Normalenform

In der Normalenform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ und einen Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$ beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Gleichung

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0}$

erfüllen. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \cdot }$ das Skalarprodukt zweier Vektoren, welches null ist, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Gerade, der auch als Stützpunkt oder Aufpunkt bezeichnet wird. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet. In der Normalenform werden demnach die Punkte der Geraden implizit dadurch definiert, dass der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor der Gerade steht. Eine äquivalente Darstellung der Normalenform ist

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}$.

Ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Normalengleichung nicht erfüllt, liegt für ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}>{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}$ auf derjenigen Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite.

Ausgeschrieben lautet die Normalenform einer Geradengleichung

${\displaystyle (x_{1}-p_{1})\cdot n_{1}+(x_{2}-p_{2})\cdot n_{2}=0}$.

Im Bild oben ist beispielsweise der Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}={\tbinom {2}{2}}}$ und der Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}={\tbinom {1}{2}}}$, und man erhält als Geradengleichung

${\displaystyle (x_{1}-2)\cdot 1+(x_{2}-2)\cdot 2=0}$.

Jede Wahl von ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise ${\displaystyle (2,2)}$ oder ${\displaystyle (4,1)}$, entspricht dann einem Geradenpunkt.

Aus der Parameterform einer Geradengleichung lässt sich ein Normalenvektor der Geraden bestimmen, indem die beiden Komponenten des Richtungsvektors ${\displaystyle {\vec {u}}}$ der Geraden vertauscht werden und bei einer der beiden Komponenten das Vorzeichen geändert wird, das heißt

${\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}-u_{2}\\u_{1}\end{pmatrix}}}$.

Der Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ kann aus der Parameterform übernommen werden.

Aus der Zweipunkteform einer Geradengleichung wird zunächst ein Richtungsvektor der Geraden als Differenzvektor zwischen den Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {p}}}$ und ${\displaystyle {\vec {q}}}$ der beiden Punkte ermittelt und dann wie bei der Parameterform verfahren, also

${\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}-(q_{2}-p_{2})\\q_{1}-p_{1}\end{pmatrix}}}$.

Als Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ kann der Ortsvektor einer der Punkte verwendet werden.

Aus der Koordinatenform einer Geradengleichung mit den Parametern ${\displaystyle a,b}$ und ${\displaystyle c}$ lässt sich ein Normalenvektor der Gerade direkt als

${\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$

ablesen. Einen Stützvektor der Gerade erhält man, je nachdem ob ${\displaystyle a}$ oder ${\displaystyle b}$ ungleich null ist, durch Wahl von

${\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}c/a\\0\end{pmatrix}}}$   oder   ${\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}0\\c/b\end{pmatrix}}}$.

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform einer Geradengleichung ein Normalenvektor und ein Stützvektor ermitteln.

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Normalenform ebenfalls durch einen Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ und einen Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$ beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Gleichung

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0}$

erfüllen. Der Stützvektor ist dabei wiederum der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene und der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Das bedeutet, dass der Normalenvektor mit allen Geraden der Ebene, die durch den Stützpunkt verlaufen, einen rechten Winkel bildet. Eine äquivalente Darstellung der Normalenform ist wiederum

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}$

und ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Normalengleichung erfüllt, liegt auf der Ebene. Gilt ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}>{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}$, dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

Die Ebene (blau) verläuft rechtwinklig zur Strecke ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ (grün) durch denn Punkt ${\displaystyle P}$ (rot). Auf derselben Ebene liegen auch die Punkte (türkis) ${\displaystyle B(3,2,1)}$, ${\displaystyle C(2,0,1)}$ und ${\displaystyle D(1,2,3)}$

Ausgeschrieben lautet die Normalenform einer Ebenengleichung

${\displaystyle (x_{1}-p_{1})\cdot n_{1}+(x_{2}-p_{2})\cdot n_{2}+(x_{3}-p_{3})\cdot n_{3}=0}$.

Ist beispielsweise (siehe Bild) der Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}=(3,2,1)^{T}}$ und der Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}=(2,-1,2)^{T}}$, so erhält man als Ebenengleichung

${\displaystyle (x-3)\cdot 2+(y-2)\cdot (-1)+(z-1)\cdot 2=0\;\;\Rightarrow }$

${\displaystyle 2x-y+2z=6.}$

Jede Wahl von ${\displaystyle (x,y,z)}$, die die Ebenengleichung erfüllt, beispielsweise ${\displaystyle (2,0,1)}$ oder ${\displaystyle (1,2,3)}$, entspricht dann einem Ebenenpunkt.

Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit den beiden Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {u}}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}}$ lässt sich ein Normalenvektor der Ebene durch Berechnung des Kreuzprodukts

${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}}$

bestimmen. Der Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ kann aus der Parameterform übernommen werden.

Aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung werden zunächst zwei Richtungsvektoren als Differenzvektoren zwischen den Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {p}}}$, ${\displaystyle {\vec {q}}}$ und ${\displaystyle {\vec {r}}}$ jeweils zweier Punkte ermittelt und dann wie bei der Parameterform das Kreuzprodukt

${\displaystyle {\vec {n}}=({\vec {q}}-{\vec {p}})\times ({\vec {r}}-{\vec {p}})}$

berechnet. Als Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ kann der Ortsvektor einer der Punkte verwendet werden.

Aus der Koordinatenform einer Ebenengleichung mit den Parametern ${\displaystyle a,b,c}$ und ${\displaystyle d}$ lässt sich ein Normalenvektor der Ebene als

${\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}$

ablesen. Einen Stützvektor erhält man, je nachdem welche der Zahlen ${\displaystyle a,b,c}$ ungleich null ist, durch Wahl von

${\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}d/a\\0\\0\end{pmatrix}},~{\vec {p}}={\begin{pmatrix}0\\d/b\\0\end{pmatrix}}}$   oder   ${\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}0\\0\\d/c\end{pmatrix}}}$.

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform einer Ebenengleichung ein Normalenvektor und ein Stützvektor ermitteln.