Myonenspinspektroskopie

Die μSR-Messmethode beruht auf der Paritätsverletzung in der schwachen Zerfallskette:

${\displaystyle {\begin{array}{rll}\pi ^{+}\longrightarrow &\mu ^{+}+\nu _{\mu }&\quad {\text{mit}}\quad \tau _{\pi }=\ 26\ \mathrm {ns} \\&\downarrow &\\&\mu ^{+}\longrightarrow e^{+}+\nu _{e}+{\overline {\nu }}_{\mu }&\quad {\text{mit}}\quad \tau _{\mu }=2{,}2\ \mu \mathrm {s} \\\end{array}}}$

Unter Berücksichtigung der Erhaltungssätze für linearen Impuls und Spin führen

• die eindeutige Linkshändigkeit (Chiralität ${\displaystyle h=-1}$, d. h. Spin antiparallel zum linearen Impuls) der beiden beteiligten Neutrinos ${\displaystyle \nu _{\mu },\nu _{e}}$ und
• die eindeutige Rechtshändigkeit (Chiralität ${\displaystyle h=+1}$, d. h. Spin parallel zum linearen Impuls) des Myon-Antineutrinos ${\displaystyle {\overline {\nu }}_{\mu }}$

zu den beiden Charakteristika dieser Zerfallskette:

1. Spinpolarisation des Myons ${\displaystyle \mu ^{+}}$ beim Pionenzerfall
2. Anisotropie der Emissionswahrscheinlichkeit der Zerfallspositronen ${\displaystyle e^{+}}$ beim Myonenzerfall.

Positive Pionen (${\displaystyle \pi ^{+}}$) werden durch Spallationsreaktion beim Beschuss leichter Targetkerne (C, Be) mit hochenergetischen Protonen (ca. 600 MeV) erzeugt.
Die zwei dominierenden Kernreaktionen sind:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}p+p&\rightarrow &p+n+\pi ^{+}\\p+n&\rightarrow &n+n+\pi ^{+}\\\end{array}}}$

Die so erzeugten freien Pionen zerfallen nach einer mittleren Lebensdauer von ${\displaystyle \tau _{\pi ^{+}}=26\,\mathrm {ns} }$ in ein positives Myon und ein Myon-Neutrino.

Je nachdem, ob dieser Zerfall in Ruhe oder im Flug stattfindet, unterscheidet man zwischen Oberflächen- oder Zerfallskanal-Myonen:

Zerfall des Pions im Ruhesystem: Paritätsverletzung und Erhaltungssätze für linearen Impuls und Drehimpuls führen zur Helizitätsanpassung bzw. Spinpolarisation des Myons.

Oberflächenmyonen stammen aus dem Zerfall niederenergetischer Pionen, die innerhalb des Produktionstargets gestoppt werden. Da es sich beim Zerfall des Pions um einen Zweikörperzerfall handelt, sind Energie, Impuls und Drehimpuls der Zerfallsprodukte eindeutig festgelegt. Im Ruhesystem des Pions gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}&\pi ^{+}&\rightarrow &\mu ^{+}&+&\nu _{\mu }&\\{\text{Energieerhaltung}}&E_{\pi }=m_{\pi }c^{2}&=&E_{\mu }&+&E_{\nu }&\\{\text{Impulserhaltung}}&{\vec {p}}_{\pi }=0&\Rightarrow &{\vec {p}}_{\mu }&=&-{\vec {p}}_{\nu }&\\{\text{Drehimpulserhaltung}}&{\vec {\sigma }}_{\pi }=0&\Rightarrow &{\vec {\sigma }}_{\mu }&=&-{\vec {\sigma }}_{\nu }&\\{\text{Helizitätsanpassung}}&&\Rightarrow &H(\mu ^{+})&{\stackrel {!}{=}}&H(\nu _{\mu })&\equiv -1\\\end{array}}}$

Wegen ihrer geringen kinetischen Energie können nur Myonen nahe der Oberfläche des Targets dieses verlassen und besitzen eine geringe Eindringtiefe. Sie sind zum Studium dünner Schichten bzw. leichter Proben geeignet.

