Nevanlinna-Theorie

Grundgedanke der Nevanlinna-Theorie[1] (oder Werteverteilungstheorie) ist es, eine quantitative Fassung des Satzes von Picard zu gewinnen. Dieser Satz besagt, dass es für verschiedene Werte ${\displaystyle \displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$ aus der Riemannschen Zahlenkugel ${\displaystyle \displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$ keine nicht-konstante meromorphe Funktion ${\displaystyle \displaystyle f:\mathbb {C} \to {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{a_{1},a_{2},a_{3}\}}$ gibt. Um eine quantitative Fassung dieses Satzes zu gewinnen, betrachtet man für ${\displaystyle \displaystyle r>0}$ und ${\displaystyle \displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$ die Anzahl ${\displaystyle \displaystyle n(r,a,f)}$ der ${\displaystyle \displaystyle a}$-Stellen einer nicht konstanten, meromorphen Funktion ${\displaystyle \displaystyle f}$ im abgeschlossenen Kreis um 0 mit Radius ${\displaystyle \displaystyle r}$. Dabei werden die ${\displaystyle \displaystyle a}$-Stellen gemäß Vielfachheit gezählt. Es stellt sich als geeigneter heraus, statt der Funktion ${\displaystyle \displaystyle n(r,a,f)}$ die integrierte Anzahlfunktion

${\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)=\int _{0}^{r}{\frac {n(t,a,f)}{t}}dt}$

zu betrachten. (Für ${\displaystyle \displaystyle a=f(0)}$ muss dies geringfügig modifiziert werden, siehe unten.) Nevanlinna definierte nun eine charakteristische Funktion ${\displaystyle \displaystyle T(r,f)}$, die mit ${\displaystyle \displaystyle r}$ gegen unendlich strebt, und zeigte, dass für die meisten Werte von ${\displaystyle \displaystyle a}$ die Funktionen ${\displaystyle \displaystyle T(r,f)}$ und ${\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)}$ von der gleichen Größenordnung sind. Genauer besagen seine beiden Hauptsätze, dass

${\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)\leq T(r,f)+O(1)}$

für alle ${\displaystyle \displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$ und

${\displaystyle \sum _{j=1}^{q}N(r,a_{j},f)\geq (q-2)T(r,f)-S(r,f)}$

für verschiedene ${\displaystyle \displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{q}\in {\overline {\mathbb {C} }}}$, mit einem im Vergleich zu ${\displaystyle \displaystyle T(r,f)}$ sehr kleinen Fehlerterm ${\displaystyle \displaystyle S(r,f)}$. Der Picardsche Satz folgt hieraus unmittelbar.

Damit das die Funktion ${\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)}$ definierende Integral auch für ${\displaystyle \displaystyle a=f(0)}$ existiert, definiert man die Anzahlfunktion genauer als oben angegeben durch

${\displaystyle N(r,a,f)=\int _{0}^{r}{\frac {n(t,a,f)-n(0,a,f)}{t}}dt+n(0,a,f)\log r.}$

Offensichtlich gilt ${\displaystyle \displaystyle n(r,a,f)=n(r,\infty ,1/(f-a))}$ und ${\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)=N(r,\infty ,1/(f-a))}$ für ${\displaystyle \displaystyle a\in \mathbb {C} }$. Kurz schreibt man auch ${\displaystyle \displaystyle N(r,f)=N(r,\infty ,f)}$, womit ${\displaystyle \displaystyle N(r,1/(f-a))=N(r,a,f)}$ für ${\displaystyle \displaystyle a\in \mathbb {C} }$. Des Weiteren definiert man die Schmiegungsfunktion durch

${\displaystyle m(r,f)=m(r,\infty ,f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log ^{+}|f(re^{i\theta })|d\theta ,}$

wobei ${\displaystyle \displaystyle \log ^{+}x=\max\{0,\log x\}}$. Für ${\displaystyle \displaystyle a\in \mathbb {C} }$ setzt man entsprechend ${\displaystyle \displaystyle m(r,a,f)=m(r,\infty ,1/(f-a))}$. Die Nevanlinna-Charakteristik ${\displaystyle \displaystyle T(r,f)}$ ist dann definiert durch

${\displaystyle \displaystyle T(r,f)=N(r,f)+m(r,f).}$

Es gilt ${\displaystyle \displaystyle T(r,f)\to \infty }$ für ${\displaystyle \displaystyle r\to \infty }$, wenn ${\displaystyle \displaystyle f}$ nicht konstant ist. Ist ${\displaystyle \displaystyle f}$ transzendent, gilt sogar

${\displaystyle \lim _{r\to \infty }{\frac {T(r,f)}{\log r}}=\infty .}$

Für ganze Funktionen ist der Maximalbetrag

${\displaystyle M(r,f)=\max _{|z|\leq r}|f(z)|}$

ein Maß für das Wachstum der Funktion. Für ${\displaystyle \displaystyle 1<r<R}$ gilt

