Normale Konvergenz

Sei ${\displaystyle X}$ ein beliebiger topologischer Raum. Für Funktionen ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ und eine beliebige Teilmenge ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle X}$ sei

${\displaystyle \Vert f\Vert _{A}:=\sup _{x\in A}\left|f(x)\right|}$

die Supremumsnorm. Eine Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$ von Funktionen ${\displaystyle f_{n}\colon X\to \mathbb {C} }$ heißt normal konvergent, wenn es zu jedem ${\displaystyle x\in X}$ eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ gibt, sodass gilt:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\Vert f_{n}\Vert _{U}<\infty }$

Betrachte die Funktionenfolge ${\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}}$ auf dem kompakten Intervall ${\displaystyle I:=[-q,q]}$ mit ${\displaystyle 0<q<1}$. Dann ist ${\displaystyle \Vert f_{n}\Vert _{I}=q^{n}}$ und die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\Vert f_{n}\Vert _{I}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}}$

konvergiert (als geometrische Reihe wegen ${\displaystyle |q|<1}$). Die Funktionenreihe ist also normal konvergent und ihre Grenzfunktion ${\displaystyle \textstyle x\mapsto {\frac {1}{1-x}}}$ ist stetig auf ${\displaystyle I}$.

Der Begriff der normalen Konvergenz ist ein relativ starker Konvergenzbegriff, denn für jede in ${\displaystyle X}$ normal konvergente Reihe ist diese dort auch lokal gleichmäßig konvergent, das heißt, zu jedem Punkt ${\displaystyle x_{0}\in X}$ gibt es eine Umgebung ${\displaystyle U(x_{0})}$, in der die Reihe gleichmäßig konvergiert. Damit ist jede normal konvergente Reihe auch kompakt konvergent, da dies aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt.

Wichtig sind noch folgende Tatsachen:

• Linearkombinationen und das Produkt normal konvergenter Reihen sind wieder normal konvergent.
• Sind alle ${\displaystyle f_{n}}$ stetig, so ist auch die Grenzfunktion ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$ stetig, wenn ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$ normal konvergiert.
• Konvergiert eine Reihe normal, so konvergieren alle Umordnungen dieser Reihe normal, und zwar gegen dieselbe Grenzfunktion.

• R. Remmert: Funktionentheorie I. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1989, ISBN 3-540-51238-1.
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer Verlag, 3. Auflage, 1995.