Hochenergetische Pionen durchlaufen einen sogenannten Zerfallskanal. Aufgrund der wesentlich geringeren, mittleren Lebensdauer der Pionen besteht der Strahl nach einer gewissen Flugstrecke vorwiegend aus Myonen. Da der Zerfall der Pionen im Flug erfolgt, besitzen diese Myonen einen höheren Impuls, sind jedoch nicht mehr zu 100 % spinpolarisiert. Durch den Übergang vom Ruhesystem des Pions ins Laborsystem müssen zwei Fälle unterschieden werden:

Vorwärts (rechts) und rückwärts emittierte Myonen (links). ${\displaystyle p_{\mu _{0}}}$ ist der Impuls des Myons im Ruhesystem des Pions. ${\displaystyle p_{\mu },p_{\pi }}$ beziehen sich auf das Laborsystem.

• Vorwärtsemittierte Myonen: Das Myon wird in Flugrichtung des Pions emittiert. Im Ruhesystem des Pions addieren sich die Impulse von Pion und Myon. Der Myonenimpuls im Laborsystem ist somit größer als der des emittierenden Pions und besitzt die gleiche Richtung wie im Ruhesystem. Die Orientierung der Spinpolarisation bleibt damit erhalten: Vorwärtsemittierte Myonen sind rückwärts polarisiert.

• Rückwärtsemittierte Myonen: Das Myon wird entgegen der Flugrichtung des Pions emittiert. Der Myonenimpuls im Laborsystem ist somit geringer als der des emittierenden Pions und entgegengesetzt gerichtet zu dem des Ruhesystems. Die Spinpolarisation im Laborsystem ist antiparallel zu der des Ruhesystems: Rückwärtsemittierte Myonen sind vorwärts polarisiert.

Zerfallskanalmyonen besitzen also folgende charakteristische Eigenschaften:

• Impuls und Polarisationsrichtung sind innerhalb bestimmter Grenzen frei wählbar.
• Ihr Impuls ist deutlich größer als der der Oberflächenmyonen: ${\displaystyle 210~\mathrm {MeV} /c>p_{\mu }>80~\mathrm {MeV} /c\gg 30~\mathrm {MeV} /c}$
• Infolgedessen besitzen sie eine höhere Eindringtiefe: ${\displaystyle 5~\mathrm {g} /\mathrm {cm} ^{2}>\rho >1~\mathrm {g} /\mathrm {cm} ^{2}\gg 0{,}1~\mathrm {g} /\mathrm {cm} ^{2}}$
• Aufgrund kinematischer Depolarisation und endlicher Winkelauflösung beträgt der maximal erreichbare Polarisationsgrad jedoch nur ca. ${\displaystyle H_{\mu }\approx 80\,\%}$.

Myonenzerfall: Dargestellt sind die beiden Extremalfälle: Emission von Neutrino und Antineutrino in entgegengesetzter Richtung (das Positron bleibt in Ruhe) bzw. in gleicher Richtung entgegengesetzt zum Positron.

Das Myon zerfällt anschließend ebenfalls über die schwache Wechselwirkung, nach einer relativ langen mittleren Lebensdauer von ${\displaystyle \tau _{\mu ^{+}}=2{,}2\,\mathrm {\mu s} }$ in ein Positron, ein Elektron-Neutrino und ein Myon-Antineutrino (Dreikörperzerfall):

${\displaystyle \mu ^{+}\rightarrow e^{+}+\nu _{e}+{\bar {\nu }}_{\mu }}$

Da es sich um einen Dreikörperzerfall handelt, sind Energie und Impuls der Zerfallsprodukte nicht eindeutig festgelegt, sondern von der gegenseitigen Emissionsrichtung abhängig.

Für die kinetische Energie des Zerfallspositrons gilt:

${\displaystyle 0\ \leq \ E_{\mathrm {kin} }\leq \ E_{\mathrm {max} }=52{,}320\,\mathrm {MeV} }$

Durch die eindeutige Händigkeit der beteiligten (Anti-)Neutrinos besteht eine Korrelation zwischen Spin und linearem Impuls des Zerfallspositrons, die sich in der Anisotropie der Positronenemission widerspiegelt.

Myonenzerfall: Winkelabhängigkeit der Emissionswahrscheinlichkeit für Zerfallspositronen maximaler bzw. mittlerer Energie.

