Oktave (Mathematik)

Die Oktonionen wurden im Jahr 1843 von John Thomas Graves in einem Brief an William Rowan Hamilton zum ersten Mal beschrieben. Unabhängig davon wurden sie 1845 von Arthur Cayley (als Erstem) veröffentlicht.

Die Oktonionen sind eine 8-dimensionale Algebra über den reellen Zahlen. Eine mögliche Multiplikation ist – mit der Basis ${\displaystyle (1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} ,\mathrm {l} ,\mathrm {m} ,\mathrm {n} ,\mathrm {o} )}$ – wie folgt gegeben:

${\displaystyle \mathrm {i^{2}} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {j^{2}} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {k^{2}} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {l^{2}} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {m^{2}} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {n^{2}} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {o^{2}} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-1} }$

${\displaystyle \mathrm {i} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {jk} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {lm} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {on} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-kj} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-ml} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-no} }$

${\displaystyle \mathrm {j} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {ki} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {ln} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {mo} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-ik} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-nl} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-om} }$

${\displaystyle \mathrm {k} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {ij} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {lo} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {nm} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-ji} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-ol} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-mn} }$

${\displaystyle \mathrm {l} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {mi} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {nj} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {ok} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-im} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-jn} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-ko} }$

${\displaystyle \mathrm {m} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {il} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {oj} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {kn} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-li} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-jo} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-nk} }$

${\displaystyle \mathrm {n} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {jl} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {io} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {mk} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-lj} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-oi} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-km} }$

${\displaystyle \mathrm {o} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {ni} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {jm} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {kl} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-in} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-mj} }$

${\displaystyle =}$

${\displaystyle \mathrm {-lk} }$

Daraus lässt sich für die Einheiten errechnen:

${\displaystyle \mathrm {{\Big (}{\big (}{\big (}((ij)k)l{\big )}m{\big )}n{\Big )}o} =-1}$

Man kann die Elemente ${\displaystyle (\mathrm {i,j,k,l,m,n,o} )}$ an Stelle der reellen Zahlen auch zu einem anderen (kommutativen) Körper ${\displaystyle K}$ adjungieren – mit der angegebenen Multiplikationstabelle und ${\displaystyle K}$ als Zentrum. Man nennt das Ergebnis die Cayley-Algebra über ${\displaystyle K}$ (welche aber nicht für jedes ${\displaystyle K}$ ohne Nullteiler ist).

Mit der Notation der Einheits-Oktonionen in der Form

${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$

wobei ${\displaystyle e_{0}}$ das skalare Element bezeichnet und mit der reellen Zahl 1 identifiziert werden kann, schreibt sich die Multiplikationsmatrix:

		${\displaystyle {\boldsymbol {e_{\;\!\!j}}}}$
	${\displaystyle e_{i}\;\!\!e_{\;\!\!j}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {e_{i}}}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$
	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$
	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$
	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$
	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$
	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$

Bis auf die Elemente in der ${\displaystyle e_{0}}$-Spalte und Reihe ist die Matrix schiefsymmetrisch. Die Multiplikation kann auch geschrieben werden:

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{wenn }}i=0\\e_{i},&{\text{wenn }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

mit ${\displaystyle \delta _{ij}}$ dem Kronecker-Delta und ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ dem vollständig antisymmetrischen Tensor mit dem Wert +1 für ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365.

Das ist nicht die einzige Wahl der Multiplikationstabelle, es gibt 480 weitere Möglichkeiten, erzeugt durch Permutation der ${\displaystyle e_{i}}$ verbunden mit Vorzeichenwechseln, die aber alle auf isomorphe Algebren führen.

Cayley-Dickson-Konstruktion

Man kann Oktonionen als Paare ${\displaystyle (a,b)}$ von Quaternionen auffassen und die Oktonionen-Multiplikation der Paare ${\displaystyle (a,b)}$ und ${\displaystyle (c,d)}$ über

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,\ da+bc^{*})}$

definieren, wobei ${\displaystyle a^{*}}$ die Konjugation einer Quaternion ist.

