Numerischer Wertebereich (Hilbertraum)

Für einen komplexen Hilbertraum ${\displaystyle H}$ mit Skalarprodukt ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle }$ und einen beschränkten linearen Operator ${\displaystyle T\colon H\to H}$ ist der numerische Wertebereich von ${\displaystyle T}$ gegeben durch

${\displaystyle W(T):=\left\{\langle Tx,x\rangle$ :\lVert x\rVert =1\right\},}

wobei ${\displaystyle \lVert {\cdot }\rVert }$ die durch ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle }$ auf ${\displaystyle H}$ induzierte Norm ist.

Analog zum Spektralradius definiert man den numerischen Radius durch ${\displaystyle w(T):=\sup\{|\lambda |:\lambda \in W(T)\}}$.

Im Spezialfall komplexwertiger, quadratischer Matrizen ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist die Definition des numerischen Wertebereichs gleichwertig zu

${\displaystyle W(A)=\left\{{\frac {x^{*}Ax}{x^{*}x}}:x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\}\right\}.}$

${\displaystyle W(A)}$ ist hier also der Bildbereich des Rayleigh-Quotienten.

Die folgenden Eigenschaften gelten für beschränkte lineare Operatoren ${\displaystyle T\colon H\to H}$.

• ${\displaystyle W(T)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C}$ :|\lambda |\leq \lVert T\rVert \}} bzw. äquivalent dazu ${\displaystyle w(T)\leq \lVert T\rVert }$. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \lVert T\rVert }$ die Operatornorm von ${\displaystyle T}$.
• Der numerische Wertebereich von ${\displaystyle T}$ ist konvex. (Satz von Toeplitz-Hausdorff)
• Das Spektrum ${\displaystyle \sigma (T)}$ liegt im Abschluss von ${\displaystyle W(T)}$: ${\displaystyle \sigma (T)\subseteq {\overline {W(T)}}}$. Ist ${\displaystyle H}$ endlich-dimensional, gilt sogar ${\displaystyle \sigma (T)\subseteq W(T)}$.
• Jedes ${\displaystyle \lambda \in W(T)}$, für das ${\displaystyle |\lambda |=\lVert T\rVert }$ gilt, ist ein Eigenwert von ${\displaystyle T}$.

Der rechte reelle Achsenabschnitt des numerischen Wertebereichs ist die logarithmische Norm, bei einer Matrix ${\displaystyle A}$ ist dies

${\displaystyle \mu (A)=\max \left\{x^{*}Ax:\ x^{*}x=1\right\}.}$

Mit ihr kann eine Schranke für die Spektralnorm des Matrixexponentials angegeben werden, es gilt

${\displaystyle \|e^{tA}\|_{2}\leq e^{t\mu (A)},\ t\geq 0.}$

Denn ${\displaystyle y(t)=e^{tA}y_{0}}$ löst das Anfangswertproblem ${\displaystyle y'(t)=Ay(t),\,y(0)=y_{0}}$. Dann gilt für die Euklidnorm ${\displaystyle N(t)=\|y(t)\|^{2}}$, dass ihre Ableitung die Ungleichung ${\displaystyle N'(t)=2y(t)^{*}y'(t)=2y(t)^{*}Ay(t)\leq 2\mu (A)y(t)^{*}y(t)=\mu (A)N(t)}$ erfüllt, woraus ${\displaystyle N(t)\leq e^{2t\mu (A)}N(0)}$ folgt. Dies entspricht der Schranke für das Matrixexponential.

• E. Hairer, G. Wanner, Solving ordinary differential equations II, Springer, 1991.