Nilideal

Sei R ein Ring. Ein Ideal N von R, das nur aus nilpotenten Elementen besteht, heißt Nilideal.

Allgemeiner nennt man jede Teilmenge eines Ringes nil, wenn diese nur aus nilpotenten Elementen besteht.[1]

Während man von einem nilpotenten Ideal ${\displaystyle I\subset R}$ verlangt, dass es ein ${\displaystyle n}$ gibt mit ${\displaystyle I^{n}=\{0\}}$, das heißt jedes Produkt ${\displaystyle a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}}$ der Länge ${\displaystyle n}$ von Elementen ${\displaystyle a_{i}\in I}$ ist gleich 0, wird von einem Nilideal lediglich verlangt, dass es zu jedem Element ${\displaystyle a\in I}$ ein von ${\displaystyle a}$ abhängiges ${\displaystyle n}$ gibt mit ${\displaystyle a^{n}=0}$.

• Jedes nilpotente Ideal ist ein Nilideal, und für endlich erzeugte Ideale in kommutativen Ringen gilt auch die Umkehrung. Ein Beispiel für ein Nilideal, das nicht nilpotent ist, ist das Ideal ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots )}$ im Ring ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\ldots ]/(X_{1},X_{2}^{2},X_{3}^{3},\ldots )}$ mit einem Körper ${\displaystyle k}$ und je einer Unbestimmten ${\displaystyle X_{i}}$ für jede natürliche Zahl ${\displaystyle i}$.

• Nach einem Satz von Levitzki ist jedes Links- oder Rechts-Nilideal in einem links-noetherschen Ring bereits nilpotent.[2]

• Das Primradikal ist ein Nilideal.[3]

1. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Seite 41
2. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Satz 2.6.23
3. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Satz 2.6.15