Die Wechselwirkung der magnetischen Momente eines Myonenensembles mit dem Mittelwert und der Verteilung des lokalen Magnetfeldes im Zwischengitterbereich hat eine zeitliche Änderung von Polarisationsrichtung und -grad zur Folge, welche über die Anisotropie der Zerfallspositronen beobachtet werden kann:

${\displaystyle W(\theta (t),t)=1+A_{0}\cdot {\vec {P}}(t)\cdot \cos(\theta )=1+A_{0}\cdot |{\vec {P}}(t)|\cdot \cos(\theta (t))}$

• ${\displaystyle A_{0}}$ bezeichnet die Anfangs-Asymmetrie des Myonenensembles,
• ${\displaystyle \theta (t)}$ den Winkel zwischen Emissions- und Detektionsrichtung der Zerfallspositronen relativ zur Polarisationsrichtung des Myonenensembles.
• Die zeitliche Abnahme des Polarisationsgrades ${\displaystyle |{\vec {P}}(t)|}$ wird Depolarisation genannt und durch Relaxationsfunktionen ${\displaystyle G(t)}$ beschrieben.

Grundlage jeder zeitdifferentieller µSR-Messung ist somit die Aufzeichnung der zeitlichen Änderungen der Positronenzählrate in einer oder mehreren festen Raumrichtungen:

${\displaystyle N(t)/dt=B_{0}+N_{0}\cdot \exp(-t/\tau _{\mu })\cdot [\ 1+A_{0}\ G(t)\ \cos \theta (t)\ ]}$

• Signaluntergrund ${\displaystyle B_{0}}$, Normalisierung ${\displaystyle N_{0}}$ und Anfangsasymmetrie ${\displaystyle A_{0}}$ der Zerfallspositronen sind durch Probengeometrie, Strahl- und Spektrometereigenschaften bestimmt.
• ${\displaystyle N_{0}\cdot \exp(-t/\tau _{\mu })}$ beschreibt den freien Zerfall der Myonen mit der mittleren Lebensdauer ${\displaystyle \tau _{\mu }\approx 2{,}2\ \mathrm {\mu s} }$ und legt, zusammen mit dem Signaluntergrund und die Nulllinie fest.
• Auf dieser Nulllinie befindet sich das interessierende Zeitverhalten ${\displaystyle [1+A_{0}\ G(t)\ \cos \theta (t)]}$.

Myonen-Spin-Rotation: Schematischer Aufbau und typischer Zeitverlauf der Positronenzählrate einer µSR-Messung in einem äußeren Magnetfeld ${\displaystyle {\vec {B}}_{\mathrm {ext} }\perp {\vec {P}}_{\mu }}$ senkrecht zur Myonenpolarisationsrichtung (Transversalfeldgeometrie).

Myonen-Spin-Relaxation: Schematischer Aufbau und typischer Zeitverlauf der Positronenzählrate einer µSR-Messung in Nullfeld- bzw. Longitudinalfeldgeometrie.

Ein polarisierter Myonenstrahl wird durch eine Strahlblende kollimiert und in der zu untersuchenden Materialprobe gestoppt. Der Durchgang eines Myons durch den Myonen-Detektor legt den Zeitnullpunkt der Implantation fest. Das Zerfallspositron wird mit Hilfe der um die Probe angeordneten Positronenzähler erfasst und liefert das Stopp-Signal.

• Bei Abwesenheit innerer lokaler Magnetfelder präzediert der Myonenspin um das statische äußere Transversalfeld mit der Larmorfrequenz:

${\displaystyle \omega _{\mu }=\gamma _{\mu }\cdot B_{\mathrm {ext} }}$

mit ${\displaystyle \gamma _{\mu }/2\pi =135{,}5\;\mathrm {MHz/T} .}$

• Existieren im Inneren der Materialprobe lokale Magnetfelder ${\displaystyle B_{\mathrm {int} }\not \equiv 0}$, welche zudem zeitlich und/oder räumlich variieren, so werden die einzelnen Myonenspins eines Ensembles unterschiedliche Präzessionsfrequenzen aufweisen. Die Myonen-Spin-Rotationsfrequenz spiegelt infolgedessen eine Mittelung der inneren Felder wider:

