Nuklearer Raum

Ist ${\displaystyle p}$ eine stetige Halbnorm auf dem lokalkonvexen Raum ${\displaystyle E}$, so ist ${\displaystyle N_{p}:=\{x\in E;p(x)=0\}}$ ein abgeschlossener Untervektorraum von ${\displaystyle E}$ und durch ${\displaystyle \|x+N_{p}\|_{p}:=p(x)}$ wird eine Norm auf dem Faktorraum ${\displaystyle E_{p}:=E/N_{p}}$ erklärt. Die Vervollständigung dieses normierten Raums wird mit ${\displaystyle B_{p}}$ bezeichnet. Ist ${\displaystyle q}$ eine weitere stetige Halbnorm mit ${\displaystyle p\leq q}$, so definiert ${\displaystyle x+N_{q}\mapsto x+N_{p}}$ einen stetigen linearen Operator ${\displaystyle E_{q}\rightarrow E_{p}}$, der sich stetig zu einem linearen Operator ${\displaystyle \kappa _{qp}\colon B_{q}\rightarrow B_{p}}$ fortsetzen lässt. Die ${\displaystyle B_{p}}$ heißen die lokalen Banachräume und die Operatoren ${\displaystyle \kappa _{qp}}$ heißen kanonische Abbildungen von ${\displaystyle E}$.

Mit diesen Begriffen gelingt eine innere Charakterisierung nuklearer Räume, das heißt ohne Bezugnahme auf andere Räume:

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn es zu jeder stetigen Halbnorm ${\displaystyle p}$ eine weitere stetige Halbnorm ${\displaystyle q\geq p}$ gibt, so dass die kanonische Abbildung ${\displaystyle \kappa _{qp}}$ ein nuklearer Operator ist.

Es genügt natürlich, sich auf ein gerichtetes System erzeugender Halbnormen zu beschränken.

Die nun folgenden Charakterisierungen rücken die nuklearen Räume in die Nähe der Hilberträume.

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn es ein gerichtetes System ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ von die Topologie erzeugenden Halbnormen gibt, so dass jeder lokale Banachraum ${\displaystyle B_{p},p\in {\mathcal {P}}}$, ein Hilbertraum ist und es zu jedem ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ ein ${\displaystyle q\in {\mathcal {P}},q\geq p}$, gibt, so dass die kanonische Abbildung ${\displaystyle \kappa _{qp}}$ ein Hilbert-Schmidt-Operator ist.

Ist ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ eine Hermitesche Form auf ${\displaystyle E}$ mit ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$ für alle ${\displaystyle x\in E}$ (d. h. die Hermitesche Form ist nicht-negativ), so ist durch ${\displaystyle x\mapsto \langle x,x\rangle ^{\frac {1}{2}}}$ eine Halbnorm auf ${\displaystyle E}$ definiert. Solche Halbnormen nennt man Hilbert-Halbnormen.

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn es ein gerichtetes System ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ erzeugender Hilbert-Halbnormen gibt, so dass es zu jedem ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ ein ${\displaystyle q\in {\mathcal {P}},q\geq p}$, gibt, so dass die kanonische Abbildung ${\displaystyle \kappa _{qp}}$ ein Hilbert-Schmidt-Operator ist.

Es gibt zwei wichtige Methoden, das Tensorprodukt ${\displaystyle E\otimes F}$ zweier lokalkonvexer Räume mit einer geeigneten lokalkonvexen Topologie auszustatten. Seien ${\displaystyle U\subset E}$ und ${\displaystyle V\subset F}$ abgeschlossene, absolutkonvexe Nullumgebungen. ${\displaystyle \pi _{U,V}}$ sei das Minkowski-Funktional der absolutkonvexen Hülle von ${\displaystyle U\otimes V:=\{x\otimes y;x\in U,y\in V\}}$. Weiter bezeichne ${\displaystyle U^{\circ }:=\{\varphi \in E^{\,\prime }\,;\,{\rm {Re}}(\varphi (x))\leq 1\ \forall \,x\in U\}}$ die Polare von ${\displaystyle U}$ und analog ${\displaystyle V^{\circ }}$ die Polare von ${\displaystyle V}$. Man erhält eine weitere Halbnorm ${\displaystyle \epsilon _{U,V}}$ auf ${\displaystyle E\otimes F}$ durch die Definition ${\displaystyle \textstyle \epsilon _{U,V}(\sum _{j=1}^{n}x_{j}\otimes y_{j}):=\sup\{|\sum _{j=1}^{n}\phi (x_{j})\psi (y_{j})|;\,\phi \in U^{\circ },\psi \in V^{\circ }\}}$.

