Newtonsches Kugelschalentheorem

Skizze zum Beweis. Der farbig gekennzeichnete Bereich stellt einen ringförmigen Ausschnitt der Kugelschale im Zenitwinkel ${\displaystyle \theta }$ dar, mit der Winkelausdehnung ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$

Gegeben sei eine sehr dünne Kugelschale mit Radius ${\displaystyle R}$ und eine punktförmig angenommene Testmasse ${\displaystyle m}$, die sich im Abstand ${\displaystyle r>R}$ vom Mittelpunkt der Kugelschale befindet.

Man kann die Kugelschale in infinitesimal schmale Ringe zerlegen, die konzentrisch um die Verbindungslinie vom Mittelpunkt der Kugelschale zur Testmasse liegen. Ein Ring mit dem Zenitwinkel ${\displaystyle \theta }$ und der Ausdehnung ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ hat die Fläche

${\displaystyle \mathrm {d} A(\theta )=2\pi R^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,}$.

Die Fläche der Kugelschale ist ${\displaystyle 4\pi R^{2}}$ und ihre Masse sei ${\displaystyle M}$. Dann beträgt die Masse des Rings:

${\displaystyle \mathrm {d} M(\theta )={\frac {1}{2}}M\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,}$.

Die Gravitationskraft ergibt sich über die Summierung aller Massenpunkte des Rings. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Kräfte in einem Winkel ${\displaystyle \phi }$ zur Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt der Kugelschale und der Testmasse angreifen und sich nur die Projektion auf diese Verbindungslinie auswirkt (die Komponenten senkrecht dazu addieren sich zu null, wenn man den ganzen Ring berücksichtigt), was einen zusätzlichen Faktor ${\displaystyle \cos \phi }$ ergibt. Mit dem Abstand zur Testmasse ${\displaystyle s}$ ist die Kraft zwischen Kugelschale und Testmasse demnach:

${\displaystyle F=\int _{0}^{\pi }{\frac {GMm}{2}}\cdot {\frac {\cos \phi }{s^{2}}}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,}$.

Nach dem Kosinussatz gilt:

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.}$

Durch Differenzieren der zweiten Gleichung nach ${\displaystyle \theta }$ und ${\displaystyle s}$ erhält man

${\displaystyle \sin \theta \,\mathrm {d} \theta ={\frac {s}{rR}}\,\mathrm {d} s}$

und kann nun das Integral über den Winkel ${\displaystyle \theta }$ durch eine Integration über ${\displaystyle s}$ ersetzen:

${\displaystyle F={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left(1+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\right)\mathrm {d} s\,}$.

Der Wert des Integrals ist ${\displaystyle 4R}$ und demnach ist

${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}}$

gleich der Kraft, die wirken würde, wenn die Masse der Kugelschale auf ihren Mittelpunkt konzentriert wäre.

Punto all'interno di un guscio infinitesimo

Gegeben sei eine Testmasse ${\displaystyle m}$ an einem Punkt P innerhalb einer infinitesimal dünnen Kugelschale. Ein Doppelkegel mit dem halben Öffnungswinkel ${\displaystyle \alpha }$, dessen Spitze im Punkt P liegt und der in beliebige Richtung zeigt, schneidet einen Bereich A und einen gegenüberliegenden Bereich B aus der Kugelschale heraus. Die Flächen der Bereiche A und B betragen ${\displaystyle \pi r_{\mathrm {A} }^{2}\tan ^{2}\alpha }$ bzw. ${\displaystyle \pi r_{\mathrm {B} }^{2}\tan ^{2}\alpha \,}$. Mit der Massendichte ${\displaystyle \varrho }$ und der Dicke der Kugelschale ${\displaystyle \mathrm {d} S\,}$ gilt für die Massen der Bereiche A und B:

${\displaystyle M_{\mathrm {A} }=\varrho \cdot \pi r_{\mathrm {A} }^{2}\tan ^{2}\alpha \cdot \mathrm {d} S\,}$,

${\displaystyle M_{\mathrm {B} }=\varrho \cdot \pi r_{\mathrm {B} }^{2}\tan ^{2}\alpha \cdot \mathrm {d} S\,}$.