${\displaystyle {\overline {\omega }}_{\mu }=\gamma _{\mu }\cdot (B_{\mathrm {ext} }+\langle B_{\mathrm {int} }\rangle )}$

mit

${\displaystyle \gamma _{\mu }/2\pi =135{,}5\;\mathrm {MHz/T} .}$

• Durch die Feldverteilung geht die ursprüngliche Phasenbeziehung der einzelnen Spins mehr und mehr verloren. Das Rotationssignal weist daher eine zeitliche Dämpfung mit der transversalen Relaxationsfunktion ${\displaystyle G_{\perp }}$ auf:

${\displaystyle N(\phi ,t)/dt=B_{0}+N_{0}\cdot \exp(-t/\tau _{\mu })\cdot [\ 1+A_{0}\ G_{\perp }(t)\ \cos({\overline {\omega }}_{\mu }t+\phi )]}$

• Ohne äußeres Magnetfeld tritt Myonen-Spin-Rotation nur im geordneten Bereich magnetischer Materialien auf. Die Domänenstruktur führt jedoch zu einer Reduktion des Rotationssignals. Für isotrope Verteilung der Domänenmagnetisierung gilt ein Amplitudenverhältnis von ${\displaystyle A_{\perp }/A_{\parallel }=2/1}$ und somit:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}N(\phi ,t)/dt&=&B_{0}+N_{0}\cdot \exp(-t/\tau _{\mu })\cdot f(\phi ,t)\\f(\phi ,t)&=&[\ 1+{\frac {A_{0}}{3}}\ (\ 2\cdot G_{\perp }(t)\ \cos({\overline {\omega }}_{\mu }t+\phi )+G_{\parallel }(t)\ )\ ]\\\end{array}}}$

• Im ungeordneten, paramagnetischen Bereich ist ohne äußeres Magnetfeld keine Magnetisierung vorhanden und somit keine Myonen-Spin-Rotation beobachtbar. Die interessierende Größe ist hier die longitudinale Relaxationsfunktion ${\displaystyle G_{\parallel }(t)}$:

${\displaystyle f(\phi ,t)=[\ 1+A_{0}\ G_{\parallel }(t)\ \cos \phi \ ]}$

Im Vergleich zur transversalen ist die longitudinale Relaxationsfunktion durch eine stärkere, anfängliche Depolarisation und einen Wiederanstieg gekennzeichnet:

Vergleich der transversalen und longitudinalen Relaxationsfunktion ${\displaystyle G_{\perp }(t)}$ bzw. ${\displaystyle G_{\parallel }(t)}$ für statische Feldverteilungen.

• Die stärkere Anfangsdepolarisation von ${\displaystyle G_{\parallel }(t)}$ resultiert aus dem Einfluss zweier senkrechter Komponenten der Feldverteilung, statt nur einer Komponente für ${\displaystyle G_{\perp }(t)}$.
• Der Wiederanstieg erklärt sich aus dem fehlenden Einfluss der longitudinale Komponente der Feldverteilung.
  • Aus der Größenordnung des Wiederanstieg kann auf die Korrelationszeit langsamer Fluktuationen geschlossen werden.
  • Ein vollständiger Wiederanstieg ist ein eindeutiger Hinweis auf eine statische Feldverteilung.
  • Bei schnellen Fluktuationen verschwindet das Minimum der statischen Nullfeld-Relaxation ganz und die Relaxationsfunktion erhält einen exponentiellen Verlauf

• Longitudinalfeldmessungen:
  • Da eine Entkopplung schnell fluktuierender Feldverteilungen nicht möglich ist, geben Longitudinalfeldmessungen eindeutige Auskunft, ob eine statisch oder dynamische Situation vorliegt.
  • Durch Anlegen eines äußeren Magnetfeldes parallel zur Polarisationsrichtung ist es möglich, die Depolarisation aufgrund innerer, statischer Feldverteilungen aufzuheben und die anfängliche Spinpolarisation zu erhalten. Die Stärke des Magnetfeldes gibt dabei Aufschluss über die Wechselwirkungsenergie und den Ursprung (elektronische oder nukleare Momente) der inneren Feldverteilung.
• Nullfeldmessungen sind für die Untersuchung kritischer Phänomene am magnetischen Phasenübergang entscheidend.