Normaler Zustand

Es sei ${\displaystyle A}$ eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$. Ein Zustand ist ein lineares Funktional ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle f(1)=1}$ und ${\displaystyle f(a^{*}a)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$. Man kann zeigen, dass Zustände automatisch stetig sind mit ${\displaystyle \|f\|=1}$, das gilt sogar für jede C*-Algebra. Für Von-Neumann-Algebren stehen weitere Operatortopologien zur Verfügung und es ist daher nur natürlich, Stetigkeitseigenschaften bzgl. dieser Topologien zu studieren.

Ferner sind Von-Neumann-Algebren gegenüber der Supremumsbildung nach oben gerichteter Familien selbstadjungierter Elemente abgeschlossen. Dabei ist die Ordnung ${\displaystyle a\leq b}$ für ${\displaystyle a,b\in A}$ durch die Bedingung ${\displaystyle \langle a\xi ,\xi \rangle \leq \langle b\xi ,\xi \rangle }$ für alle ${\displaystyle \xi \in H}$ definiert. Man wird Zustände betrachten wollen, die Suprema erhalten. Wir definieren daher:

Ein Zustand ${\displaystyle f}$ auf der Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt normal, wenn folgendes gilt: Ist ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ein monoton wachsendes Netz in ${\displaystyle A}$ mit Supremum ${\displaystyle a\in A}$, so gilt ${\displaystyle \textstyle \sup _{i\in I}f(a_{i})=f(a)}$.[1]

Ein Spezialfall eines monotonen Netzes entsteht durch eine Familie paarweise orthogonaler Orthogonalprojektionen, das heißt von Elementen ${\displaystyle e_{i}\in A}$ mit ${\displaystyle e_{i}^{*}=e_{i}=e_{i}^{2}}$ und ${\displaystyle e_{i}e_{j}=0}$ für alle ${\displaystyle i\not =j}$. Dann ist die Familie aller endlichen Summen von Elementen dieser Familie ein aufsteigendes Netz von Orthogonalprojektionen, dessen Supremum man die Summe ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}e_{i}}$ nennt.

Ein Zustand ${\displaystyle f}$ auf der Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt vollständig additiv, wenn folgendes gilt: Ist ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ eine Familie paarweise orthogonaler Orthogonalprojektionen in ${\displaystyle A}$, so ist ${\displaystyle \textstyle f(\sum _{i\in I}e_{i})=\sum _{i\in I}f(e_{i})}$.[2]

Definitionsgemäß ist die vollständige Additivität schwächer als die Normalität, da bei ersterer nur die Supremumsbildung ganz bestimmter Netze gefordert wird. Da Orthogonalprojektionen die Norm 1 haben, handelt es sich zudem um eine Bedingung, die auf die Einheitskugel ${\displaystyle A_{1}}$ von ${\displaystyle A}$ beschränkt ist. Es gilt:[3][4]

Für einen Zustand ${\displaystyle f}$ auf der Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle f}$ ist normal.
• ${\displaystyle f}$ ist vollständig additiv.
• Es gibt einen positiven Spurklasseoperator ${\displaystyle s}$ mit ${\displaystyle f(a)=\mathrm {Sp} (sa)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$
• ${\displaystyle f}$ ist bzgl. der ultraschwachen Topologie stetig.
• ${\displaystyle f}$ ist bzgl. der ultrastarken Topologie stetig.
• ${\displaystyle f|_{A_{1}}}$ ist bzgl. der schwachen Operatortopologie stetig.
• ${\displaystyle f|_{A_{1}}}$ ist bzgl. der starken Operatortopologie stetig.

Dabei bedeutet ${\displaystyle f|_{A_{1}}}$ die Einschränkung von ${\displaystyle f}$ auf die Einheitskugel ${\displaystyle A_{1}}$. Die ersten beiden Bedingungen beziehen sich nur auf die Ordnungsstruktur der Von-Neumann-Algebra und diese lässt sich sogar rein algebraisch definieren, denn ${\displaystyle a\leq b}$ ist äquivalent zu ${\displaystyle b-a=c^{*}c}$ für ein ${\displaystyle c\in A}$. Obiger Satz zeigt, dass diese Bedingungen zu rein topologischen Bedingungen äquivalent sind.

Die Stetigkeitsbedingungen in obiger Liste äquivalenter Bedingungen kann man auch an beliebige lineare Funktionale ${\displaystyle A\rightarrow \mathbb {C} }$ stellen; man spricht dann von normalen Funktionalen. Die normalen Funktionale bilden einen Unterraum des Dualraums ${\displaystyle A^{\#}}$ von ${\displaystyle A}$. Dieser ist normabgeschlossen und wird von den normalen Zuständen erzeugt; er wird mit ${\displaystyle A_{\#}}$ bezeichnet.

Jedes Element ${\displaystyle a\in A}$ der Von-Neumann-Algebra definiert mittels ${\displaystyle \varphi _{a}(f):=f(a)}$ ein stetiges lineares Funktional ${\displaystyle \varphi _{a}}$ auf ${\displaystyle A_{\#}}$ und man kann zeigen, dass ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow (A_{\#})^{\#},\,a\mapsto \varphi _{a}}$ ein isometrischer Isomorphismus ist. In diesem Sinne ist ${\displaystyle A}$ der Dualraum von ${\displaystyle A_{\#}}$; letzteren nennt man daher den Prädualraum von ${\displaystyle A}$.[5]

Diese Überlegungen zeigen, dass jede Von-Neumann-Algebra als Dualraum eines Banachraums auftritt. Nach einem Satz von S. Sakai charakterisiert dies die Von-Neumann-Algebren und den C*-Algebren.

Bekanntlich definiert jeder Zustand ${\displaystyle f}$ auf einer C*-Algebra ${\displaystyle A}$ mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung ${\displaystyle \pi _{f}:A\rightarrow L(H_{f})}$ in die Algebra der Operatoren auf einem Hilbertraum ${\displaystyle H_{f}}$. Ist ${\displaystyle A}$ eine Von-Neumann-Algebra und ${\displaystyle f}$ ein normaler Zustand, so ist ${\displaystyle \pi _{f}}$ ultraschwach stetig und das Bild ${\displaystyle \pi _{f}(A)}$ ist eine Von-Neumann-Algebra.[6]

• σ-endliche Von-Neumann-Algebren zeichnen sich dadurch aus, dass es auf ihnen einen treuen, normalen Zustand gibt.

1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Definition 7.1.11
2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Definition 7.1.11
3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 7.1.12
4. Ola Bratteli, Derek W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Theorem 2.4.21
5. Ola Bratteli, Derek W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Satz 2.4.18
6. Ola Bratteli, Derek W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Theorem 2.4.24