Newtonsches Gravitationsgesetz

Der Betrag der Kraft zwischen zwei Massepunkten ${\displaystyle m_{1}}$ und ${\displaystyle m_{2}}$ im Abstand ${\displaystyle r}$ ist

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

Die Größe ${\displaystyle G}$ ist die Gravitationskonstante. Die auf die beiden Massen wirkenden Kräfte haben denselben Betrag und zeigen jeweils auf den anderen Massepunkt (siehe Abbildung). Das Newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt damit im Gegensatz zum mathematisch ähnlichen coulombschen Gesetz eine immer anziehende Kraft.

In vektorieller Form gilt für die auf Massepunkt 1 wirkende Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}}$

${\displaystyle {\vec {F}}_{1}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})}$,

wobei ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}}$ die Positionen (Ortsvektoren) der beiden Massepunkte sind.[8] Der Vektor ${\displaystyle {\vec {r}}_{12}:={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}$ ist somit der Verbindungsvektor von Massepunkt 1 zu Massepunkt 2. Mit dem Einheitsvektor ${\displaystyle {\vec {e}}_{12}:={\frac {{\vec {r}}_{12}}{r}}}$ lässt sich Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}}$ darstellen als

${\displaystyle {\vec {F}}_{1}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{3}}}{\vec {r}}_{12}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\vec {e}}_{12}}$.

Anhand dieser Formel kann man direkt ablesen, dass die auf den Massepunkt 1 wirkende Kraft genau in die Richtung zum Massepunkt 2 zeigt und den Betrag ${\displaystyle G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$ hat.

${\displaystyle {\vec {F}}_{2}}$ zeigt auf Massepunkt 1 und ist der Gegenvektor zu ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}}$:

${\displaystyle {\vec {F}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}}$.

Wird der Massepunkt 1 von mehreren Massepunkten 2, 3, … , n angezogen, so addieren sich die einzelnen Kräfte zur auf Massepunkt 1 wirkenden Gesamtkraft

${\displaystyle {\vec {F}}_{1}=Gm_{1}\sum _{i=2}^{n}m_{i}{\frac {{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}}$.

Daraus resultiert nach dem zweiten Newtonschen Axiom eine Beschleunigung mit dem Betrag

${\displaystyle a_{1}={\frac {F_{1}}{m_{1}}}}$,

die auch Gravitationsbeschleunigung oder Gravitationsfeldstärke am Ort der Masse ${\displaystyle m_{1}}$ genannt wird (siehe Gravitationsfeld).

Zwei Punktmassen ${\displaystyle m_{1}}$ und ${\displaystyle m_{2}}$ erfahren im Abstand ${\displaystyle r}$ bei Abwesenheit anderer Kräfte durch das Newtonsche Gravitationsgesetz die Beschleunigungen:

${\displaystyle a_{1}={\frac {F}{m_{1}}}=G{\frac {m_{2}}{r^{2}}}\qquad {\text{bzw.}}\qquad a_{2}={\frac {F}{m_{2}}}=G{\frac {m_{1}}{r^{2}}}}$

Die Masse ${\displaystyle m_{1}}$ zieht die Masse ${\displaystyle m_{2}}$ an und umgekehrt. Beide Massen werden zum gemeinsamen Schwerpunkt hin beschleunigt. Von einem der Körper aus gesehen bewegt sich der andere mit einer Beschleunigung, die die Summe der Einzelbeschleunigungen ist:

${\displaystyle a_{1}+a_{2}=G\,{\frac {m_{1}+m_{2}}{r^{2}}}}$

Falls nun eine der Massen viel kleiner ist als die andere, reicht es näherungsweise aus, nur die größere Masse zu berücksichtigen. So hat die Erde viel mehr Masse als ein Apfel, ein Mensch oder ein LKW, sodass es für alle diese Objekte reicht, die Masse der Erde in die Gleichung für die Beschleunigung einzusetzen. Alle drei Objekte werden, wenn sie sich an demselben Ort befinden, gleich stark in Richtung Erdmitte beschleunigt. Sie fallen gleich schnell und in dieselbe Richtung. Wenn man jedoch ein Doppelsternsystem betrachtet, muss man beide Sternmassen berücksichtigen, weil sie etwa gleich groß sind.

Wenn sich ${\displaystyle r}$ während der Bewegung eines Objektes nur sehr geringfügig verändert, ist die Gravitationsbeschleunigung praktisch konstant, etwa bei einem Gegenstand nahe der Erdoberfläche, der nur einige Meter tief fällt, also verschwindend wenig im Vergleich zum Erdradius von r = ca. 6370 km. In einem hinreichend kleinen Bereich kann also das Gravitationsfeld als homogen betrachtet werden. Wenn man die Veränderung der Gravitationskraft mit dem Abstand nicht vernachlässigen kann, ist eine Berechnung beispielsweise der Auftreffgeschwindigkeit eines frei fallenden Körpers mithilfe der Integralrechnung möglich, d. h. über das Gravitationspotential

${\displaystyle \Phi (r)=-{\frac {Gm}{r}}}$.