Das projektive Tensorprodukt oder ${\displaystyle \pi }$-Tensorprodukt ${\displaystyle E\otimes _{\pi }F}$ ist der Tensorproduktraum mit dem System der Halbnormen ${\displaystyle \pi _{U,V}}$, wobei ${\displaystyle U\subset E}$ und ${\displaystyle V\subset F}$ die abgeschlossenen, absolutkonvexen Nullumgebungen durchlaufen. Entsprechend ist das injektive Tensorprodukt oder ${\displaystyle \epsilon }$-Tensorprodukt ${\displaystyle E\otimes _{\epsilon }F}$ der mit dem System der Halbnormen ${\displaystyle \epsilon _{U,V}}$ ausgestattete Tensorproduktraum.

Leicht überlegt man sich, dass stets ${\displaystyle \epsilon _{U,V}\leq \pi _{U,V}}$ gilt, d. h. ${\displaystyle id:E\otimes _{\pi }F\rightarrow E\otimes _{\epsilon }F}$ ist stetig. Diese Abbildung ist im Allgemeinen kein Homöomorphismus. Es gilt:

• Ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle E}$ ist genau dann nuklear, wenn ${\displaystyle id:E\otimes _{\pi }F\rightarrow E\otimes _{\epsilon }F}$ für jeden lokalkonvexen Raum ${\displaystyle F}$ ein Homöomorphismus ist.

• Ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle E}$ ist genau dann nuklear, wenn ${\displaystyle id:E\otimes _{\pi }F\rightarrow E\otimes _{\epsilon }F}$ für jeden Banachraum ${\displaystyle F}$ ein Homöomorphismus ist.

• Ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle E}$ ist genau dann nuklear, wenn ${\displaystyle id:E\otimes _{\pi }\ell ^{1}\rightarrow E\otimes _{\epsilon }\ell ^{1}}$ ein Homöomorphismus ist.

Diese Charakterisierung ist die ursprüngliche von Grothendieck verwendete Definition der Nuklearität.

Ist ${\displaystyle U\subset E}$ eine absolutkonvexe Nullumgebung, so ist die Polare ${\displaystyle U^{\circ }}$ eine absolutkonvexe und absorbierende Menge im Vektorraum ${\displaystyle \textstyle E_{U^{\circ }}:=\bigcup _{\lambda >0}\lambda U^{\circ }\subset E\,'}$, ${\displaystyle \|\cdot \|_{U^{\circ }}}$ sei das zugehörige Minkowski-Funktional. Eine Bilinearform ${\displaystyle b:E\times F\rightarrow {\mathbb {K} }}$ heißt nuklear, falls es absolutkonvexe Nullumgebungen ${\displaystyle U\subset E}$ und ${\displaystyle V\subset F}$ sowie Folgen ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ in ${\displaystyle E_{U^{\circ }}}$ und ${\displaystyle (b_{n})_{n}}$ in ${\displaystyle E_{V^{\circ }}}$ gibt mit ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\|a_{n}\|_{U^{\circ }}\|b_{n}\|_{V^{\circ }}<\infty }$ und ${\displaystyle \textstyle b(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)b_{n}(y)}$ für alle ${\displaystyle x\in E}$ und ${\displaystyle y\in F}$.

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn jede stetige Bilinearform ${\displaystyle E\times F\rightarrow {\mathbb {K} }}$ für jeden lokalkonvexen Raum ${\displaystyle F}$ nuklear ist.

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn jede stetige Bilinearform ${\displaystyle E\times F\rightarrow {\mathbb {K} }}$ für jeden Banachraum ${\displaystyle F}$ nuklear ist.

Diese Charakterisierung nuklearer Räume nennt man auch die abstrakte Form des Satzes vom Kern.

Ist ${\displaystyle U\subset E}$ eine absolutkonvexe Nullumgebung, so sei ${\displaystyle p_{U}}$ das zugehörige Minkowski-Funktional. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ sei eine Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen. Sei ${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}\{E\}:=\{(x_{n})_{n}\in E^{\mathbb {N} }\,;\,\sum _{n=1}^{\infty }p_{U}(x_{n})<\infty \,\forall U\in {\mathcal {U}}\}}$ mit den Halbnormen ${\displaystyle \textstyle q_{U}((x_{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }p_{U}(x_{n})}$ versehen. Der dadurch entstehende lokalkonvexe Raum heißt in naheliegender Weise Raum der absoluten Cauchy-Reihen. In dieser Definition wird nicht verlangt, dass die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ in ${\displaystyle E}$ konvergiert.