${\displaystyle T(r,f)\leq \log ^{+}M(r,f)\leq {\dfrac {R+r}{R-r}}T(R,f).}$

Die Ordnung ${\displaystyle \displaystyle \rho (f)}$ einer meromorphen Funktion ${\displaystyle \displaystyle f}$ ist definiert durch

${\displaystyle \rho (f)=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {\log T(r,f)}{\log r}}.}$

Für ganze Funktionen kann man aufgrund der obigen Beziehung zwischen Nevanlinna-Charakteristik und Maximalbetrag hier ${\displaystyle \displaystyle T(r,f)}$ durch ${\displaystyle \displaystyle \log M(r,f)}$ ersetzen. Funktionen endlicher Ordnung bilden eine wichtige und ausführlich untersuchte Klasse meromorpher Funktionen.

Alternativ zur Nevanlinna-Charakteristik kann man auch eine von Lars Valerian Ahlfors und Shimizu Tatsujirō eingeführte Variante verwenden. Die Ahlfors-Shimizu-Charakteristik unterscheidet sich von der Nevanlinna-Charakteristik nur um einen beschränkten Term.

Der Erste Hauptsatz besagt, dass für alle ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle \displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1)}$

gilt. Insbesondere gilt also

${\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)\leq T(r,f)+O(1).}$

Der erste Hauptsatz ist eine einfache Folgerung aus der Jensenschen Formel.

Wesentlich tiefer liegt der Zweite Hauptsatz. Dieser besagt, dass für verschiedene ${\displaystyle \displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{q}\in {\overline {\mathbb {C} }}}$ die Ungleichung

${\displaystyle \sum _{j=1}^{q}m(r,a_{j},f)\leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f)}$

gilt, wobei

${\displaystyle \displaystyle N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right)\geq 0}$

und ${\displaystyle \displaystyle S(r,f)}$ ein im Vergleich zu ${\displaystyle \displaystyle T(r,f)}$ kleiner Fehlerterm ist. Genauer gilt, dass eine Menge ${\displaystyle \displaystyle E\subset [1,\infty )}$ von endlichem Maß existiert, so dass

${\displaystyle \displaystyle S(r,f)=O(\log T(r,f))+O(\log r)}$

für ${\displaystyle \displaystyle r\to \infty }$, ${\displaystyle \displaystyle r\notin E}$.

Mit Hilfe des ersten Hauptsatzes erkennt man, dass die Ungleichung

${\displaystyle (q-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{q}N(r,a_{j},f)-N_{1}(r,f)+S(r,f)}$

eine äquivalente Formulierung des zweiten Hauptsatzes ist.

Der Term ${\displaystyle \displaystyle N_{1}(r,f)}$ zählt die mehrfachen Stellen der Funktion. Bezeichnet man mit ${\displaystyle \displaystyle {\overline {n}}(r,a,f)}$ und ${\displaystyle \displaystyle {\overline {N}}(r,a,f)}$ die ${\displaystyle \displaystyle n(r,a,f)}$ und ${\displaystyle \displaystyle N(r,a,f)}$ entsprechenden Funktionen, wobei aber auch mehrfache ${\displaystyle \displaystyle a}$-Stellen nur einfach gezählt werden, so erhält man

${\displaystyle (q-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{q}{\overline {N}}(r,a_{j},f)+S(r,f).}$

Eine der wesentlichen Folgerungen aus dem zweiten Hauptsatz ist die Defektrelation. Für ${\displaystyle \displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$ nennt man

${\displaystyle \delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}}$

Nevanlinnadefekt von ${\displaystyle \displaystyle a}$. Das zweite Gleichheitszeichen gilt dabei nach dem ersten Hauptsatz, da ${\displaystyle \displaystyle T(r,f)\to \infty }$ für ${\displaystyle \displaystyle r\to \infty }$. (Es sei immer vorausgesetzt, dass ${\displaystyle \displaystyle f}$ nicht konstant ist.) Aus dem ersten Hauptsatz folgt, dass ${\displaystyle \displaystyle 0\leq \delta (a,f)\leq 1}$ für alle ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$. Man nennt ${\displaystyle \displaystyle a}$ defekten Wert oder Nevanlinnaschen Ausnahmewert, wenn ${\displaystyle \displaystyle \delta (a,f)>0}$ gilt. Nach dem zweiten Hauptsatz ist die Menge der defekten Wert abzählbar und es gilt die Defektrelation

${\displaystyle \sum _{a}\delta (a,f)\leq 2,}$

wobei die Summe über alle defekten Werte gebildet wird. Die Defektrelation ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Satzes von Picard, denn ist ${\displaystyle \displaystyle f}$ transzendent und nimmt ${\displaystyle \displaystyle f}$ den Wert ${\displaystyle \displaystyle a}$ nur endlich oft an, so gilt ${\displaystyle \displaystyle \delta (a,f)=1}$. Auch eine von Borel gegebene Verschärfung des Satzes von Picard folgt leicht aus dem zweiten Hauptsatz.

