Neutrinooszillation

Erste experimentelle Hinweise auf Neutrinooszillationen erhielt man im Bereich der Sonnenneutrinos. Elektron-Neutrinos werden in großer Zahl bei Kernfusionsprozessen im Inneren der Sonne erzeugt. In den 1960er Jahren begann Raymond Davis Jr. mit der Untersuchung des solaren Neutrinostroms mit einem Detektor in der Homestake-Mine (Chlordetektor). Der gemessene Fluss der Elektron-Neutrinos entsprach aber lediglich weniger als der Hälfte des Flusses, der aufgrund der Leuchtkraft der Sonne zu erwarten wäre.

Die Leuchtkraft der Sonne lässt sich messen, daraus lässt sich mit den gemessenen Eigenschaften der Atomkerne über komplexe Sonnenmodelle der erwartete Neutrinofluss berechnen. Einige dieser Modelle werden als Standard-Sonnenmodelle (SSM) bezeichnet, weil sich die Wissenschaftsgemeinde nach langer Diskussion auf sie als Referenzmodelle geeinigt hat. Unter der Voraussetzung, dass diese SSM die Sonne richtig beschreiben, konnte das Ergebnis des Homestake-Experiments als ein „Verschwinden“ der Neutrinos gedeutet werden.

Heute wird, basierend auf einer Vielzahl an Experimenten, das von Davis gemessene Neutrinodefizit nicht durch Ungenauigkeiten des Sonnenmodells, sondern durch die Teilcheneigenschaften der Neutrinos erklärt: auf ihrem Weg vom Zentrum der Sonne zu den Neutrinodetektoren unserer Erde „oszillieren“ die Elektron-Neutrinos in andere Neutrinoarten (Myon- und Tau-Neutrinos).

Davis erhielt für das Homestake-Experiment 2002 zusammen mit Masatoshi Koshiba (Nachweis von kosmischen Neutrinos aus der Supernova 1987A im Kamiokande-Detektor) den Nobelpreis für Physik.

Es werden zwei Annahmen benötigt:

• zum einen müssen Neutrinos unterschiedliche Massen besitzen
• zum anderen sollen die zugehörigen Massen-Eigenzustände der Neutrinos gegenüber den an die Schwache Wechselwirkung angepassten Zuständen verdreht sein. Die Überlagerung heißt Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata-Mischung – manchmal auch nur als MNS-Mischung bezeichnet, s. Folgekapitel – analog zur CKM-Mischung im Quark-Sektor.

Dies soll erläutert werden für den Fall einer 2-Flavour-Oszillation hochrelativistischer Neutrinos ${\displaystyle \nu _{\alpha }\rightarrow \nu _{\beta }}$, wobei ${\displaystyle \nu _{\alpha },\nu _{\beta }}$ die Wechselwirkungszustände sind (${\displaystyle \nu _{e},\nu _{\mu },\nu _{\tau }}$ bei 3-Flavour).

Die Mischung ist dann charakterisiert durch einen Parameter, den Mischungswinkel ${\displaystyle \Theta _{m}}$:

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}\nu _{\alpha }\\\nu _{\beta }\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}\;\;\;\cos \Theta _{m}&\sin \Theta _{m}\\-\sin \Theta _{m}&\cos \Theta _{m}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\nu _{1}\\\nu _{2}\end{array}}\right),}$

wobei ${\displaystyle \nu _{1}}$ und ${\displaystyle \nu _{2}}$ die Massen-Eigenzustände sind. Diese können – im Gegensatz zu den Wechselwirkungszuständen – wegen der Kleinheit der Massen bzw. der dadurch verursachten Effekte nicht beobachtet werden.

Betrachtet man die Neutrino-Massen-Eigenzustände ${\displaystyle \nu _{j}}$ als ebene Welle, so gilt:

${\displaystyle \left|\nu _{j}(t)\right\rangle =\left|\nu _{j}(0)\right\rangle \mathrm {e} ^{-i(Et-p_{j}x)/\hbar }}$.

Für hochrelativistische Neutrinos mit ${\displaystyle m_{\nu }c^{2}\ll E_{\nu }}$ gilt für den Impuls ${\displaystyle p}$ die Näherung:

${\displaystyle p={\frac {1}{c}}{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}\approx {\frac {1}{c}}\left(E-{\frac {m^{2}c^{4}}{2E}}\right)}$.