Multiplikation der Oktonionen mit Hilfe der Fano-Ebene

Die Oktonionen sind eine Divisionsalgebra mit Einselement.

Sie bilden keinen Schiefkörper (und keinen Körper), denn sie verletzen das

Assoziativgesetz der Multiplikation: ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$.

Es gilt jedoch für alle Oktaven a und b:

${\displaystyle a\cdot (a\cdot b)=(a\cdot a)\cdot b\ }$ und ${\displaystyle \ a\cdot (b\cdot b)=(a\cdot b)\cdot b}$.

Diese Eigenschaft wird Alternativität genannt und kann als abgeschwächte Form der Assoziativität aufgefasst werden (eine aus zwei beliebigen Oktonionen gebildete Unteralgebra ist assoziativ). Die Oktonionen bilden einen Alternativkörper.

Aus der Alternativität folgt die Beziehung

${\displaystyle a\cdot (b\cdot a)=(a\cdot b)\cdot a}$.

Diese Beziehung wird auch Flexibilitätsgesetz genannt.

Die Oktonionen erfüllen außerdem die Moufang-Identitäten

${\displaystyle {\big [}a\cdot (b\cdot a){\big ]}\cdot c=a\cdot {\big [}b\cdot (a\cdot c){\big ]}}$

und

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (c\cdot a)=a\cdot {\big [}(b\cdot c)\cdot a{\big ]}}$

Anwendung des Verdopplungsverfahrens auf die Oktaven liefert die Sedenionen. Sie sind allerdings nicht mehr Nullteiler-frei (und auch nicht mehr alternativ). Im Rahmen des Verdopplungsverfahrens verlieren die betrachteten Algebren ausgehend von den reellen Zahlen zunehmend wichtige Eigenschaften, zuerst die Ordnungseigenschaft bei den komplexen Zahlen, dann die Kommutativität bei den Quaternionen und die Assoziativität bei den Oktonionen. Alle vier zusammen bilden die einzigen über den reellen Zahlen endlichdimensionalen, normierten Divisionsalgebren mit Einselement (Satz von Hurwitz).

Die Automorphismengruppe der Oktonionen ist die kleinste exzeptionelle einfache Liegruppe ${\displaystyle \mathrm {G_{2}} }$. Sie ist von der Dimension 14 und kann als Untergruppe von ${\displaystyle \mathrm {SO(7)} }$ aufgefasst werden, die in ihrer 8-dimensionalen reellen Spinor-Darstellung einen beliebigen vorgegebenen Vektor fest lässt. Sie hat zwei fundamentale Darstellungen von 14 Dimensionen (die Adjungierte Darstellung) und 7 Dimensionen (diese ist gerade durch ihre Operationen auf dem siebendimensionalen Imaginärteil der Oktonionen – aufgefasst als Vektorraum über den reellen Zahlen – gegeben).

Jede Oktave kann dargestellt werden…

… als 8er-Tupel von reellen Zahlen: ${\displaystyle (r_{1},r_{2},\dotsc ,r_{8})}$

… als 4er-Tupel von komplexen Zahlen: ${\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4})}$

… als geordnetes Paar von Quaternionen: ${\displaystyle (h_{1},h_{2})}$

Der Körper der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ kann als Unterstruktur von ${\displaystyle \mathbb {O} }$ betrachtet werden:

Für alle Zahlen ${\displaystyle r}$ aus ${\displaystyle \mathbb {R} }$ gilt: ${\displaystyle r}$ entspricht ${\displaystyle (r,0,\dotsc ,0)}$

Der Körper der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ kann als Unterstruktur von ${\displaystyle \mathbb {O} }$ betrachtet werden:

Für alle Zahlen ${\displaystyle c}$ aus ${\displaystyle \mathbb {C} }$ gilt: ${\displaystyle c}$ entspricht ${\displaystyle (c,0,0,0)}$

Der Schiefkörper der Quaternionen ${\displaystyle \mathbb {H} }$ kann als Unterstruktur von ${\displaystyle \mathbb {O} }$ betrachtet werden:

Für alle Zahlen ${\displaystyle h}$ aus ${\displaystyle \mathbb {H} }$ gilt: ${\displaystyle h}$ entspricht ${\displaystyle (h,0)}$

Für die Oktaven sind Addition und Multiplikation so definiert, dass sie abwärtskompatibel sind, das heißt…

… für alle reellen Zahlen ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle s}$ gilt:

${\displaystyle r+s=(r,0,\dotsc ,0)+(s,0,\dotsc ,0)}$

${\displaystyle r\cdot s=(r,0,\dotsc ,0)\cdot (s,0,\dotsc ,0)}$

… für alle komplexen Zahlen ${\displaystyle c}$ und ${\displaystyle d}$ gilt:

${\displaystyle c+d=(c,0,0,0)+(d,0,0,0)}$

${\displaystyle c\cdot d=(c,0,0,0)\cdot (d,0,0,0)}$

… für alle Quaternionen ${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle i}$ gilt:

${\displaystyle h+i=(h,0)+(i,0)}$

${\displaystyle h\cdot i=(h,0)\cdot (i,0)}$

Die Konjugierte eines Oktonions

${\displaystyle x=x_{0}\,e_{0}+x_{1}\,e_{1}+x_{2}\,e_{2}+x_{3}\,e_{3}+x_{4}\,e_{4}+x_{5}\,e_{5}+x_{6}\,e_{6}+x_{7}\,e_{7}}$

wird definiert als:

${\displaystyle x^{*}=x_{0}\,e_{0}-x_{1}\,e_{1}-x_{2}\,e_{2}-x_{3}\,e_{3}-x_{4}\,e_{4}-x_{5}\,e_{5}-x_{6}\,e_{6}-x_{7}\,e_{7}.}$

Konjugation ist eine Involution und es gilt

${\displaystyle {(x\cdot y)}^{*}=y^{*}\cdot x^{*}}$

Der Skalarteil des Oktonions ist gegeben durch:

${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}\,e_{0}}$

und der Rest (Imaginärteil, entsprechend einem siebendimensionalen Untervektorraum) durch

${\displaystyle {\frac {x-x^{*}}{2}}=x_{1}\,e_{1}+x_{2}\,e_{2}+x_{3}\,e_{3}+x_{4}\,e_{4}+x_{5}\,e_{5}+x_{6}\,e_{6}+x_{7}\,e_{7}.}$

Die Konjugation erfüllt:

${\displaystyle x^{*}=-{\frac {1}{6}}(x+(e_{1}x)e_{1}+(e_{2}x)e_{2}+(e_{3}x)e_{3}+(e_{4}x)e_{4}+(e_{5}x)e_{5}+(e_{6}x)e_{6}+(e_{7}x)e_{7}).}$

Das Produkt eines Oktonions mit seinem Konjugierten

${\displaystyle x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}.}$

liefert eine reelle Zahl größer oder gleich Null und kann für die Definition einer Norm benutzt werden, die mit der üblichen euklidischen Norm in der Vektorraum-Darstellung der Oktonionen übereinstimmt:

${\displaystyle \left\|x\right\|={\sqrt {x^{*}x}}.}$

Das inverse Element eines Oktonions ungleich ${\displaystyle 0}$ kann damit so geschrieben werden:

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}.}$

Es gilt ${\displaystyle x^{-1}\cdot x=x\cdot x^{-1}=1}$

Für das Produkt zweier Oktonionen gilt:

${\displaystyle \left\|xy\right\|=\left\|x\right\|\cdot \left\|y\right\|}$

Das heißt, die Oktonionen bilden wie die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen und die Quaternionen eine Kompositionsalgebra.