Die Gravitation dieser Bereiche wirkt in entgegengesetzte Richtungen. Die Gesamtkraft ist daher ihre Differenz:

${\displaystyle F=G\cdot \left({\frac {mM_{\mathrm {A} }}{r_{\mathrm {A} }^{2}}}-{\frac {mM_{\mathrm {B} }}{r_{\mathrm {B} }^{2}}}\right)=G\cdot m\cdot \varrho \cdot \pi \tan ^{2}\alpha \cdot \mathrm {d} S\cdot \left({\frac {r_{\mathrm {A} }^{2}}{r_{\mathrm {A} }^{2}}}-{\frac {r_{\mathrm {B} }^{2}}{r_{\mathrm {B} }^{2}}}\right)=0\,}$.

Die Kräfte heben sich auf. Durch P lassen sich nun Doppelkegel (und Doppelpyramiden) in alle Richtungen legen, sodass der volle Raumwinkel abgedeckt ist. Die Gesamtkraft auf Testmassen innerhalb der Kugelschale bleibt null.

Alternativ lässt sich das Schalentheorem auch mithilfe des Satzes von Gauß herleiten. Das Gravitationspotential ${\displaystyle \phi }$ einer beliebigen Massenverteilung ${\displaystyle \rho }$ folgt der Poisson-Gleichung

${\displaystyle \Delta \phi =4\pi G\rho }$

mit dem Laplace-Operator ${\displaystyle \Delta ={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}}$ und dem Nabla-Operator ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$. Die Kraft auf eine beliebige Testmasse ${\displaystyle m}$ ist der negative Gradient des Potentials, multipliziert mit der Masse, also

${\displaystyle {\vec {F}}=-m{\vec {\nabla }}\phi }$.

Es folgt daher

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}=-4\pi Gm\rho }$

und mit dem Satz von Gauß

${\displaystyle \int \mathrm {d} {\vec {A}}\cdot {\vec {F}}=-4\pi Gm\int \mathrm {d} V\,\rho }$.

Die Masseverteilung muss für die Gültigkeit des Schalentheorems radialsymmetrisch sein; es gilt also ${\displaystyle \rho =\rho (r)}$, wobei ${\displaystyle r}$ der Abstand zum Zentrum ist. Daher bietet sich als Integrationsgebiet eine Kugel um das Zentrum der Masseverteilung an. Aus Symmetriegründen kann die Kraft nur vom Zentrum weg oder zum Zentrum hin zeigen und ihr Betrag kann ebenfalls nur vom Abstand zum Zentrum abhängen. Es gilt in Kugelkoordinaten also ${\displaystyle {\vec {F}}=F(r){\vec {e}}_{r}}$ mit dem radialen Einheitsvektor ${\displaystyle {\vec {e}}_{r}}$. Dann wird die Integration über den Raumwinkel trivial und es bleibt eine Integration über den Abstand übrig:

${\displaystyle 4\pi r^{2}F=-(4\pi )^{2}Gm\int _{0}^{r}\mathrm {d} r'\,r'^{2}\rho (r')}$.

Nimmt man nun eine infinitesimal dünne Kugelschale mit Masse ${\displaystyle M}$ und Radius ${\displaystyle R}$, so ist ihre Massendichte ${\displaystyle \rho ={\tfrac {M}{4\pi R^{2}}}\delta (r'-R)}$ mit der Delta-Distribution ${\displaystyle \delta }$. In die obige Formel eingesetzt folgt daraus:

${\displaystyle r^{2}F=-GmM\int _{0}^{r}\mathrm {d} r'{\frac {r'^{2}}{R^{2}}}\delta (r'-R)={\begin{cases}0&r<R\\-GmM&r>R\end{cases}}}$.

Für Abstände, die kleiner als der Radius der Kugelschale sind, wirkt daher keine Kraft, für Abstände, die größer sind, wirkt die Kraft

${\displaystyle {\vec {F}}=-G{\frac {mM}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}}$.

Dies ist von Betrag und Richtung identisch zu einer Kraft, die zwischen zwei Punktmassen mit Abstand ${\displaystyle r}$ wirken würde. Aufgrund des Superpositionsprinzips gilt dies für beliebige radialsymmetrische Masseverteilungen; anschaulich gesprochen kann man beliebig viele solcher Kugelschalen ineinander stapeln.