Die Zeit ${\displaystyle t}$ kann wegen ${\displaystyle v\approx c}$ durch die Flugstrecke ${\displaystyle x=L}$ ausgedrückt werden: ${\displaystyle t={L}/{c}}$. Damit wird die ebene Welle beschrieben durch:

${\displaystyle \left|\nu _{j}(L)\right\rangle =\left|\nu _{j}(0)\right\rangle \mathrm {e} ^{-i{\frac {m_{j}^{2}c^{4}}{2E}}{\frac {L}{\hbar c}}}}$.

Für die zeitliche Entwicklung der Wechselwirkungszustände ${\displaystyle \nu _{\alpha }}$ und ${\displaystyle \nu _{\beta }}$ ergibt sich somit durch die Überlagerung zweier leicht unterschiedlicher ebener Wellen:

${\displaystyle {\begin{array}{lcrcr}\left|\nu _{\alpha }(L)\right\rangle &=&\cos \Theta _{m}\left|\nu _{1}(0)\right\rangle \mathrm {e} ^{-i{\frac {m_{1}^{2}c^{4}}{2E}}{\frac {L}{\hbar c}}}&+&\sin \Theta _{m}\left|\nu _{2}(0)\right\rangle \mathrm {e} ^{-i{\frac {m_{2}^{2}c^{4}}{2E}}{\frac {L}{\hbar c}}}\\\left|\nu _{\beta }(L)\right\rangle &=&-\sin \Theta _{m}\left|\nu _{1}(0)\right\rangle \mathrm {e} ^{-i{\frac {m_{1}^{2}c^{4}}{2E}}{\frac {L}{\hbar c}}}&+&\cos \Theta _{m}\left|\nu _{2}(0)\right\rangle \mathrm {e} ^{-i{\frac {m_{2}^{2}c^{4}}{2E}}{\frac {L}{\hbar c}}}\end{array}}}$.

Sind die beiden Masseneigenzustände nach einer endlichen Flugstrecke nicht mehr phasengleich, so ist es möglich, in einem ursprünglich erzeugten Wechselwirkungszustand Beiträge des anderen Zustandes zu finden: ${\displaystyle \langle \nu _{\beta }(0)|\nu _{\alpha }(L)\rangle \neq 0}$. Dann gilt für die Oszillationswahrscheinlichkeit:

${\displaystyle P(\nu _{\alpha }\rightarrow \nu _{\beta })=\left|\langle \nu _{\beta }(0)|\nu _{\alpha }(L)\rangle \right|^{2}\approxeq \sin ^{2}\left({\frac {\Delta m^{2}c^{4}}{4E}}{\frac {L}{\hbar c}}\right)\cdot \sin ^{2}\left(2\Theta _{m}\right)}$

mit der Differenz ${\displaystyle \Delta m^{2}}$ der Massenquadrate der Flavours.

Bei Neutrinooszillationen in Materie tritt der MSW-Effekt auf (nur bei Dichteänderung) (benannt nach Stanislaw Michejew, Alexei Smirnow und Lincoln Wolfenstein). Dieser verursacht für bestimmte Elektronendichten und Neutrino-Massendifferenzen in Materie eine resonante Verstärkung der Oszillation.

Im Standardmodell sind Neutrinos masselos und treten nur als Teilchen mit negativer Chiralität (linkshändige Teilchen) auf. Mit der Beobachtung von Neutrinooszillationen sind diese Annahmen nicht mehr haltbar, diese Oszillationen bieten daher einen ersten Einblick in die Physik jenseits des Standardmodells. Die für Neutrinos mit Masse notwendigen Veränderungen am Standardmodell beinhalten z. B.:

• das Auftreten rechtshändiger Neutrinos; sie unterliegen nicht der elektroschwachen oder der starken Wechselwirkung, d. h. sie sind steril.
• das Auftreten von Majorana-Neutrinos; sie sind ihre eigenen Antiteilchen, so dass die Leptonenzahlerhaltung nicht mehr gewährleistet ist.

(Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata-Matrix, früher MNS-Matrix, ohne Pontecorvo, und auch Neutrino-Mischungs-Matrix genannt)

Die solaren und atmosphärischen Neutrinoexperimente haben gezeigt, dass die Neutrinooszillationen aus einer Abweichung zwischen den Flavour- und Masse-Eigenzuständen der Neutrinos resultieren. Der Zusammenhang zwischen diesen Eigenzuständen ist gegeben durch

${\displaystyle \left|\nu _{\alpha }\right\rangle =\sum _{i}U_{\alpha i}\left|\nu _{i}\right\rangle \,}$

${\displaystyle \left|\nu _{i}\right\rangle =\sum _{\alpha }U_{\alpha i}^{*}\left|\nu _{\alpha }\right\rangle }$,

wobei

• ${\displaystyle \left|\nu _{\alpha }\right\rangle }$ ein Neutrino mit einem bestimmten Flavour α bezeichnet. α = e (Elektron), μ (Myon) oder τ (Tauon).
• ${\displaystyle \left|\nu _{i}\right\rangle }$ ist ein Neutrino mit einer bestimmten Masse, indiziert mit ${\displaystyle i}$ = 1, 2, 3.
• ${\displaystyle {}^{*}}$ bedeutet die komplexe Konjugation (für Antineutrinos muss diese bei der zweiten Gleichung weggelassen und dafür bei der ersten Gleichung hinzugefügt werden).

Darin ist ${\displaystyle U_{\alpha i}}$ die PMNS-Matrix. Sie ist das Analogon zur CKM-Matrix für Quarks und der durch den Weinberg-Winkel parametrisierten Mischungsmatrix der elektroschwachen Wechselwirkung. Wäre diese Matrix die Einheitsmatrix, dann wären die Flavour-Eigenzustände dieselben wie die Masse-Eigenzustände. Jedoch zeigen die genannten Experimente, dass dies nicht der Fall ist.

Wenn die übliche Drei-Neutrino-Theorie konsistent ist, dann muss es sich um eine 3×3-Matrix handeln, bei nur zwei verschiedenen Neutrinos (d. h. zwei Flavours) wäre es eine 2×2-Matrix, bei vier Neutrinos eine 4×4-Matrix. Im Fall dreier Flavours ist sie gegeben durch:[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} &={\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}\\\\&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta }\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta }&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha _{1}/2}&0&0\\0&e^{i\alpha _{2}/2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta }\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta }&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta }&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta }&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta }&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha _{1}/2}&0&0\\0&e^{i\alpha _{2}/2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\\\\end{aligned}}}$

wobei c_ij = cos θ_ij und s_ij = sin θ_ij. Die Phasenfaktoren α₁ und α₂ sind nur dann von Null verschieden, wenn die Neutrinos sogenannte Majorana-Teilchen sind (diese Frage ist noch unentschieden) – dies ist aber für die Neutrinooszillation relativ unerheblich. Im Fall eines neutrinolosen doppelten Betazerfalls beeinflussen diese Faktoren lediglich die Rate. Der Phasenfaktor δ ist nur dann von Null verschieden, wenn die Neutrinooszillation die CP-Symmetrie verletzt. Das wird zwar erwartet, wurde aber bisher noch nicht experimentell beobachtet. Falls das Experiment zeigen sollte, dass diese 3×3-Matrix nicht unitär sein sollte, dann würden sterile Neutrinos (englisch: sterile neutrino) oder andere neue Physik jenseits des Standardmodells benötigt (dasselbe gilt für die CKM-Matrix).

Die Flavour-Mischung der Masse-Eigenzustände hängt vom Medium ab.[2] Aktuelle Werte im Vakuum:[3] Die Massendifferenzen im Neutrino-Massenspektrum sind gegeben durch

${\displaystyle \delta m^{2}:=m_{2}^{2}-m_{1}^{2}\ =\ 7{,}42\cdot 10^{-5}\,\mathrm {eV} ^{2}>0\ ,\quad \Delta m^{2}:=m_{3}^{2}-{\frac {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}{2}}={\begin{cases}\;\;\;2{,}517\cdot 10^{-3}\,\mathrm {eV} ^{2}&(\mathrm {NH} )\\-2{,}498\cdot 10^{-3}\,\mathrm {eV} ^{2}&(\mathrm {IH} )\end{cases}},}$

wobei NH die normale Hierarchie mit ${\displaystyle \Delta m^{2}>0}$ beschreibt und IH die inverse Hierarchie mit ${\displaystyle \Delta m^{2}<0}$. Die Winkel lauten wie folgt:[1]

${\displaystyle s_{12}^{2}=0{,}310\,,\;s_{23}^{2}={\begin{cases}0{,}573&(\mathrm {NH} )\\0{,}575&(\mathrm {IH} )\end{cases}}\,,\ s_{13}^{2}={\begin{cases}0{,}02219&(\mathrm {NH} )\\0{,}02238&(\mathrm {IH} )\end{cases}}\,,\ \delta ={\begin{cases}1{,}09\pi &(\mathrm {NH} )\\1{,}57\pi &(\mathrm {IH} )\end{cases}}.}$

Zusätzlich seien die ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$. Daraus ergeben sich folgende PMNS-Matrizen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} _{\mathrm {NH} }={\begin{pmatrix}0{,}821&0{,}551&-0{,}143+0{,}042\mathrm {i} \\-0{,}274+0{,}026\mathrm {i} &0{,}603+0{,}018\mathrm {i} &0{,}749\\0{,}499+0{,}023\mathrm {i} &-0{,}577+0{,}015\mathrm {i} &0{,}646\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {U} _{\mathrm {IH} }={\begin{pmatrix}0{,}821&0{,}551&-0{,}144+0{,}042\mathrm {i} \\-0{,}273+0{,}026\mathrm {i} &0{,}602+0{,}018\mathrm {i} &0{,}750\\0{,}500+0{,}023\mathrm {i} &-0{,}578+0{,}015\mathrm {i} &0{,}645\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Im Jahr 2004 wurde für Große vereinheitlichte Theorien

${\displaystyle \mathbf {U} _{12}^{\text{PMNS}}+\mathbf {U} _{12}^{\text{CKM}}=45^{\circ }\,}$ und ${\displaystyle \mathbf {U} _{23}^{\text{PMNS}}+\mathbf {U} _{23}^{\text{CKM}}=45^{\circ }\,}$

vorhergesagt.[4] Diese Beziehungen werden als Quark-Lepton-Komplementarität bezeichnet. Stand 2020 liegen die Werte aus dem Experiment bei ${\displaystyle 47^{\circ }}$ bzw. ${\displaystyle 50^{\circ }}$.[5]

• Bogdan Povh, Klaus Rith, Christoph Scholz, Frank Zetsche: Teilchen und Kerne. 8. Auflage, Springer, Berlin 2009
• Jennifer A. Thomas: Neutrino oscillations – present status and future plans. World Scientific, Singapore 2008, ISBN 978-981-277-196-4.

• The Nobel Prize in Physics 2002 (englisch)
• The Nobel Prize in Physics 2015 (englisch)
• Neutrino Mass, Mixing, and flavour change – Particle Data Group (PDG) (englisch) (PDF; 18,3 MB)
• OPERA detects its fifth tau neutrino (englisch)

1. R.L. Workman et al. (Particle Data Group): The Review of Particle Physics: 14. Neutrino mass, mixing, and flavor change. In: Prog. Theor. Exp. Phys. 2022, S. 083C01 (englisch, lbl.gov [PDF; 2,3 MB]).
2. Alexei Jurjewitsch Smirnow: Solar neutrinos: Oscillations or No-oscillations? September 2016, arxiv:1609.02386.
3. Ivan Esteban, M.C. Gonzalez-Garcia, Michele Maltoni, Thomas Schwetz, Albert Zhou: The fate of hints: updated global analysis of three-flavor neutrino oscillations. In: Journal of High Energy Physics. Band 2020, 2020, S. 178, doi:10.1007/JHEP09(2020)178, arxiv:2007.14792. Siehe auch die oben zitierte Übersicht der Particle Data Group für weitere Messergebisse und Fehlerschranken.
4. Martti Raidal: Relation Between the Neutrino and Quark Mixing Angles and Grand Unification. In: Physical Review Letters. Band 93, Nr. 16, 15. Oktober 2004, S. 161801, doi:10.1103/PhysRevLett.93.161801.
5. Michel Planat, Raymond Aschheim, Marcelo M. Amaral, Klee Irwin: Informationally complete characters for quark and lepton mixings. In: Symmetry. Band 12, Nr. 6, 11. Juni 2020, ISSN 2073-8994, doi:10.3390/sym12061000, arxiv:2005.02009.
6. M. H. Ahn, et al.: Measurement of Neutrino Oscillation by the K2K Experiment. In: Phys.Rev.D. Band 74, Nr. 072003, 2006, arxiv:hep-ex/0606032 (englisch).