematica). Vol. 24: Methodus inveniendi lineas curvas. (Orell Füssli) Turici 1952.
• Nicolas Marquis de Condorcet: Éloge de M. Euler (Erste Fassung). In: Histoire de l’Académie royale des sciences année 1783 avec les Mémoires, Paris 1786, S. 37 – 68. Onlinezugriff: gallica.bnf.fr. .
• N. de Condorcet: Éloge de M. Euler. Neue redigierte Fassung von Condorcet (1786). In Lettres de M. Euler à une princesse d‘Allemange. Neue Ausgabe von E343, Paris 1787, S. ix – xliv. Online: Textarchiv – Internet Archive.
• Gustaf Eneström: Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers. Ergänzungsband 4 zum Jahresbericht der DMV. B. G. Teubner, Leipzig 1910 (erste Lieferung), 1913 (zweite Lieferung) – (archive.org).
• Lutz Felbick: Lorenz Christoph Mizler de Kolof. Schüler Bachs und pythagoreischer «Apostel der Wolffischen Philosophie» (= Hochschule für Musik und Theater «Felix Mendelssohn Bartholdy», Leipzig. Schriften. Bd. 5). Georg-Olms-Verlag, Hildesheim u. a. 2012, ISBN 978-3-487-14675-1 (Zugleich: Leipzig, Hochschule für Musik und Theater «Felix Mendelssohn Bartholdy», Dissertation, 2011), S. 126–172 (Eulers Musiktheorie) Online-Version.
• Günther Frei: Zahlentheorie, Analysis und vieles mehr – Die Bedeutung von Leonhard Euler für die heutige Zeit. In: Naturwissenschaftliche Rundschau. Band 60 (12). 2007, ISSN 0028-1050, S. 629–635.
• Nikolaus Fuß: Lobrede auf Herrn Leonhard Euler. Basel 1786. Online: digitale sammlungen.de
• Harro Heuser: Eulers Analysis. S. 147–163 des Abschnitts Eulers Werk: Mathematik in: Biegel, Klein, Sonar (2008), in der Literatur → Monografien und Sammelbände.
• Eberhard Knobloch: Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis. S. 79–89 des Kapitels Zum Leben von Leonhard Euler von Biegel, Klein, Sonar (2008), hier in der Literatur → Monografien und Sammelbände.
• Günter Kröber, Einleitung zu: Leonhard Euler, Briefe an eine deutsche Prinzessin – Philosophische Auswahl, (Reclam/deb) Leipzig (DDR), Westberlin (BRD) 1983, Seite 5–27.
• Harald Iro: Eulers analytische Mechanik. S. 237–268 des Kapitels Eulers Werk: Naturwissenschaften in Biegel, Klein, Sonar (2008), hier in der Literatur→ Monografien und Sammelbände.
• Olaf Neumann: Leonhard Euler und die Zahlen. S. 115–145 des Abschnitts Eulers Werk: Mathematik in: Biegel, Klein, Sonar (2008), in der Literatur → Monografien und Sammelbände.
• Rüdiger Thiele: The Mathematics and Science of Leonhard Euler (1707–1783). Kapitel 5 in Glen van Brummelen, Michael Kinyon (Hrsg.): Mathematics and the Historian’s Craft. Springer, New York 2005, ISBN 0-387-25284-3, S. 81–140.
• R. Thiele: Euler und Basel. S. 10–21 des biographischen Teils (Zum Leben von Leonhard Euler) in Biegel, Klein, Sonar (2008), in der Literatur → Monografien und Sammelbände.
• R. Thiele: Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte. S. 165–176 des Kapitels Eulers Werk: Mathematik in Biegel, Klein, Sonar (2008), hier in der Literatur → Monografien und Sammelbände.
• R. Thiele: Leonhard Euler und die Philosophie. S. 497–513 des Kapitels Eulers Werk: Die Vielseitigkeit Eulers. In Biegel, Klein, Sonar (2008), in der Literatur → Monografien und Sammelbände.
• André Weil: Zahlentheorie – ein Gang durch die Geschichte von Hammurabi zu Legendre. Birkhäuser 1992.

• Moritz Cantor: Euler: Leonhard. In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Band 6, Duncker & Humblot, Leipzig 1877, S. 422–431.
• Andreas Speiser: Euler. Leonhard. In: Neue Deutsche Biographie (NDB). Band 4, Duncker & Humblot, Berlin 1959, ISBN 3-428-00185-0, S. 688 f. (Digitalisat).
• Emil A. Fellmann: Euler, Leonhard. In: Historisches Lexikon der Schweiz.
• A. P. Youschkevitch: Euler, Leonhard. In: Charles Coulston Gillispie (Hrsg.): Dictionary of Scientific Biography. Band 4: Richard Dedekind – Firmicus Maternus. Charles Scribner’s Sons, New York 1971, S. 467–484.