Reale Körper sind keine Punktmassen, sondern haben eine räumliche Ausdehnung. Da das Gravitationsgesetz linear in den Massen ist, kann der Körper gedanklich in kleine Teile zerlegt werden, deren Beiträge, wie im vorigen Abschnitt gezeigt, vektoriell addiert werden können. Beim Grenzübergang zu unendlich kleinen Teilen ergibt sich statt einer Summe ein Integral.

Auf diese Weise kann unter anderem gezeigt werden, dass ein Objekt mit sphärisch symmetrischer Massenverteilung im Außenraum dieselbe Gravitationswirkung hat, als wäre seine gesamte Masse in seinem Schwerpunkt vereinigt. Daher können ausgedehnte Himmelskörper näherungsweise als Massenpunkte behandelt werden. Im Innern einer elliptischen oder kugelsymmetrischen homogenen Massenverteilung, z. B. einer Hohlkugel, ist die von dieser Masse ausgehende Gravitationskraft null. Daraus folgt, dass in einem beliebigen Abstand ${\displaystyle r}$ vom Mittelpunkt einer kugelsymmetrischen Massenverteilung die Gravitationskraft genau von dem Anteil der Gesamtmasse erzeugt wird, der innerhalb einer Kugel mit dem Radius ${\displaystyle r}$ liegt. Newton hat dieses Theorem (das auch als Newtonsches Schalentheorem bezeichnet wird) in seiner Philosophiae Naturalis Principia Mathematica bewiesen. Für nicht elliptisch symmetrische Körper oder inhomogene Massenverteilungen gilt das Theorem im Allgemeinen nicht. Ebenso ist zu beachten, dass die Gravitation keine Gegenkraft besitzt, also nicht abgeschirmt werden kann. Das tatsächliche Gravitationsfeld in einer Hohlkugel wäre somit nicht null, da im Inneren natürlich die Gravitationskräfte aller anderen im Universum vorhandenen Massen wirken würden – nur die Kugelschale selbst würde nichts beitragen.

• Die Newtonsche Theorie ist eine effektive Theorie, das bedeutet, sie gibt weder eine Ursache für die Gravitationskraft an, noch erklärt sie, wie die Gravitation über die Entfernung wirken kann. Viele Zeitgenossen, darunter Newton selbst und auch noch Leonhard Euler, lehnten die Möglichkeit einer unmittelbaren Fernwirkung durch den leeren Raum ab. Um diese Erklärungslücke zu schließen, wurde eine eigene Theorie, die Le-Sage-Gravitation, entwickelt, die sich jedoch nie wirklich durchsetzen konnte.
• Die Newtonsche Theorie setzt voraus, dass sich die Gravitationswirkung von sich bewegenden Massen unendlich schnell ausbreitet, damit die keplerschen Gesetze erfüllt sind. Dies führt zu Konflikten mit der speziellen Relativitätstheorie. Diese fordert nämlich, dass sich auch die Gravitation nur mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet.
• Die Äquivalenz von träger und schwerer Masse ist in der Newtonschen Mechanik nicht erklärt.

• Die Newtonsche Theorie erklärt nicht vollständig die Periheldrehung der Planetenumlaufbahnen, besonders des Merkur. Bei diesem beträgt der Unterschied zwischen der nach der Newtonschen Theorie berechneten und der beobachteten Periheldrehung 43 Bogensekunden pro Jahrhundert.
• Ob Licht im Gravitationsfeld abgelenkt wird oder nicht, hängt in der Newtonschen Theorie davon ab, welche Natur dem Licht zugeschrieben wird. Wird es als elektromagnetische Welle aufgefasst, dann ergibt sich keine Ablenkung. Wird es jedoch gemäß der Korpuskeltheorie als massebehaftetes Teilchen aufgefasst, dann ergibt sich gemäß dem Newtonschen Gravitationsgesetz eine Lichtablenkung, wobei aus der Bewegungsgleichung eine Vorhersage gemacht werden kann, die unabhängig von der Masse ist und somit auch im Grenzfall verschwindender Masse gültig bleibt. Dieser Wert beträgt jedoch nur die Hälfte der tatsächlich beobachteten Ablenkung.

Für beide Effekte ergibt sich der gemessene Wert korrekt aus den Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie.