Mysior-Ebene

Die Nullumgebungen in der Mysior-Ebene

Die Grundmenge des hier vorgestellten Raumes ist die obere Halbebene zusammen mit einem weiteren Punkt ${\displaystyle P}$, den man etwa als ${\displaystyle (0,-1)}$ wählen kann.

${\displaystyle X=\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{0}^{+}\cup \{(0,-1)\}}$.

Die Topologie wird durch die Angabe von Umgebungsbasen definiert. Als Umgebungsbasis eines Punktes ${\displaystyle (x,y)\in X}$ betrachten wir:

• im Falle ${\displaystyle y>0}$ die Menge ${\displaystyle \{(x,y)\}}$, das heißt, diese Punkte sollen alle isoliert liegen.
• im Falle ${\displaystyle y=0}$ die Menge der Mengen der Form ${\displaystyle \{(x,0)\}\cup S}$, wobei ${\displaystyle S}$ in der Vereinigung der Strecken ${\displaystyle I_{x}:=\{x\}\times [0,2)}$ und ${\displaystyle J_{x}:=\{(x+\xi ,\xi );0\leq \xi <2\}}$ liegt und bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen auch alle Punkte aus ${\displaystyle I_{x}\cup J_{x}}$ enthält.
• im Falle ${\displaystyle y=-1}$ die Menge der Mengen ${\displaystyle U_{n}:=\{(\xi ,\eta );\xi >n,\eta \geq 0\}\cup \{(0,-1)\}}$, dieser Fall betrifft also nur den Punkt ${\displaystyle P=(0,-1)}$.

Durch diese Umgebungsbasen wird eine Topologie ${\displaystyle \tau }$ auf ${\displaystyle X}$ definiert. Der topologische Raum ${\displaystyle (X,\tau )}$ heißt Mysior-Ebene.[2][3]

Der Punkt ${\displaystyle P=(0,-1)}$ ist nicht isoliert, auch wenn obige Skizze diesen Eindruck erweckt, denn offenbar konvergiert ${\displaystyle (n,0)\rightarrow P}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$.

Die Mysior-Ebene ${\displaystyle (X,\tau )}$ ist ein T₃-Raum. Die Hausdorff-Eigenschaft, nach der je zwei Punkte disjunkte Umgebungen haben, liest man leicht aus den angegebenen Umgebungsbasen ab. Der Raum ist aber auch regulär, das heißt jeder Punkt besitzt eine Umgebungsbasis aus ${\displaystyle \tau }$-abgeschlossenen Mengen. In den ersten beiden Fällen obiger Definition sind die angegebenen Mengen bereits abgeschlossen. Für die Umgebungsbasismengen ${\displaystyle U_{n}}$ von ${\displaystyle P}$ überlegt man sich ${\displaystyle {\overline {U_{n+2}}}\subset U_{n}}$, so dass auch hier eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen existiert.

Die Mysior-Ebene ist kein T_3a-Raum. Die Menge ${\displaystyle A:=(-\infty ,1]\times \{0\}\subset X}$ ist ${\displaystyle \tau }$-abgeschlossenen, ${\displaystyle P\in X}$ ist ein außerhalb dieser Menge gelegener Punkt, aber man kann zeigen, dass jede stetige Funktion, die ${\displaystyle f(a)=0}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ erfüllt, auch im Punkt ${\displaystyle P}$ gleich 0 ist. In diesem technischen Teil macht man von der Struktur der Umgebungsbasen der Punkte ${\displaystyle (x,0)}$ Gebrauch, mit der man Nullstellen von ${\displaystyle f}$ derart "nach rechts transportieren" kann, dass in jedem Intervall ${\displaystyle [n,n+1]\times \{0\}}$ unendlich viele Nullstellen liegen. Damit enthält jede Umgebung ${\displaystyle U_{n}}$ von ${\displaystyle P}$ Nullstellen von ${\displaystyle f}$ und aus der Stetigkeit von ${\displaystyle f}$ folgt ${\displaystyle f(P)=0}$. Daher kann ${\displaystyle (X,\tau )}$ kein T_3a-Raum sein.

1. Adam Mysior: A Regular Space which is not Completely Regular. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Bd. 81, Nr. 4, 1981, S. 652–653, doi:10.1090/S0002-9939-1981-0601748-4.
2. Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-24914-2, Beispiel (2.5,4).
3. Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Bd. 33). 2., revised edition. North-Holland, Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87655-3, Example III.2.