Nilpotentes Element

Ein Element ${\displaystyle x}$ eines Ringes ${\displaystyle R}$ heißt nilpotent, wenn eine positive natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ existiert, sodass ${\displaystyle x^{n}=0}$ gilt. Ein Ideal ${\displaystyle I\subseteq R}$ wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ existiert, sodass ${\displaystyle I^{n}=(0)}$ gilt.

Beispielsweise ist die Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

nilpotent, denn es gilt

${\displaystyle A^{3}=0}$.

(Für spezielle Eigenschaften nilpotenter Matrizen siehe den Artikel nilpotente Matrix.)

• Im Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$ sind die Restklassen von 0, 2, 4 und 6 nilpotent, da jeweils ihre dritte Potenz kongruent zu 0 modulo 8 ist. In diesem Ring ist jedes Element entweder nilpotent oder eine Einheit.

• Im Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ sind die nilpotenten Elemente genau die Restklassen von 0 und 6.

• Das Nullelement eines Ringes ist stets nilpotent, da ${\displaystyle 0^{1}=0}$ ist.

Die Menge aller nilpotenten Elemente eines kommutativen Ringes bildet ein Ideal, das so genannte Nilradikal.

Der Durchschnitt aller Primideale in einem kommutativen Ring mit 1 ist genau das Nilradikal.[1]

Sei im Folgenden ${\displaystyle R}$ ein Ring, ${\displaystyle a}$ ein nilpotentes Element von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle n}$ die kleinste natürliche Zahl mit ${\displaystyle a^{n}=0}$.

• Ist ${\displaystyle a\neq 0}$, dann ist ${\displaystyle n>1}$ und ${\displaystyle a}$ ist Nullteiler, denn ${\displaystyle aa^{n-1}=0}$ und ${\displaystyle a^{n-1}\neq 0}$.

Ist zusätzlich ${\displaystyle R}$ ein Ring mit 1 und nicht der Nullring, dann gilt:

• ${\displaystyle a}$ ist nicht invertierbar (bzgl. der Multiplikation), denn aus ${\displaystyle ab=1}$ für ein Ringelement ${\displaystyle b}$ folgt der Widerspruch ${\displaystyle 0=a^{n}b=a^{n-1}}$ (${\displaystyle n}$ war minimal gewählt!).
• ${\displaystyle 1-a}$ ist invertierbar, denn es gilt ${\displaystyle (1-a)\left(1+a+a^{2}+\dotsb +a^{n-1}\right)=1-a^{n}=1=\left(1+a+a^{2}+\dotsb +a^{n-1}\right)(1-a)}$.
• Ist ${\displaystyle b}$ eine Einheit von ${\displaystyle R}$, die mit ${\displaystyle a}$ kommutiert, dann ist auch ${\displaystyle b+a}$ invertierbar, was man durch Betrachtung der Darstellung als ${\displaystyle b+a=b\cdot \left(1-\left(-b^{-1}a\right)\right)}$ sieht.

Sei ${\displaystyle R}$ ein Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle p}$ das Produkt aller Primteiler von ${\displaystyle m}$, d. h. aller Primzahlen die in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle m}$ auftreten. Z. B. für ${\displaystyle m=12=2^{2}\cdot 3}$ ist ${\displaystyle p=6=2\cdot 3}$. Dann sind die nilpotenten Elemente von ${\displaystyle R}$ genau die Restklassen von ganzen Zahlen, die Vielfache von ${\displaystyle p}$ sind. Die Beweisidee ist folgende: Ist ${\displaystyle k}$ der größte Exponent, der in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle m}$ auftritt, dann ist ${\displaystyle p^{k}}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle m}$; jede Zahl, für die eine Potenz ein Vielfaches vom ${\displaystyle m}$ ist, muss bereits selbst jeden Primteiler von ${\displaystyle m}$ besitzen.

Ein Ring, der außer der Null keine nilpotenten Elemente enthält, wird reduziert genannt.

1. Serge Lang: Algebra, 3. Auflage, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag 2005, ISBN 978-0387953854, S. 417.