Mittels der Cayley-Algebren lassen sich exzeptionelle Jordan-Algebren konstruieren und mittels Räumen von Derivationen auf solchen Jordan-Algebren können exzeptionelle Lie-Algebren angegeben werden.

Oktonionen können auch zur Konstruktion der fastkomplexen Struktur auf der 6-Sphäre benutzt werden.

In der Physik könnten Oktaven zur Beschreibung einer achtdimensionalen Supersymmetrie dienen. Damit ergäben sich auch mögliche Anwendungen in Zusammenhang mit der Stringtheorie und der M-Theorie, da beide auf der Supersymmetrie aufbauen.[1]

Schon 1973 gab es Versuche, über die Untergruppen SU(3) und SU(2) × SU(2) der Automorphismengruppe der Oktonionen ${\displaystyle \mathrm {G_{2}} }$ Teile des Standardmodells (Quarks) mit Oktonionen darzustellen (Murat Günaydin, Feza Gürsey).[2] Die grundlegende Gruppenstruktur der Wechselwirkungen des Standardmodells ist SU(3) × SU(2) × U(1) (kurz 1-2-3-Symmetrie). Die Gruppe SU(3) ergibt sich in der Automorphismengruppe ${\displaystyle \mathrm {G_{2}} }$ der imaginären Oktonionen, indem man einen der imaginären Einheits-Oktonionen fest lässt. Ab Mitte der 2010er Jahre gab es Versuche der Physikerin Cohl Furey, weitere Elemente des Standardmodells aus der Oktonionenalgebra zu erhalten.[3] Sie geht vom Tensorprodukt der vier Divisionsalgebren ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} \otimes \mathbb {O} }$ aus und betrachtet Teilchen als Ideale darin.[4] Die Raum-Zeit-Symmetrien (Lorentzgruppe) sind im ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$ Teil der Quaternionen, die Gruppenstruktur des Standardmodells im ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$ Teil der Oktonionen. 2018 implementierte sie darin die volle 1-2-3-Symmetriegruppe des Standardmodells mit einer Generation von Elementarteilchen.[5] Es entspricht einer Version der GUT mit Eichgruppe SU(5) von Howard Georgi und Sheldon Glashow, allerdings mit einer möglichen Erklärung für die Unterbindung des Protonzerfalls (die meisten GUTs sagen einen Protonenzerfall voraus, aufgrund der experimentellen Schranken für diesen wurde allerdings schon die einfachste (minimale) SU(5) Theorie ausgeschlossen). Sie fand auch eine Implementierung der ungebrochenen Symmetrien SU(3) und U(1) des Standardmodells mit drei Generationen.

Hyperkomplexe Zahlen:

• Biquaternion
• Quaternion
• Sedenion

• Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55654-0.
• Bartel Leendert van der Waerden: A history of Algebra. Springer, Heidelberg 1986.
• Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern. In: Math. Ann. 110, 1934, S. 416. Digitalisat
• John Baez: The Octonions. In: Bull. Amer. Math. Soc. 39, 2002, S. 145–205 (math.ucr.edu).
• John Horton Conway, Derek A. Smith: On Octonions and Quaternions. Natick MA: A. K. Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9.

1. John C. Baez, John Huerta: Exotische Zahlen und die Stringtheorie. In: Spektrum der Wissenschaft, Oktober 2011.
2. Günaydin, Gürsey, Quark structure and octonions, J. Math. Phys., Band 14, 1973, S. 1651, Abstract
3. Natalie Wolchover: The Peculiar Math That Could Underlie the Laws of Nature, Quanta Magazine], 20. Juli 2018
4. Furey, Standard model physics from algebra ?, Dissertation, Arxiv 2016
5. Furey, SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y( × U(1)X) as a symmetry of division algebraic ladder operators, European Physics J. C, Band 78, 2018, S. 375