Numerische Integration

Bei grafischen Verfahren wird der Graph des Integranden in ein Koordinatensystem mit linearen Achsen eingezeichnet und die Fläche zwischen Graph und Abszisse ermittelt.

Ein besonders einfaches Verfahren besteht darin, den Graphen auf Millimeterpapier aufzuzeichnen und dann die Anzahl der von der Fläche S erfassten "Quadratmillimeterkästchen" (Flächenelemente) zu ermitteln. Hierbei werden Flächenelemente, durch die der Graphen durchgeht, nur halb gezählt. Die Näherung ergibt sich dann mit der Anzahl der Quadratmillimeter ${\displaystyle N}$ und den Skalenteilen ${\displaystyle \Delta x}$ und ${\displaystyle \Delta y}$ zu:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx N\mathrm {mm} ^{2}\cdot {\tfrac {\Delta x}{\mathrm {mm} }}\cdot {\tfrac {\Delta y}{\mathrm {mm} }}}$

Ein weiteres grafisches Verfahren ist die Messung der Fläche mittels Planimeter.

Stützstellen im Intervall

Eine Quadraturformel besteht dabei im Allgemeinen aus einer gewichteten Summe von Funktionswerten

${\displaystyle Q(f)=(x_{o}-x_{n})\sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i}).}$

Die Stellen ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ heißen Stützstellen und die Zahlen ${\displaystyle w_{0},\ldots ,w_{n}}$ Gewichte. Die Gewichte sind hierbei von den Abständen einer Stützstelle zu den benachbarten Stützstellen abhängig. Es existieren verschiedene Ansätze, wie Stützstellen und Gewichte so gewählt werden können, dass der Quadraturfehler ${\displaystyle E(f)}$ möglichst klein wird.

Eine Quadraturformel hat den Genauigkeitsgrad (oder auch Exaktheitsgrad) ${\displaystyle n}$, wenn sie alle Polynomfunktionen bis zum Höchstgrad ${\displaystyle n}$ exakt integriert, und ${\displaystyle n}$ die größtmögliche natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft ist.

Ebenso wie das Integral sind Quadraturformeln lineare Operatoren.

Mit ${\displaystyle [c,d]}$ sei das kleinste Intervall bezeichnet, das die Stützstellen ${\displaystyle x_{i}}$ und das Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ enthält. Ferner sei ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (n+1)}$-mal stetig differenzierbar auf ${\displaystyle [c,d]}$. Gemäß der Interpolationsgüte des Interpolationspolynoms gibt es ein ${\displaystyle \xi (x)\in [c,d]}$, so dass gilt:

${\displaystyle f(x)-p_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi (x))}{(n+1)!}}\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i}).}$

Durch Integration erhält man die Fehlerformel für die numerische Quadratur

${\displaystyle E(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}p_{n}(x)\,dx={\frac {1}{(n+1)!}}\int _{a}^{b}f^{(n+1)}(\xi (x))\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})\,dx}$.

Falls ${\displaystyle f^{(n+1)}(x)=0}$ für alle ${\displaystyle x\in [c,d]}$ gilt, ist der Quadraturfehler gleich 0. Da das für alle Polynome bis zum Grad ${\displaystyle n}$ der Fall ist, ist der Genauigkeitsgrad dieser Quadraturformeln mindestens ${\displaystyle n}$.

Aus dieser Fehlerformel folgt die Fehlerabschätzung

${\displaystyle |E(f)|\leq {\frac {1}{(n+1)!}}\ \max _{c\leq x\leq d}{\left|f^{(n+1)}(x)\right|}\int _{a}^{b}\left|\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})\right|\,dx}$.

Falls die Funktion ${\displaystyle \prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})}$ im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ ihr Vorzeichen nicht wechselt, d. h. wenn keine Stützstelle im Intervall ${\displaystyle (a,b)}$ liegt, kann man mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung folgende Darstellung für das Restglied herleiten:

${\displaystyle E(f)={\frac {f^{(n+1)}(\zeta )}{(n+1)!}}\int _{a}^{b}\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})\,dx}$.

mit einer Zwischenstelle ${\displaystyle \zeta \in [c,d]}$.

Ähnliche Formeln für den Quadraturfehler erhält man auch bei speziellen Verteilungen der Stützstellen im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$, etwa für die Newton-Cotes-Formeln oder die Gauß-Quadraturformeln.

Ist die Funktion ${\displaystyle f}$ nur stetig, so gelten obige Aussagen nicht, der Fehler kann sehr groß werden.