Ein zentrales Problem der Nevanlinnatheorie war lange, ob die Defektrelation und die Ungleichung ${\displaystyle \displaystyle 0\leq \delta (a,f)\leq 1}$ die einzigen Einschränkungen für die Nevanlinnadefekte einer meromorphen Funktion sind. Dieses sogenannte Umkehrproblem der Nevanlinnatheorie wurde 1976 von David Drasin gelöst.[2] (Für ganze Funktionen war es vorher durch Wolfgang Fuchs und Walter Hayman gelöst worden.) Für Funktionen endlicher Ordnung gibt es jedoch verschiedene weitere Einschränkungen. Gilt zum Beispiel Gleichheit in der Defektrelation, so folgt ${\displaystyle \displaystyle \rho (f)=n/2}$ mit einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n\geq 2}$. Dies war von Rolf Nevanlinnas Bruder Frithiof vermutet worden und wurde 1987 von Drasin bewiesen.[3] Als weiteres Ergebnis über Nevanlinnadefekte meromorpher Funktionen endlicher Ordnung sei exemplarisch ein Ergebnis von Allen Weitsman[4] genannt, der 1972 zeigte, dass für solche Funktionen

${\displaystyle \sum _{a}\delta (a,f)^{1/3}<\infty }$

gilt.

Viele weitere Resultate zu Nevanlinnadefekten finden sich in den unten angegebenen Büchern, wobei das Buch von Goldberg und Ostrovskii einen Anhang von A. Eremenko und J. K. Langley enthält, in dem auch neuere Entwicklungen dargestellt sind.

Die Nevanlinnatheorie hat Anwendungen in verschiedenen Gebieten gefunden. So hat sie sich als wesentliches Hilfsmittel bei der Untersuchung von Differentialgleichungen und Funktionalgleichungen im Komplexen erwiesen, siehe etwa die Bücher von Jank-Volkmann und Laine.

Nevanlinna bewies als eine der ersten Anwendungen seiner Theorie folgenden Eindeutigkeitssatz:[5] Stimmen die ${\displaystyle \displaystyle a}$-Stellen zweier meromorpher Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ für 5 Werte ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$ überein, so gilt ${\displaystyle f=g}$. Dieser Satz war Ausgangspunkt für viele andere Sätze dieses Typs.

In neuerer Zeit stießen von Paul Vojta gefundene Analogien zwischen Nevanlinnatheorie und Diophantischer Approximation auf großes Interesse, vgl. das Buch von Ru.

Dieser Artikel beschränkt sich auf die klassische Theorie in einer komplexen Veränderlichen. Es gibt diverse Verallgemeinerungen, etwa auf algebroide Funktionen, holomorphe Kurven,[6] Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher und quasireguläre Abbildungen.[7]

• A. A. Goldberg, I. V. Ostrovskii: Distribution of values of meromorphic functions. American Mathematical Society, 2008; (Übersetzung: russisches Original 1970).
• W. K. Hayman: Meromorphic functions. Oxford University Press, 1964.
• G. Jank, L. Volkmann: Einführung in die Theorie der ganzen und meromorphen Funktionen mit Anwendungen auf Differentialgleichungen. Birkhäuser, Basel/ Boston/ Stuttgart 1985.
• Kunihiko Kodaira: Nevanlinna Theory. SpringerBriefs in Mathematics, ISSN 2191-8198, Springer Singapore 2017, ISBN 978-981-10-6786-0.
• I. Laine: Nevanlinna theory and complex differential equations. Walter de Gruyter, New York 1993.
• R. Nevanlinna: Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes. Gauthier-Villars, Paris 1929.
• R. Nevanlinna: Eindeutige analytische Funktionen. Springer, Berlin 1953.
• Min Ru: Nevanlinna theory and its relation to Diophantine approximation. World Scientific, River Edge, NJ, 2001.

1. R. Nevanlinna: Zur Theorie der meromorphen Funktionen. In: Acta Mathematica. Band 46, 1925, S. 1–99.
2. D. Drasin: The inverse problem in Nevanlinna theory. In: Acta Mathematica. Band 138, 1976, S. 83–151. Aktualisiert in: D. Drasin: On Nevanlinnas inverse problem. In: Complex Variables Theory Application. Band 37, 1998, S. 123–143.
3. D. Drasin: Proof of a conjecture of F. Nevanlinna concerning functions which have deficiency sum two. In: Acta Mathematica. Band 158, 1987, S. 1–94.
4. A. Weitsman: A theorem on Nevanlinna deficiencies. In: Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 41–52.
5. R. Nevanlinna: Einige Eindeutigkeitssätze in der Theorie der meromorphen Funktionen. In: Acta Mathematica. Band 48, 1926, S. 367–391.
6. H. Weyl: Meromorphic functions and analytic curves. Princeton University Press, 1943.
7. S. Rickman: Quasiregular mappings. Springer-Verlag, Berlin 1993.