Nielsen-Transformation

In der Mathematik sind Nielsen-Transformationen ein wichtiges Hilfsmittel der kombinatorischen Gruppentheorie, sie sind nach dem Mathematiker Jakob Nielsen benannt.

Definition

Sei $G$ eine Gruppe und $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ ein geordnetes n-Tupel von Elementen aus $G$ . Eine elementare Nielsen-Transformation ist eine der folgenden drei Typen von Ersetzungen:

Für ein $i\in \left\{1,\ldots ,n\right\}$ ersetze $g_{i}$ durch $g_{i}^{-1}$ .
Für zwei $i\not =j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}$ vertausche $g_{i}$ und $g_{j}$ .
Für zwei $i\not =j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}$ ersetze $g_{i}$ durch $g_{i}g_{j}$ .

Eine Nielsen-Transformation ist eine Folge endlich vieler elementarer Nielsen-Transformationen. Zwei geordnete Tupel heißen Nielsen-äquivalent, wenn sie durch eine Nielsen-Transformation auseinander hervorgehen.

Anwendungen

Erzeugendensysteme freier Gruppen

Sei $F_{n}$ die freie Gruppe mit $n$ Erzeugern $x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem $n$ Elemente und ein $n$ -Tupel $g_{1},\ldots ,g_{n}$ ist genau dann ein Erzeugendensystem von $F_{n}$ , wenn die geordneten Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ Nielsen-äquivalent sind.[1][2]

Erzeugendensysteme von Flächengruppen

Sei $\pi _{1}S_{g}=\langle a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g}\mid \Pi _{i=1}^{g}\left[a_{i},b_{i}\right]=1\rangle$ die Flächengruppe vom Geschlecht $g$ . Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem $2g$ Elemente und ein $2g$ -Tupel $h_{1},\ldots ,h_{2g}$ ist genau dann ein Erzeugendensystem von $\pi _{1}S_{g}$ , wenn die geordneten Tupel $(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g})$ und $(h_{1},\ldots ,h_{2g})$ Nielsen-äquivalent sind.[3]

Literatur

Jakob Nielsen: Über die Isomorphismen unendlicher Gruppen ohne Relation. Math. Ann. 79 (1918), no.3, 269-272. doi:10.1007/BF01458209
Jakob Nielsen: Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien. Math. Tidsskrift B (1921), 78-94.
Heiner Zieschang: Über die Nielsensche Kürzungsmethode in freien Produkten mit Amalgam. Invent. Math. 10 (1970), 4-37. doi:10.1007/BF01402968

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[1] Jakob Nielsen: Über die Isomorphismen unendlicher Gruppen ohne Relation. Math. Ann. 79 (1918), no.3, 269-272. doi:10.1007/BF01458209

[2] Jakob Nielsen: Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien. Math. Tidsskrift B (1921), 78-94.

[3] Heiner Zieschang: Über die Nielsensche Kürzungsmethode in freien Produkten mit Amalgam. Invent. Math. 10 (1970), 4-37. doi:10.1007/BF01402968