Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt

• Ein Objekt ${\displaystyle X}$ heißt Anfangsobjekt, wenn es für jedes Objekt ${\displaystyle Y}$ der Kategorie genau einen Morphismus ${\displaystyle X\to Y}$ gibt.
• Ein Objekt ${\displaystyle X}$ heißt Endobjekt, wenn es für jedes Objekt ${\displaystyle Y}$ der Kategorie genau einen Morphismus ${\displaystyle Y\to X}$ gibt.

• Ein Objekt heißt Nullobjekt, wenn es gleichzeitig Anfangs- und Endobjekt ist.

• Je zwei Anfangsobjekte sind isomorph.
• Je zwei Endobjekte sind isomorph.
• Je zwei Nullobjekte sind isomorph.
• Ist ein Anfangsobjekt zu einem Endobjekt isomorph, dann handelt es sich um ein Nullobjekt.

Die in all diesen Fällen auftretenden Isomorphismen sind jeweils eindeutig bestimmt. Zusammenfassend bedeutet dies:

Anfangs-, End- und Nullobjekte sind (sofern sie existieren) jeweils eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.

• Das Anfangsobjekt ist ein Sonderfall des Koprodukts, nämlich für die leere Familie von Objekten.
• Das Endobjekt ist ein Sonderfall des Produkts, nämlich für die leere Familie von Objekten.

• In der Kategorie der Mengen ist die leere Menge das Anfangsobjekt und jede einelementige Menge ein Endobjekt. Diese Kategorie hat kein Nullobjekt.
• In der Kategorie der Gruppen oder der abelschen Gruppen ist die triviale Gruppe (die nur aus dem neutralen Element besteht) Nullobjekt.
• In der Kategorie der nichtleeren Halbgruppen gibt es kein Anfangsobjekt. Lässt man die leere Halbgruppe zu, so ist diese das Anfangsobjekt. In beiden Fällen ist jede einelementige Halbgruppe Endobjekt.
• In der Kategorie der Vektorräume über einem Körper (oder allgemeiner der Moduln über einem Ring) ist der Nullvektorraum (bzw. der Nullmodul) Nullobjekt.
• In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist der Ring Z der ganzen Zahlen Anfangsobjekt und der Nullring Endobjekt.
• In der Kategorie beliebiger Ringe ist der Nullring Nullobjekt.
• In der Kategorie der punktierten topologischen Räume sind die einpunktigen Räume Nullobjekte.
• Man kann jede partielle Ordnung als Kategorie auffassen, indem man festlegt, dass genau dann ein Pfeil von ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle y}$ geht, wenn ${\displaystyle x\leq y}$ gilt. Ein Anfangsobjekt entspricht dann dem kleinsten Element der Ordnung (falls es existiert). Ein Endobjekt entspricht dem größten Element.

Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt ${\displaystyle 0}$, so gibt es zu je zwei Objekten ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus ${\displaystyle 0\colon X\to Y}$, der die Verkettung von

${\displaystyle X\to 0\to Y}$

ist. Genauer schreibt man ${\displaystyle 0_{X,Y}}$, um die Abhängigkeit von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ auszudrücken. Da die Morphismenmengen einer Kategorie definitionsgemäß paarweise disjunkt sind, gilt ${\displaystyle 0_{X,Y}=0_{X',Y'}}$ nur für ${\displaystyle X=X'}$ und ${\displaystyle Y=Y'}$.

Nullmorphismen ${\displaystyle 0\colon X\to Y}$ in konkreten Kategorien sind in der Regel solche, die alle Elemente aus ${\displaystyle X}$ auf ein Nullelement oder neutrales Element (je nach Kategorie) von ${\displaystyle Y}$ abbilden. Beispiele sind:

• In der Kategorie der Gruppen ist der Nullmorphismus ${\displaystyle 0_{X,Y}\colon X\to Y}$ derjenige Homomorphismus, der jedes Element aus ${\displaystyle X}$ auf das neutrale Element von ${\displaystyle e_{Y}\in Y}$ abbildet, das heißt ${\displaystyle 0_{X,Y}(x)=e_{Y}}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$.
• In der Kategorie der Moduln über einem Ring ${\displaystyle R}$ ist der Nullmorphismus ${\displaystyle 0_{X,Y}\colon X\to Y}$ diejenige ${\displaystyle R}$-lineare Abbildung, die jedes Element aus ${\displaystyle X}$ auf das Nullelement von ${\displaystyle 0_{Y}\in Y}$ abbildet, das heißt ${\displaystyle 0_{X,Y}(x)=0_{Y}}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$.
• In der Kategorie der punktierten topologischen Räume ist der Nullmorphismus ${\displaystyle 0_{X,Y}\colon X\to Y}$ diejenige Abbildung, die jedes Element aus ${\displaystyle X}$ auf den ausgezeichneten Punkt ${\displaystyle p_{Y}\in Y}$ abbildet, das heißt ${\displaystyle 0_{X,Y}(x)=p_{Y}}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$. Beachte, dass diese Abbildung als konstante Abbildung stetig ist.

In Kategorien mit Nullobjekten gibt es damit den Begriff des Kerns eines Morphismus ${\displaystyle f}$, dieser ist als Differenzkern des Paares ${\displaystyle (f,0)}$ definiert.

Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem Koprodukt in das entsprechende Produkt.

• Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim-Wien-Zürich 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel I, Absatz 3.3: Nullobjekte und Nullmorphismen.