Nernstsches Verteilungsgesetz

Oft ist die Kenntnis der verbleibenden Stoffmenge für das weitere Vorgehen (nochmaliges Ausschütteln) wichtig. Unter einer Verkettung von sinnvollen Annahmen kann man ein Gleichungssystem des Nernstsche Verteilungsgesetz nach der verbleibenden Stoffmenge herleiten. Je größer ${\displaystyle K(A)}$ desto besser löst sich der Stoff ${\displaystyle A}$ in Phase ${\displaystyle \beta }$ und desto schlechter in Phase ${\displaystyle \alpha }$ . Beim Ausschütteln muss die Wahl des Extraktionsmittels also nach der Größe des Verteilungskoeffizienten getroffen werden:

${\displaystyle K(A)={\frac {c_{i}^{\beta }}{c_{i}^{\alpha }}}<1\Rightarrow c_{i}^{\alpha }>c_{i}^{\beta }\Rightarrow \alpha \ {\text{ist Extraktionsmittel}}}$

${\displaystyle K(A)={\frac {c_{i}^{\beta }}{c_{i}^{\alpha }}}>1\Rightarrow c_{i}^{\alpha }<c_{i}^{\beta }\Rightarrow \beta \ {\text{ist Extraktionsmittel}}}$

Da sich die Stoffmenge und Masse durch das Ausschütteln nicht verändert, ist die Summe der in Phase ${\displaystyle \alpha }$ und Phase ${\displaystyle \beta }$ gelösten Stoffmengen gleich:

${\displaystyle n_{i}^{\alpha }+n_{i}^{\beta }=n_{i+1}^{\alpha }+n_{i+1}^{\beta }}$

(Da sich nur deren Verteilung in den Phasen verändert)

Es wird nun vereinbart, die Indices 0 und 1 zu verwenden:

${\displaystyle n_{0}^{\alpha }+n_{0}^{\beta }=n_{1}^{\alpha }+n_{1}^{\beta }}$

Durch Auflösen der Beziehung zwischen Konzentration, Stoffmenge und Volumen ergibt sich:

${\displaystyle c={\frac {n}{V}}\Leftrightarrow n=c\cdot V}$

Es wird angenommen, dass die Stoffmenge in Phase ${\displaystyle \beta }$ (vor dem Schütteln) zu Beginn 0 sei:

${\displaystyle \Rightarrow c_{0}^{\alpha }\cdot V_{0}^{\alpha }+\underbrace {c_{0}^{\beta }\cdot V_{0}^{\beta }} _{\text{=0}}=c_{1}^{\alpha }\cdot V_{1}^{\alpha }+c_{1}^{\beta }\cdot V_{1}^{\beta }}$

Somit entfällt dieser Term:

${\displaystyle c_{0}^{\alpha }\cdot V_{0}^{\alpha }=c_{1}^{\alpha }\cdot V_{1}^{\alpha }+c_{1}^{\beta }\cdot V_{1}^{\beta }}$

Es wird ferner angenommen, dass sich das Volumen der Phase ${\displaystyle \alpha }$ nicht ändert, da die Phase ${\displaystyle \beta }$ Extraktionsmittel ist:

${\displaystyle V_{0}^{\alpha }=V_{1}^{\alpha }}$

${\displaystyle \Rightarrow c_{0}^{\alpha }\cdot V_{0}^{\alpha }=c_{1}^{\alpha }\cdot V_{0}^{\alpha }+c_{1}^{\beta }\cdot V_{1}^{\beta }\vert :V_{0}^{\alpha }}$

${\displaystyle \Leftrightarrow c_{0}^{\alpha }=c_{1}^{\alpha }+c_{1}^{\beta }\cdot {\frac {V_{1}^{\beta }}{V_{0}^{\alpha }}}}$

Aus dem Umstellen des Nernstschen Verteilungsgesetzes folgt:

${\displaystyle K(A)={\frac {c_{i}^{\beta }}{c_{i}^{\alpha }}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow c_{i}^{\beta }=K(A)\cdot c_{i}^{\alpha }}$

Durch Einsetzen erhält man den Ausdruck:

${\displaystyle c_{0}^{\alpha }=c_{1}^{\alpha }+K(A)\cdot c_{1}^{\alpha }\cdot {\frac {V_{1}^{\beta }}{V_{0}^{\alpha }}}}$

${\displaystyle =c_{1}^{\alpha }\left(1+K(A)\cdot {\frac {V_{1}^{\beta }}{V_{0}^{\alpha }}}\right)}$

Somit ergibt sich der Nernstsche Verteilungssatz für das erste Ausschütteln zu:

${\displaystyle c_{1}^{\alpha }={\frac {c_{0}^{\alpha }}{1+K(A)\cdot {\frac {V_{1}^{\beta }}{V_{0}^{\alpha }}}}}}$

Man geht davon aus, dass sich die Volumina der Phasen beim Ausschütteln nicht ändern und immer das gleiche Volumen zur Extraktion verwendet wird:

${\displaystyle V_{0}^{\alpha }=V_{1}^{\alpha }}$

${\displaystyle V_{0}^{\beta }=V_{1}^{\beta }}$

${\displaystyle \Rightarrow c_{1}^{\alpha }={\frac {c_{0}^{\alpha }}{1+K(A)\cdot {\frac {V^{\beta }}{V^{\alpha }}}}}}$

Bei n-maligem Ausschütteln ergibt sich folgende Formel:

${\displaystyle \Rightarrow c_{n}^{\alpha }={\frac {c_{0}^{\alpha }}{\left(1+K(A)\cdot {\frac {V^{\beta }}{V^{\alpha }}}\right)^{n}}}}$

Die Konzentration (der einzelnen Phasen) umgestellt nach der Stoffmenge

${\displaystyle c={\frac {n}{V}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow n=cV}$

kombiniert mit der Molaren Masse (des zu extrahierenden Stoffs)

${\displaystyle M={\frac {m}{n}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow n={\frac {m}{M}}}$

ergeben einen Ausdruck, der Masse und Konzentration verknüpft:

${\displaystyle n={\frac {m}{M}}=cV}$

Er kann nach der Masse aufgelöst werden:

${\displaystyle \Rightarrow m=c\cdot V\cdot M}$

In Kombination mit der oben hergeleiteten Gleichung ergibt sich:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {m_{n}^{\alpha }}{M\cdot V}}={\frac {\frac {m_{0}^{\alpha }}{M\cdot V}}{\left(1+K(A)\cdot {\frac {V^{\beta }}{V^{\alpha }}}\right)^{n}}}}$

Da bereits vereinbart wurde, dass sich Stoffmenge und Volumen nicht verändern, folgt für die Gesamtmasse des extrahierten Stoffs nach n-maligem Ausschütteln:

${\displaystyle \Rightarrow m_{n}^{\alpha }={\frac {m_{0}^{\alpha }}{\left(1+K(A)\cdot {\frac {V^{\beta }}{V^{\alpha }}}\right)^{n}}}}$

H. Elias, S. Lorenz, G. Winnen: Das Experiment: 100 Jahre Nernstscher Verteilungssatz, Chemie in unserer Zeit, 26. Jahrg. 1992, Nr. 2, S. 70, ISSN 0009-2851