Normale Größenordnung

Es sei ${\displaystyle f}$ eine Funktion über den natürlichen Zahlen. Man sagt, ${\displaystyle f}$ ist von der normalen Größenordnung ${\displaystyle g}$, wenn für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ die Ungleichung

${\displaystyle |f(n)-g(n)|<\varepsilon \cdot g(n)}$

für "fast alle" ${\displaystyle n}$ erfüllt ist. Damit ist hier gemeint, dass die asymptotische Dichte der Zahlen, die ihr genügen, gleich 1 ist: Wenn also ${\displaystyle a(N,\varepsilon )}$ als Anzahl dieser Zahlen im Intervall ${\displaystyle n\in [1,N]}$ definiert wird, ist für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ der Grenzwert ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {a(N,\varepsilon )}{N}}=1}$.

Üblicherweise benutzt man Näherungsfunktionen ${\displaystyle g}$, die stetig und monoton sind.

Natürlich besitzt nicht jede zahlentheoretische Funktion eine normale Größenordnung. So hat z. B. die Funktion

${\displaystyle f(n):=0}$ (${\displaystyle n}$ gerade), ${\displaystyle f(n):=2}$ (${\displaystyle n}$ ungerade) keine normale Größenordnung (sie hat aber die durchschnittliche Größenordnung ${\displaystyle f(n)\sim 1}$.)

Werte und normale Größenordnung von ω(n) und Ω(n)

Werte und normale Größenordnung von ln (d(n))

• Die normale Größenordnung der Ordnung ${\displaystyle \Omega (n)}$ von ${\displaystyle n}$, also der Anzahl der (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren von ${\displaystyle n}$, als auch von ${\displaystyle \omega (n)}$ als Zahl der verschiedenen Primfaktoren, ist ${\displaystyle \ln \ln n}$ und ist damit auch gleich ihrer durchschnittlichen Größenordnung (Satz von Hardy und Ramanujan).
  Da die Funktion ${\displaystyle \ln \ln n}$ sehr langsam wächst, bedeutet das, dass z. B. eine Zahl in der Nähe von ${\displaystyle 10^{80}}$ (näherungsweise die Anzahl der Protonen im sichtbaren Universum) im Allgemeinen aus 5 oder 6 Primfaktoren zusammengesetzt ist.
• Die normale Größenordnung des Logarithmus der Teileranzahlfunktion ${\displaystyle \ln d(n)}$ ist ${\displaystyle \ln 2\cdot \ln \ln n}$ (Hardy/Ramanujan). Das heißt, für beliebiges ${\displaystyle \varepsilon >0}$ besteht die Ungleichung
  ${\displaystyle 2^{(1-\varepsilon )\ln \ln n}<d(n)<2^{(1+\varepsilon )\ln \ln n}}$ für fast alle ${\displaystyle n}$.

• Durchschnittliche Größenordnung

• Eric W. Weisstein: Normal Order. In: MathWorld (englisch).

1. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 145.
2. Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 404.