Ogawa-Integral

Sei ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine vollständige Orthonormalbasis des Hilbert-Raumes ${\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}$.

Ein Prozess ${\displaystyle X\in \mathbf {H} }$ heißt ${\displaystyle \varphi }$-integrierbar, falls die zufällige Reihe

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}d_{\varphi }W_{t}:=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)dW_{t}}$

in Wahrscheinlichkeit konvergiert. Wir nennen dieses Summe das Ogawa-Integral bezüglich der Basis ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$.

Falls ${\displaystyle X}$ bezüglich jeder vollständigen Orthonormalbasis von ${\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}$ ${\displaystyle \varphi }$-integrierbar ist und die Werte der Integrale übereinstimmen, dann nennt man ${\displaystyle X}$ universell Ogawa-integerierbar (oder u-integrierbar).[2]

Das Ogawa-Integral kann auch bezüglich allgemeineren ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$-Prozessen ${\displaystyle Z_{t}}$ (wie zum Beispiel der gebrochenen Brownschen Bewegung) gebildet werden

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}d_{\varphi }Z_{t}:=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)dZ_{t},}$

sofern die Integrale

${\displaystyle \int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)dZ_{t}}$

definiert sind.[2]

• Die Konvergenz der Reihe hängt von der Wahl der Orthonormalbasis sowie von der Reihenfolge der Basis ab.
• Es existieren verschiedene äquivalente Definition, welche sich in ([3]) finden lassen. Eine Möglichkeit ist unter Verwendung des Satzes von Itō-Nisio.

Eine Orthonormalbasis ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ heißt regulär, falls

${\displaystyle \sup \limits _{n}\int _{0}^{T}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\varphi _{i}(t)\int _{0}^{t}\varphi _{i}(s)ds\right)^{2}dt<\infty .}$

Der Ausdruck in der Klammer muss also für alle ${\displaystyle n}$ eine endliche ${\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}$-Norm besitzen.

Folgende Resultate sind bekannt:

• Jedes Semimartingal (kausal oder nicht) ist genau dann ${\displaystyle \varphi }$-integrierbar, wenn ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$ regulär ist.[4]
• Es wurde gezeigt, dass eine nicht-reguläre Basis für ${\displaystyle L^{2}([0,1],dt)}$ existiert.[5]

• Stratonowitsch-Integral: Sei ${\displaystyle X}$ ein stetiges ${\displaystyle \mathbf {F} ^{W}}$-adaptiertes Semimartingal und universell-Ogawa-integrierbar bezüglich des Wienerprozesses, dann existiert auch das Stratonowitsch-Integral und es stimmt mit dem Ogawa-Integral überein.[9]
• Skorochod-Integral: Die Beziehungen zwischen dem Ogawa-Integral und dem Skorochod-Integral werden in ([10]) untersucht.