Offene Abbildung

Eine Abbildung (oder Funktion) ${\displaystyle f}$ von einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ in einen topologischen Raum ${\displaystyle Y}$ heißt offen, wenn das Bild ${\displaystyle f(O)}$ einer jeden offenen Teilmenge ${\displaystyle O}$ von ${\displaystyle X}$ eine offene Teilmenge von ${\displaystyle Y}$ ist.

• Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon \,X\to Y}$ ist genau dann offen, wenn für jeden Punkt ${\displaystyle x\in X}$ und jede Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ die Bildmenge ${\displaystyle f(U)}$ eine Umgebung von ${\displaystyle f(x)}$ in ${\displaystyle Y}$ ist.
• Sind ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle Z}$ topologische Räume und sind die Abbildungen ${\displaystyle f\colon \,X\to Y}$ und ${\displaystyle g\colon \,Y\to Z}$ beide offen, so ist auch die Komposition ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$ eine offene Abbildung.
• Offene Abbildungen sind in der Regel nicht stetig. Zum Beispiel ist die durch ${\displaystyle f(0)=0}$ und ${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$ definierte Abbildung nach dem großen Satz von Picard eine offene Abbildung, aber nicht stetig in ${\displaystyle 0}$.
• Ein Beispiel einer stetigen und nicht offenen Abbildung ist die mit einer irrationalen Zahl ${\displaystyle \alpha }$ durch ${\displaystyle f(x)=(e^{x2\pi i},e^{\alpha x2\pi i})}$ definierte Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to S^{1}\times S^{1}}$. Das Bild dieser Abbildung ist keine offene Teilmenge, sondern liegt dicht in ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$.
• Wenn ${\displaystyle Y}$ ein diskreter topologischer Raum ist, dann ist jede Abbildung nach ${\displaystyle Y}$ eine offene Abbildung, aber nur die lokal konstanten Abbildungen sind stetig.
• Stetige Abbildungen sind in der Regel nicht offen. So ist eine konstante Abbildung in der Regel nicht offen. Dasselbe Beispiel zeigt, dass abgeschlossene Abbildungen nicht offen sein müssen.
• Auch die durch ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ definierte Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ist stetig, aber nicht offen, denn ${\displaystyle f((-1,1))=[0,1)}$ ist nicht offen in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Eine offene Abbildung ist in der Regel nicht abgeschlossen. Die Abbildung ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\,(s,t)\mapsto s}$ ist offen, die Bildmenge der abgeschlossenen Menge ${\displaystyle \{(s,t)\colon s\geq 0,st\geq 1\}}$ ist die nicht-abgeschlossene Menge ${\displaystyle (0,\infty )}$.[1]
• Homöomorphismen sind stets offene Abbildungen. Eine stetige Bijektion ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn sie eine offene Abbildung ist.
• Sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ topologische Räume und ist ${\displaystyle f\colon \,X\to Y}$ eine Bijektion, so ist ${\displaystyle f}$ genau dann ein Homöomorphismus, wenn sowohl ${\displaystyle f}$ als auch die Umkehrabbildung ${\displaystyle f^{-1}\colon \,Y\to X}$ offene Abbildungen sind.
• In einem topologischen Produktraum ${\displaystyle X=\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ sind die kanonischen Projektionen ${\displaystyle p_{i}\colon X\to X_{i}}$ stets offen.
• Projektionen von Faserbündeln sind stets offene Abbildungen.
• Ein stetiger, linearer Operator zwischen zwei Banachräumen ist genau dann offen, wenn er surjektiv ist. (Satz über die offene Abbildung)
• Der Offenheitssatz der Funktionentheorie besagt, dass holomorphe Funktionen, die auf keiner Zusammenhangskomponente ihres offenen Definitionsbereichs konstant sind, offene Abbildungen sind.
• Nach dem Satz von der Invarianz offener Mengen ist im euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ für jede offene Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ und jede injektive stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ die Bildmenge ${\displaystyle f(U)\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ stets offen, also ${\displaystyle f}$ eine offene Abbildung.
• Der Satz von der offenen Abbildung aus der Theorie der lokalkompakten Gruppen besagt, dass jeder stetige, surjektive Gruppenhomomorphismus von einer σ-kompakten, lokalkompakten Gruppe auf eine lokalkompakte Gruppe automatisch offen ist.

• Nicolas Bourbaki: General Topology. Chapters 1–4. Springer, Berlin (u. u.) 1998, ISBN 978-3-540-64241-1
• Wolfgang Franz: Topologie I. Walter de Gruyter, 1973, ISBN 3-11-004117-0
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN=3-534-07016-X
• Joseph Muscat: Functional Analysis. An introduction to Metric Spaces, Hilbert Spaces, and Banach Algebras. Springer, Cham (u. u.) 2014, ISBN 978-3-319-06727-8
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67790-9
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6

1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, hinter Definition IV.3.1.