Weiter betrachten wir den Raum ${\displaystyle \ell ^{1}[E]:=\{(x_{n})_{n}\in E^{\mathbb {N} }\,;\,(f(x_{n}))_{n}\in \ell ^{1}\,\,\forall f\in E'\}}$ mit den Halbnormen ${\displaystyle \textstyle \epsilon _{U}((x_{n})_{n}):=\sup _{f\in U^{\circ }}\sum _{n=01}^{\infty }|f(x_{n})|}$, wobei ${\displaystyle U^{\circ }}$ wie oben die Polare von ${\displaystyle U}$ bezeichnet und ${\displaystyle U}$ die Nullumgebungsbasis ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ durchläuft. Dieser lokalkonvexe Raum heißt Raum der unbedingten Cauchy-Reihen, denn aus dem riemannschen beziehungsweise steinitzschen Umordnungssatz folgt leicht, dass mit ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ auch jede permutierte Folge ${\displaystyle (x_{\sigma (n)})_{n}}$ in ${\displaystyle \ell ^{1}[E]}$ liegt.

Sowohl ${\displaystyle \ell ^{1}\{E\}}$ als auch ${\displaystyle \ell ^{1}[E]}$ sind unabhängig von der speziellen Wahl der Nullumgebungsbasis. Die nuklearen Räume erweisen sich nun als diejenigen, in denen absolute Cauchy-Reihen und unbedingte Cauchy-Reihen zusammenfallen:

• Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann nuklear, wenn ${\displaystyle \ell ^{1}\{E\}=\ell ^{1}[E]}$ als Mengen und als topologische Räume.

Der hier vorgestellte auf T. Kōmura und Y. Kōmura zurückgehende Satz zeigt, dass der in den Beispielen angegebene Folgenraum ${\displaystyle s}$ der schnell fallenden Folgen ein Generator aller nuklearen Räume ist.

• Ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle E}$ ist genau dann nuklear, wenn es eine Menge ${\displaystyle I}$ gibt, so dass ${\displaystyle E}$ isomorph zu einem Unterraum von ${\displaystyle s^{I}}$ ist.

Unter den normierten Räumen sind genau die endlichdimensionalen nuklear.

Sei ${\displaystyle s:=\{(x_{n})_{n}\in {\mathbb {K} }^{\mathbb {N} };(x_{n}n^{k})_{n}\in \ell ^{1}\,\,\forall k\in {\mathbb {N} }\}}$ mit den Halbnormen ${\displaystyle \textstyle p_{k}((x_{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}n^{k}|}$. Dieser lokalkonvexe Raum heißt Raum der schnell fallenden Folgen und ist nach obigem Satz von Kōmura-Kōmura ein Prototyp eines nuklearen Raums.

Wichtige Beispiele sind auch Räume differenzierbarer Funktionen. Sei ${\displaystyle \Omega \subset {\mathbb {R} }^{n}}$ offen und ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}$ der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow {\mathbb {R} }}$ mit den Halbnormen ${\displaystyle p_{K,m}(f):=\sup _{|\alpha |\leq m}\sup _{x\in K}|D^{\alpha }f(x)|}$, wobei ${\displaystyle m\in {\mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle K\subset \Omega }$ kompakt ist. Dabei wurde für ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ die Multiindex-Schreibweise verwendet. Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}$ ein nuklearer Raum.

Sei ${\displaystyle \Omega \subset {\mathbb {R} }^{n}}$ offen und ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )\subset {\mathcal {E}}(\Omega )}$ der Unterraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit einem kompakten Träger in ${\displaystyle \Omega }$. Für kompaktes ${\displaystyle K\subset \Omega }$ sei ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )}$ der Raum der Funktionen mit Träger in K mit der von ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}$ induzierten Teilraumtopologie. Dann gibt es eine feinste lokalkonvexe Topologie auf ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$, die alle Einbettungen ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )\subset {\mathcal {D}}(\Omega )}$ stetig macht. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ mit dieser Topologie heißt der Raum der Testfunktionen und spielt eine wichtige Rolle in der Distributionstheorie. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ ist ein Beispiel für einen nicht-metrisierbaren nuklearen Raum.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathbb {R} }^{n})}$ der Raum aller Funktionen ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }}$, für die alle Suprema ${\displaystyle \textstyle p_{k,m}(f):=\sup _{|\alpha |\leq k}\sup _{x\in {\mathbb {R} }^{n}}|(1+|x|^{2})^{m}D^{\alpha }f(x)|}$ endlich sind. Dabei wurde wieder von der Multiindex-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathbb {R} }^{n})}$ mit den Halbnormen ${\displaystyle \{p_{k,m};\,k,m\in {\mathbb {N} }_{0}\}}$ heißt Raum der schnell fallenden Funktionen und ist ebenfalls nuklear.

Sei ${\displaystyle \Omega \subset {\mathbb {C} }}$ offen und ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\Omega )}$ der Raum aller holomorphen Funktionen ${\displaystyle \Omega \rightarrow {\mathbb {C} }}$. Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\Omega )}$ mit den Halbnormen ${\displaystyle p_{K}:=p_{K,0}}$, wobei ${\displaystyle K\subset \Omega }$ kompakt ist, ein nuklearer Raum.